鐘子林，劉愛(ài)榮

(廣州大學(xué)-淡江大學(xué) 工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心，廣州 510006)

0 引 言

關(guān)于板在動(dòng)力荷載作用下的穩(wěn)定性問(wèn)題已有學(xué)者開(kāi)展研究。Bolotin[1]推導(dǎo)了單邊簡(jiǎn)諧荷載作用下四邊簡(jiǎn)支矩形板的Mathieu-Hill方程，給出了橫向位移函數(shù)只含單個(gè)諧波時(shí)的不穩(wěn)定域解。Ostiguy等[2]推導(dǎo)了周期荷載作用下四邊簡(jiǎn)支矩形板的Mathieu-Hill方程，探討了長(zhǎng)寬比對(duì)板動(dòng)力失穩(wěn)的影響。Pierre等[3]運(yùn)用諧波增量平衡法求解出板在有、無(wú)阻尼情況下的不穩(wěn)定域與非線性曲線。Nguyen等[4-5]對(duì)4種不同邊界條件各向同性矩形板在動(dòng)力荷載作用下的穩(wěn)定和非線性振動(dòng)進(jìn)行了研究。鐘子林等[6]利用伽遼金法將周期荷載作用下的四邊簡(jiǎn)支矩形板的動(dòng)力控制方程轉(zhuǎn)化為馬奇耶方程，運(yùn)用特征值法求解了板的動(dòng)力不穩(wěn)定域和非線性振動(dòng)曲線并與有限元數(shù)值解進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了解析解的正確性。Ganapathi等[7]基于位移和應(yīng)力連續(xù)條件，對(duì)周期性面內(nèi)荷載作用下板的非線性不穩(wěn)定行為進(jìn)行了研究。Robinson等[8]采用微分求積法求解了平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)矩形粘彈性板的凹凸截面微分方程,給出了橫截面形狀對(duì)板的穩(wěn)定性影響的曲線圖，并觀察到板的發(fā)散失穩(wěn)。傅衣銘等[9]推導(dǎo)出在縱橫周期荷載共同作用下四邊簡(jiǎn)支中厚板的非線性運(yùn)動(dòng)控制方程，探討了板厚、長(zhǎng)寬比、縱橫周期荷載大小對(duì)不穩(wěn)定域的影響。袁尚平等[10]通過(guò)Galerkin法得到四邊簡(jiǎn)支矩形板在周期荷載作用下的非線性動(dòng)力方程，求解出板在2倍超諧振動(dòng)下的振幅，并運(yùn)用仿真模擬的方法討論了2倍超諧振動(dòng)對(duì)屈曲薄板非線性振動(dòng)的影響。Minh等[11]對(duì)具有中心裂紋的矩形FGM板的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)一階剪切變形理論，建立動(dòng)力穩(wěn)定方程，分析了厚度變化對(duì)中心裂紋的矩形FGM板動(dòng)力的穩(wěn)定的影響。Wu等[12]分析了對(duì)邊周期動(dòng)力荷載作用下加強(qiáng)石墨烯板的動(dòng)力穩(wěn)定性，得到具有不同條件的石墨烯板的動(dòng)力不穩(wěn)定域，給出不同工況的激勵(lì)荷載的臨界頻率值。杜菲等[13]分析了集中質(zhì)量對(duì)各向同性板自由振動(dòng)頻率的影響。Darabi等[14]基于薄板大撓度理論，運(yùn)用Bolotin法建立了層合板的非線性動(dòng)力穩(wěn)定方程，分析了不同鋪層對(duì)板非線性失穩(wěn)的影響。Sayed等[15]基于時(shí)間多尺度擾動(dòng)法研究了對(duì)稱交叉層復(fù)合材料層合壓電板在復(fù)合激勵(lì)下的穩(wěn)定性。

本文運(yùn)用特征值法求解四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的動(dòng)力不穩(wěn)定域和幅頻響應(yīng)，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼归_(kāi)試驗(yàn)研究，應(yīng)用時(shí)域分析法計(jì)算無(wú)附加質(zhì)量和攜帶附加質(zhì)量板參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界頻率，通過(guò)與理論解的對(duì)比分析，驗(yàn)證特征值法的正確性，闡明矩形薄板在周期荷載作用下動(dòng)力失穩(wěn)時(shí)外荷載與板自振頻率的變化關(guān)系，揭示附加質(zhì)量對(duì)板動(dòng)力失穩(wěn)的影響機(jī)理，為工程結(jié)構(gòu)中板的設(shè)計(jì)與運(yùn)用提供參考。

1 動(dòng)力方程

圖1所示為四邊簡(jiǎn)支矩形薄板在x方向受到周期動(dòng)力荷載

p(t)=α0Pcr+β0Pcrcosθt

作用的受力簡(jiǎn)圖,其中:α0為靜力荷載系數(shù);β0為動(dòng)力荷載系數(shù);α0Pcr為動(dòng)力荷載的靜力分量;β0Pcr為動(dòng)力荷載的動(dòng)力分量;Pcr為板的屈曲荷載。圖中:O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn);u、v和w分別為板在x、y和z方向的撓度;板的長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為a、b和h。

圖1 板的受力簡(jiǎn)圖

基于Von-Karman薄板大撓度理論，忽略板面內(nèi)位移u、v與初始缺陷的影響，運(yùn)用能量變分法分別得到板動(dòng)力穩(wěn)定的控制方程：

(1)

(2)

(3)

式中:ρ為單位質(zhì)量密度；h為板的厚度;Mu為附加質(zhì)量的大小;δ為狄拉克函數(shù);xu與yu表示附加質(zhì)量在板上所處的坐標(biāo)。

假設(shè)橫向撓度函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)為：

W(x,y,t)=Wkl(t)?k(x)Ψl(y)

(4)

Φ(x,y,t)=

(5)

式中:Wkl和Φpq分別為與時(shí)間相關(guān)的無(wú)量綱函數(shù);?k(x)=sin(kπx/a);Ψl(y)=sin(lπy/b)。假設(shè)特征函數(shù)Xp(x),Yq(y)為：

Xp(x)=cosh(αpx/a)-cos(αpx/a)-

λp(sinh(αpx/a)-sin(αpx/a))

(6)

Yq(y)=cosh(αqy/b)-cos(αqy/b)-

λq(sinh(αqy/b)-sin(αqy/b))

(7)

1-cosαp,qcoshαp,q=0

(8)

(9)

系數(shù)αp,αq通過(guò)求解式(8)的超越方程得到。

將撓度函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)代入控制方程中，運(yùn)用伽遼金法進(jìn)行積分計(jì)算?？紤]線性阻尼的作用，得到攜帶三次方非線性項(xiàng)的Mathieu-Hill方程：

(10)

式中:ξ為阻尼系數(shù);Ω為外荷載作用下板的振動(dòng)頻率;Λ為激發(fā)系數(shù);γ為非線性彈性系數(shù)。由下式計(jì)算得：

(11)

可知，隨著附加質(zhì)量M的增加，γ減小。

將橫向撓度函數(shù)W周期為2T的解寫(xiě)成傅里葉級(jí)數(shù)的形式：

(12)

式(12)代入式(10)，令sin(nθt/2)和cos(nθt/2)的同類項(xiàng)系數(shù)相同，得到關(guān)于振幅系數(shù)an和bn的線性方程組，令其系數(shù)行列式為零，通過(guò)整合行列式中的矩陣得到特征方程：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中:Cn=nζ/π，Dn=n2，(n=1,3,…,2i-1,i=1,2,…)。

通過(guò)求解特征值的方法求解四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的動(dòng)力不穩(wěn)定域。

當(dāng)僅研究主要參數(shù)共振下的非線性振動(dòng)時(shí)，可以忽略其余諧波的影響，對(duì)橫向撓度函數(shù)進(jìn)行一階伽遼金截?cái)?，將其代入?10)，令sin(nθt/2)和cos(nθt/2)同類項(xiàng)系數(shù)相同，得到關(guān)于定態(tài)振幅系數(shù)an和bn的線性方程組，要使方程組有非零解，則其系數(shù)行列式為零，即：

(17)

式中:ζ為阻尼比，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得;A為板的振動(dòng)幅值。同樣，利用求解特征值的方法，求解得出非線性振動(dòng)定態(tài)振幅的解。i=0、j=1時(shí)，求得非線性振動(dòng)的穩(wěn)定解；i=1、j=0時(shí)，求得非線性振動(dòng)的不穩(wěn)定解。

2 試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

為驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，綜合考慮試驗(yàn)設(shè)備、邊界條件、加載等方面對(duì)試驗(yàn)的影響，對(duì)長(zhǎng)、寬、厚分別為a=1.2 m,b=1.0 m,h=2 mm，密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比μ=0.33的各向同性鋁制薄板開(kāi)展動(dòng)力不穩(wěn)定性的試驗(yàn)研究。

本試驗(yàn)主要采用德國(guó)TIRA激振器與ECON控制系統(tǒng)進(jìn)行板的激振實(shí)驗(yàn)以及丹麥B&K的振動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)收集與分析數(shù)據(jù)。激振系統(tǒng)包括激振器、振動(dòng)控制器、功率放大器和排風(fēng)機(jī)，測(cè)量系統(tǒng)包括傳感器、前端模塊、電荷放大器和PULSE分析系統(tǒng)。

激振系統(tǒng)的工作原理為：在電腦端設(shè)置相關(guān)的參數(shù)并發(fā)出激振指令，指示振動(dòng)控制器發(fā)出相應(yīng)的振動(dòng)數(shù)字信號(hào)，然后功率放大器將振動(dòng)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行功率轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的電壓信號(hào)并傳輸給激振器，激振器在線圈產(chǎn)生的電磁力作用下，控制激振器產(chǎn)生的激振力。當(dāng)電腦端發(fā)出的振動(dòng)信息超出試驗(yàn)控制值時(shí)，固定在激振頭上的加速度傳感器將該信號(hào)反饋給振動(dòng)控制系統(tǒng)，激振器將會(huì)進(jìn)行自我保護(hù)而停止激振試驗(yàn)。

板的振動(dòng)信號(hào)由B&K加速度傳感器收集,然后傳輸給電荷放大器，通過(guò)電荷放大器進(jìn)行功率的轉(zhuǎn)換，將電荷信號(hào)轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)，按振動(dòng)規(guī)律變化的電壓信號(hào)通過(guò)前端模塊的儲(chǔ)存處理功能轉(zhuǎn)化為筆記本中Lab shop軟件能夠識(shí)別的振動(dòng)數(shù)字信號(hào)，最后將板的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理與分析。

試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭饕杉ふ衽_(tái)、滑動(dòng)組件、U1和U3(短邊)、U2和U4(長(zhǎng)邊)、槽形塊、開(kāi)口滾軸、加載梁、鋁板等組成。激振臺(tái)的4個(gè)邊角用長(zhǎng)螺栓和地面連接固定，保證了試驗(yàn)過(guò)程中激振臺(tái)的穩(wěn)定。如圖2所示，4個(gè)U型邊框內(nèi)設(shè)置U型空間，兩端的支撐塊設(shè)有滑輪槽；鋁板的4邊嵌入到4個(gè)開(kāi)口滾軸上，每個(gè)開(kāi)口滾軸的兩端設(shè)置滑輪，滑輪嵌入至U型邊框兩端支撐塊的滑輪槽上并進(jìn)行固定，從而使開(kāi)口滾軸可以自由地轉(zhuǎn)動(dòng)，以此模擬四邊簡(jiǎn)支的邊界條件；U1分別與激振器的加載梁和滑動(dòng)組件連接固定，U3與激振臺(tái)的擋板連接，并在其底部安裝3個(gè)滑輪，不僅可以使滑動(dòng)組件在激振荷載作用下能左右滑動(dòng)，而且限制滑動(dòng)組件在加載過(guò)程中發(fā)生面外位移，影響試驗(yàn)結(jié)果；而U2和U4分別通過(guò)3個(gè)槽形塊固定在滑動(dòng)組件上；為了將激振器產(chǎn)生的集中荷載均勻地施加到板的對(duì)邊，通過(guò)預(yù)制加載梁將激振力轉(zhuǎn)換為均布荷載，由于加載梁的剛度很大，在激振力的作用下不產(chǎn)生變形，且其縱截面的中心與開(kāi)口滾軸的中心平行，確保激振力施加至板橫截面的中面上，避免產(chǎn)生偏心荷載影響試驗(yàn)結(jié)果。

通過(guò)振動(dòng)控制器設(shè)置激振器輸出的動(dòng)力荷載類型為簡(jiǎn)諧荷載，并設(shè)置輸出的最大激振力與掃頻速率，激振力通過(guò)加載梁施加至U1并帶動(dòng)滑動(dòng)組件向左滑動(dòng)，由于U3被激振臺(tái)的擋板限制，使得該激振力同時(shí)加載到U3的板邊，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)邊加載的目的，解決了圖1力學(xué)模型的模擬。

圖2 試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

3 自振頻率與阻尼比測(cè)定

采用丹麥B&K的振動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集與分析。待結(jié)構(gòu)模型安裝完成后，將傳感器粘貼在鋁板測(cè)點(diǎn)上下對(duì)應(yīng)的位置，并將各傳感器和力錘的信號(hào)連接至功率放大器和前端模塊，待相關(guān)的線連接完成后打開(kāi)測(cè)量軟件，然后用力錘敲擊滑動(dòng)組件，將激勵(lì)同時(shí)施加到U1和U3，使鋁板產(chǎn)生自由振動(dòng)，待振動(dòng)信號(hào)收集完畢后，進(jìn)行OMA分析，得到鋁板的自振模態(tài)與其對(duì)應(yīng)的自振頻率。由測(cè)量得到的衰減曲線，利用自由衰減法計(jì)算鋁板的阻尼比，計(jì)算公式為:

(18)

式中:Ati和At(i+j)分別表示第i和第(i+j)時(shí)刻的振幅;j為從i時(shí)刻起鋁板自由振動(dòng)經(jīng)過(guò)的周期數(shù)。圖3為無(wú)附加質(zhì)量作用下板的自由振動(dòng)衰減曲線。

圖3 自由振動(dòng)衰減曲線

4 時(shí)域分析法

通過(guò)掃頻試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外荷載的激振頻率在板自振頻率的2倍左右時(shí)，板發(fā)生強(qiáng)烈的面外豎向振動(dòng)。為獲得板參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界頻率，運(yùn)用時(shí)域分析法觀察其在不同激振力下時(shí)域曲線周期變化的特點(diǎn)，以此判斷板發(fā)生參數(shù)失穩(wěn)的時(shí)刻，結(jié)合掃頻范圍與掃頻速率，通過(guò)計(jì)算獲得不穩(wěn)定域的臨界頻率值。

由圖4所示時(shí)域圖可知，板的振動(dòng)幅值除了發(fā)生較大發(fā)散的現(xiàn)象之外，A時(shí)間段還出現(xiàn)較小突增的情況，其最大的振幅是穩(wěn)定狀態(tài)下的2～3倍，但板在該時(shí)間段是否發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)或者共振失穩(wěn)仍不能確定，還需要進(jìn)一步地分析。由圖5可知，A時(shí)間段的時(shí)域曲線顯示板的振動(dòng)完成了16周循環(huán)，即該時(shí)間段板的振動(dòng)頻率為16 Hz，表明外荷載的激振頻率(16.067 Hz)與板的振動(dòng)頻率近似相等，但與板實(shí)測(cè)的自振頻率(一階：8.275 Hz，二階：18.775 Hz)不相等，且與參數(shù)共振失穩(wěn)的特點(diǎn)不同，即在此時(shí)間段板未發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)，故該時(shí)間段外荷載激振頻率未達(dá)到致使板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界值。

圖4 90 N激振力下的時(shí)域圖

圖5 A時(shí)間段時(shí)域圖

由圖6可知，在27～30 s的時(shí)間段，鋁板在1 s的時(shí)間里同樣只完成了16周循環(huán)，即鋁板的振動(dòng)頻率約為16 Hz，與激振頻率基本一致；在30～33 s的時(shí)間段，鋁板的振動(dòng)幅值不斷地增加，此時(shí)鋁板在1 s內(nèi)完成了8周循環(huán)，即鋁板的振動(dòng)頻率約為8 Hz，與其自振頻率相近，而外荷載的激振頻率大約為16 Hz，是鋁板自振頻率的2倍，且振幅逐漸增加，呈現(xiàn)出參數(shù)共振失穩(wěn)的特征，所以掃頻時(shí)間30 s為穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡至參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界時(shí)間，此時(shí)的激振頻率對(duì)應(yīng)著板參數(shù)共振失穩(wěn)的上臨界頻率；同理，由圖7可知，在68～70 s的時(shí)間段，鋁板處于參數(shù)共振失穩(wěn)的狀態(tài)，而在70～74 s的時(shí)間段，鋁板的振動(dòng)頻率大約為16 Hz，與外荷載的激振頻率基本相等，因此掃頻時(shí)間70 s為參數(shù)共振失穩(wěn)過(guò)渡至?xí)簯B(tài)振動(dòng)[1]的臨界時(shí)間，此時(shí)的激振頻率對(duì)應(yīng)著板參數(shù)共振失穩(wěn)的下臨界頻率。

圖6 B時(shí)間段時(shí)域圖

圖7 C時(shí)間段時(shí)域圖

由上可知，在激振頻率不斷變化的動(dòng)力荷載作用下，板發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)經(jīng)歷了3個(gè)主要階段；當(dāng)外荷載做功的速率小于板能量耗散的速率時(shí)，板處于暫態(tài)振動(dòng)；當(dāng)外荷載做功的速率大于板能量耗散的速率時(shí)，板由暫態(tài)振動(dòng)過(guò)渡至參數(shù)共振失穩(wěn)，其振動(dòng)幅值逐漸增加；此時(shí)板發(fā)生彈性強(qiáng)化行為，產(chǎn)生硬化效應(yīng)，相當(dāng)于增加了板的剛度，板能量耗散的速率逐漸增加，當(dāng)其值大于外荷載做功速率時(shí)，板的振動(dòng)幅值下降，最終恢復(fù)至?xí)簯B(tài)振動(dòng)。即板在頻率不斷變化的外荷載作用下發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)時(shí)，其振動(dòng)幅值不會(huì)一直增加，但當(dāng)外荷載的頻率為上下臨界頻率區(qū)間的某一定值時(shí)，板始終處于動(dòng)力失穩(wěn)的狀態(tài)。

5 動(dòng)力失穩(wěn)測(cè)試

5.1 臨界頻率確定

在掃頻測(cè)試的過(guò)程中，只考慮簡(jiǎn)諧荷載中的動(dòng)力分量，即靜力荷載系數(shù)α0=0。通過(guò)調(diào)整不同的激振系數(shù)β=β0Pcr/Pmax進(jìn)行掃頻試驗(yàn)，運(yùn)用時(shí)域分析法計(jì)算得到鋁板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界激振頻率值，其中Pmax是激振器輸出的最大激振力，此次試驗(yàn)的最大激振力取100 N。

由OMA分析可知，鋁板實(shí)測(cè)的一階自振頻率為8.275 Hz，由于板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界頻率在板自振頻率2倍附近，因此可取板自振頻率的2倍作為中心值，根據(jù)中心值設(shè)置掃頻試驗(yàn)的頻率范圍為15.7～17.7 Hz，并設(shè)置掃頻試驗(yàn)時(shí)的掃頻速率為1 Hz/min，設(shè)定不同幅值的激振力進(jìn)行激振實(shí)驗(yàn)，通過(guò)B&K振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)收集板的振動(dòng)信號(hào)。

當(dāng)激振系數(shù)為0.2時(shí)，板的振動(dòng)幅值未發(fā)生變化，即在掃頻激振過(guò)程中板始終處于穩(wěn)定的狀態(tài)，如圖8(a)所示。當(dāng)激振系數(shù)分別為0.4、0.6、0.8時(shí)，板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)，振動(dòng)幅值逐漸增加，如圖8(b)～(d)所示。采用時(shí)域分析法確定不同激振系數(shù)下板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界時(shí)間并結(jié)合掃頻速率計(jì)算上下臨界頻率值。

(a)0.2

(b)0.4

(c)0.6

(d)0.8

由圖9(a)可知，當(dāng)激發(fā)系數(shù)為0.4(40 N)時(shí)，板的振動(dòng)周期在39.6 s時(shí)發(fā)生變化，由暫態(tài)振動(dòng)過(guò)渡至參數(shù)共振失穩(wěn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的激振頻率為15.7+39.6/60=16.360 Hz，即為該激振系數(shù)下板動(dòng)力失穩(wěn)的上臨界頻率；由圖9(b)可知，在58 s時(shí)板的振動(dòng)周期再次發(fā)生變化，由參數(shù)共振失穩(wěn)過(guò)渡至?xí)簯B(tài)振動(dòng)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的激振頻率15.7+58/60=16.667 Hz，即為該激振系數(shù)下板動(dòng)力失穩(wěn)的下臨界頻率。同理，按照類似的方法可以計(jì)算得出其余激振系數(shù)作用下無(wú)附加質(zhì)量板以及攜帶附加質(zhì)量板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)時(shí)對(duì)應(yīng)的上下臨界頻率值，并與解析解進(jìn)行對(duì)比，如圖10所示。

5.2 幅頻響應(yīng)

為研究面內(nèi)周期動(dòng)力荷載作用下板非線性振動(dòng)的性質(zhì)，對(duì)某一激振系數(shù)下的時(shí)域曲線進(jìn)行傅里葉變換，得到該激振系數(shù)下板的幅頻響應(yīng)，將其與理論解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證板在周期動(dòng)力荷載作用下的非線性參數(shù)振動(dòng)的正確性。由圖11所示的激振系數(shù)為0.6時(shí)無(wú)附加質(zhì)量板的幅頻響應(yīng)對(duì)比可知，試驗(yàn)結(jié)果與解析解基本一致，板在周期動(dòng)力荷載作用下的非線性參數(shù)振動(dòng)產(chǎn)生牽引現(xiàn)象。試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外荷載的激振頻率未達(dá)到臨界頻率時(shí)，板的實(shí)測(cè)振動(dòng)幅值不為零，因?yàn)橥夂奢d做功的速率不為零，具有一定的能量使板產(chǎn)生微小的振動(dòng)；當(dāng)外荷載的激振頻率進(jìn)入臨界頻率區(qū)域時(shí)，板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)，其振動(dòng)幅值逐漸增加并表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性性質(zhì)，牽引其向大頻率方向振動(dòng)，直到外荷載的激振頻率超出臨界頻率時(shí)，板的振動(dòng)幅值下降，并恢復(fù)至穩(wěn)定的狀態(tài)。

5.3 附加質(zhì)量影響

將質(zhì)量塊放置在板的中心位置(a/2,b/2)，測(cè)試其在不同幅值激振力作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，運(yùn)用時(shí)域分析法計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的臨界激振頻率。需要指出的是，附加質(zhì)量作用下板的初始缺陷非常微小可忽略不計(jì)。

(a)A時(shí)間段

(b)B時(shí)間段

(c)C時(shí)間段

(d)D時(shí)間段

(e)E時(shí)間段

(f)F時(shí)間段

圖10 不同附加質(zhì)量對(duì)臨界頻率的影響

圖11 不同附加質(zhì)量對(duì)幅頻響應(yīng)的影響

將附加質(zhì)量平均分成兩部分，分別粘貼在板上下表面相同的位置處，且在激振試驗(yàn)過(guò)程中附加質(zhì)量始終與板緊密連接，不產(chǎn)生相對(duì)位移。由圖10所示的臨界頻率對(duì)比圖可知，在附加質(zhì)量的作用下，板的臨界激振頻率降低，不穩(wěn)定域?qū)挏p小，在相同的激振力作用下，攜帶附加質(zhì)量的板先失去穩(wěn)定。當(dāng)激振系數(shù)小于0.3時(shí)，攜帶附加質(zhì)量0.25 kg板的臨界頻率為零，即板在30 N的激振力作用下始終處于穩(wěn)定的狀態(tài)，表明在附加質(zhì)量的作用下，板的阻尼比與其能量耗散的速率增加，導(dǎo)致臨界激振系數(shù)β相應(yīng)地增加，在外荷載做功速率不變的情況下，需要更大的激振力才能使板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)。圖11為相同激振系數(shù)0.6(60 N)下攜帶不同附加質(zhì)量板的幅頻響應(yīng)對(duì)比，結(jié)果表明隨著附加質(zhì)量的增加，板的非線性彈性系數(shù)γ減小，阻尼比增加，但當(dāng)外荷載克服阻尼做功時(shí)，板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)時(shí)的振動(dòng)幅值增加。

將不同激振系數(shù)下掃頻試驗(yàn)測(cè)試得到的攜帶不同附加質(zhì)量板的臨界頻率與特征值法求解得到的理論不穩(wěn)定域進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，實(shí)測(cè)的臨界頻率值整體向右偏移，主要的原因是試驗(yàn)無(wú)法完全模擬四邊簡(jiǎn)支的邊界條件，如邊界存在的摩擦增大了邊界剛度，使得實(shí)測(cè)的自振頻率較理論值大，但試驗(yàn)與解析解吻合較好，兩者的誤差均在合理的范圍之內(nèi)，其中最大的誤差為1.47%，如表1所示。

表1 臨界頻率誤差對(duì)比

6 結(jié) 論

(1)通過(guò)理論與試驗(yàn)研究分析了對(duì)邊簡(jiǎn)諧荷載作用下四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的參數(shù)共振失穩(wěn)問(wèn)題。結(jié)果表明，試驗(yàn)與解析解較吻合，證明了特征值法可正確求解板的動(dòng)力不穩(wěn)定域與幅頻響應(yīng)。

(2)提出的時(shí)域分析法可用于區(qū)別板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)，計(jì)算參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界頻率值。

(3)對(duì)于對(duì)邊周期荷載作用下的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板，當(dāng)外荷載的激振頻率是板自振頻率的兩倍左右時(shí)，板發(fā)生參數(shù)共振失去穩(wěn)定。

(4)板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)經(jīng)歷了3個(gè)主要階段：當(dāng)外荷載的做功速率小于板的能量耗散速率時(shí)，板處于暫態(tài)振動(dòng)，外荷載的激振頻率與板的振動(dòng)頻率相同；當(dāng)外荷載的做功速率大于板的能量耗散速率時(shí)，板由暫態(tài)振動(dòng)過(guò)渡至參數(shù)共振失穩(wěn)，其振動(dòng)幅值逐漸增加，外荷載的激振頻率是板自振頻率的兩倍；當(dāng)板的能量耗散速率大于外荷載的做功速率時(shí)，板的振動(dòng)幅值下降，最終恢復(fù)至?xí)簯B(tài)振動(dòng)。

(5)板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)時(shí)，幾何非線性限制了板振動(dòng)幅值的無(wú)限增長(zhǎng)，并牽引其往大頻率方向振動(dòng)。

(6)附加質(zhì)量降低了板的自振頻率，增大了板的阻尼比和振幅，減小了板的動(dòng)力不穩(wěn)定域?qū)挘谙嗤ふ窳ψ饔孟聰y帶附加質(zhì)量的板先失去穩(wěn)定，且隨著附加質(zhì)量的增加，板發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界頻率逐漸減小，臨界激振系數(shù)逐漸增加。