傅可昂，丁麗，李婷，陳豪，何文凱

（浙江工商大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

0 引 言

設(shè){yt}為一階自回歸時(shí)間序列模型：

其中，yt為 t時(shí)刻的觀測(cè)值，Φt為隨機(jī)系數(shù)，ut為隨機(jī)誤差，且為滿足的獨(dú)立同分布隨機(jī)向量序列。由于允許和ut相依，故模型(1)常被稱為一階廣義隨機(jī)系數(shù)自回歸(GRCA(1))模型。當(dāng)與ut相互獨(dú)立時(shí)，模型(1)為一般的隨機(jī)系數(shù)自回歸模型；當(dāng)時(shí)，模型(1)為一階常系數(shù)自回歸模型。由于模型(1)能較好地描述工程動(dòng)力系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的波動(dòng)，近年來廣受學(xué)者的關(guān)注，如HWANG等[1-2]考慮了參數(shù)估計(jì)的漸近分布；CARRASCO等[3]研究了模型的高階矩性質(zhì)；ZHAO等[4]利用經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)建了參數(shù)的置信區(qū)間；趙志文等[5]給出了最小漸近方差下的參數(shù)估計(jì)；ZHAO等[6]考慮了模型中隨機(jī)系數(shù)的常數(shù)化檢驗(yàn)；ZHAO等[7]考慮了模型的變量選擇問題。

為了給出自加權(quán)M-估計(jì)的漸近分布，需要以下假設(shè)條件：

假設(shè) 1相互獨(dú)立。

數(shù)據(jù)全面 應(yīng)用廣泛 共享順暢（施繼業(yè)） ........................................................................................................5-14

假設(shè)5其中g(shù)(x)是實(shí)數(shù)域上一正函數(shù),滿足

其中的無窮級(jí)數(shù)依概率和L2范數(shù)收斂[1]，故假設(shè)1常被用于平穩(wěn)GRCA模型的參數(shù)估計(jì)。假設(shè)2～假設(shè)4是處理M-估計(jì)時(shí)常用的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)，很多函數(shù)均滿足這些條件，例如其中z值待定，此時(shí)對(duì)應(yīng)的估計(jì)分別稱為自加權(quán)二乘估計(jì)、自加權(quán)Huber估計(jì)；若ρ函數(shù)不可微但存在左右導(dǎo)數(shù)和，則可選擇一函數(shù)滿足，本文直接假設(shè)函數(shù)存在一階導(dǎo)數(shù)。假設(shè)5給出了本文的矩要求，通過調(diào)節(jié)，降低了文獻(xiàn)[1，8]中矩的要求，關(guān)于的選取可見文獻(xiàn)[10-11]。

接下來，給出GRCA(1)模型中方差向量的自加權(quán)M-估計(jì)的漸近分布。

定理1 對(duì)于模型（1），在假設(shè)1～假設(shè)5成立的條件下，有

1 數(shù)值模擬

本節(jié)將對(duì)β的自加權(quán)M-估計(jì)進(jìn)行有限樣本的模擬研究，主要比較條件二乘估計(jì)(LS)與自加權(quán)二乘估計(jì)(SM1)、自加權(quán)Huber估計(jì)(SM2)這兩類自加權(quán)M-估計(jì)。

在模擬時(shí),當(dāng)ut～N(0,σ2)時(shí) ，分別取(,r,)=(0.5,0,1)，(0.7,0.1,1)，(0.5,0.5,1)，也 就 是 β 為(1,0,0.25)，(1,0.1,0.5)，(1,0.5,0.5)；當(dāng) ut～t(3)時(shí)，分別取 (φ,r)=(0.5,0)，(0.7,0.1)，(0.5,0.4)，即為(3,0,0.25)，(3,0.3,0.52)，(3,1.2,0.73)。 在 樣 本 容量為200，500和1 000時(shí)，分別重復(fù)運(yùn)行1 000次，觀察條件二乘估計(jì)與自加權(quán)估計(jì)的均值，具體結(jié)果見表1和表2。

由表1和表2的數(shù)據(jù)可知，總體而言，條件自加權(quán)估計(jì)優(yōu)于條件二乘估計(jì)，尤其是當(dāng)真值為(1,0.5,0.5)和(3,1.2,0.73)時(shí)，條件二乘估計(jì)的結(jié)果已偏離可以接受的范圍，而條件自加權(quán)估計(jì)仍較接近真值。

2 定理的證明

首先，介紹3個(gè)均在定理1條件下構(gòu)建的引理。

由假設(shè)4和假設(shè)5,再結(jié)合平穩(wěn)遍歷性,即得引理1成立。由平穩(wěn)性和正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)即得引理2成立。故此處只給出引理3的詳細(xì)證明。

表1 ut～N(0，σ2)時(shí)的模擬結(jié)果Table1 The simulation results withut～N(0，σ2)

表2 ut～t(3)時(shí)的模擬結(jié)果Table 2 The simulation results withut～t(3)

因?yàn)閂n(μ)有凸的樣本路徑,表明不同路徑下收斂一致,V在處有唯一的最小值，故由文獻(xiàn)[12]中的引理2.2可得

定理證畢！