張明珠 王海仁 左營喜

(1 中國科學(xué)院紫金山天文臺 南京 210034)

(2 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院 合肥 230026)

(3 中國科學(xué)院射電天文重點實驗室 南京 210034)

1 引言

隨著射電望遠鏡不斷向更高工作頻率、更大口徑發(fā)展,對天線的指向精度和等效反射面精度(含各反射面及其準(zhǔn)直精度)要求越來越高,目前亞毫米波望遠鏡指向精度要求已趨近1′′,等效反射面精度要求已趨近10μm.在重力、溫度、風(fēng)等載荷作用下,天線的支撐結(jié)構(gòu)、反射面面形以及主、副反射面間的對準(zhǔn)關(guān)系會發(fā)生變化,從而顯著影響天線的指向精度和等效反射面精度,因而掌握天線隨工況的變形規(guī)律并實時修正變形影響十分重要.實時測量天線變形是實現(xiàn)實時修正的最好手段,但限于目前的測量方法和條件,高精度實時測量還難以實現(xiàn); 天線的變形往往只能在有限工況下測量(例如熱致變形),甚至難以測量(例如風(fēng)致變形).結(jié)構(gòu)有限元分析是目前預(yù)測天線變形規(guī)律普遍采用的方法.然而由于復(fù)合材料(如碳纖維復(fù)合材料)和復(fù)合結(jié)構(gòu)(如三明治夾心結(jié)構(gòu))的應(yīng)用越來越廣泛,其機械和物理特性參數(shù)隨制作工藝或批次變化較大,難以準(zhǔn)確預(yù)知,而且天線有限元模型在結(jié)構(gòu)上有諸多簡化,種種因素導(dǎo)致天線變形的有限元分析結(jié)果與實測結(jié)果之間存在偏差[1].因此,初期建立的天線有限元模型必須通過優(yōu)化修正[2?3],使之與實際天線高度相符,才能實際用于天線變形高精度預(yù)測.依據(jù)修正對象分類,有限元模型修正主要有兩類: 矩陣型修正和參數(shù)型修正[4].矩陣型修正方法主要針對模型剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進行修正,使模型矩陣特征值和特征向量逼近試驗結(jié)果[5?6].參數(shù)型修正是通過優(yōu)化調(diào)整結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、物理材料參數(shù)等使有限元模型分析結(jié)果與實際結(jié)構(gòu)工作性能趨于一致[7?8].關(guān)于射電望遠鏡天線有限元模型修正方法少有研究,文獻[9]研究了采用矩陣型修正方法的大型射電望遠鏡天線的有限元模型修正.本文基于零階優(yōu)化法和一階優(yōu)化法,提出了亞毫米波天線有限元模型參數(shù)修正復(fù)合優(yōu)化方法.為驗證這種優(yōu)化方法的可行性,本文以1.2 m亞毫米波天線有限元模型修正為例,通過假想實驗分別對多個材料參數(shù)在不同的載荷工況下進行復(fù)合優(yōu)化.將初始建立的有限元模型與假想實際天線作對比,初始建立的有限元模型的物理材料參數(shù)值為A,假想實際天線的物理材料參數(shù)為A′(未知量),對初始模型進行參數(shù)復(fù)合優(yōu)化使其分析結(jié)果逼近假想實際天線結(jié)構(gòu)的結(jié)果,并且初始模型物理材料參數(shù)A能夠收斂到假想實際天線結(jié)構(gòu)物理材料參數(shù)值A(chǔ)′.這里A和A′既可以分別指單一材料參數(shù)值,也可以分別指一組材料參數(shù)值.最后對優(yōu)化修正后的模型進行分析,得到重力載荷下天線主反射面變形與俯仰角變化的關(guān)系以及主副面相對位置隨俯仰角變化的規(guī)律.

2 有限元模型參數(shù)修正復(fù)合優(yōu)化方法原理

本文提出的優(yōu)化方法包括3步: 第1步,建立亞毫米波天線參數(shù)化有限元模型,并進行參數(shù)靈敏度分析; 第2步,以第1步中得到的高靈敏度參數(shù)為優(yōu)化變量建立優(yōu)化函數(shù),以初始模型與假想實際天線變形特性的差值最小為目標(biāo)進行優(yōu)化; 第3步,在前兩步的基礎(chǔ)上,基于零階優(yōu)化法和一階優(yōu)化法對亞毫米波天線有限元模型進行復(fù)合優(yōu)化,使天線有限元模型逐漸逼近實際的天線結(jié)構(gòu).

2.1 天線有限元模型

本文對一個1.2 m亞毫米波望遠鏡天線進行優(yōu)化方法可行性試驗.望遠鏡為卡塞格林式,是斜軸式望遠鏡,其有限元模型如圖1所示,該模型包括機架、背架和反射面.實際工作的望遠鏡在背架上一角放置有測量儀器,有限元模型中用質(zhì)量單元模擬該儀器(即圖1中標(biāo)注的位置M).機架整體采用鋼結(jié)構(gòu),背架和副鏡支撐架為碳纖維復(fù)合材料(CFRP),主反射面(以下簡稱主面)采用CFRP-鋁蜂窩-CFRP三明治復(fù)合結(jié)構(gòu).CFRP一般是各向異性材料,該天線所使用的碳纖維復(fù)合材料面板采用準(zhǔn)各向同性鋪層,在平面上兩個方向近似各向同性,在厚度方向上的彈性模量為平面方向上彈性模量的1/10.有限元模型中CFRP和鋼的材料屬性如表1.

圖1 口徑1.2 m亞毫米波天線有限元模型Fig.1 The finite element model of 1.2 m submillimeter-wave antenna

表1 CFRP和鋼的材料屬性Table 1 The material properties of CFRP and steel

在對模型進行優(yōu)化實驗之前,已對模型進行過重力變形、熱變形以及模態(tài)分析,分析結(jié)果表明有限元模型的正確性(這里正確性是指天線特性隨載荷變化的規(guī)律合理,即分析結(jié)果在合理范圍之內(nèi),與實際模型相比不一定具有準(zhǔn)確性),可以在此初始模型上進行優(yōu)化實驗.本文通過對該天線的有限元模型分別施加重力載荷和溫度載荷進行變形分析,對天線主面的變形特性進行有限元模型參數(shù)復(fù)合優(yōu)化仿真.

2.2 參數(shù)靈敏度分析

靈敏度分析的原理是將建立模型的某些輸入?yún)?shù)描述成服從某種概率分布的不確定性變量,經(jīng)過大量的采樣點計算統(tǒng)計分析出這些輸入?yún)?shù)對輸出參數(shù)的影響程度以及輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)之間的關(guān)系.由于天線有限元模型中所使用材料的屬性較多,不同屬性的變化對天線變形的影響大小不一,靈敏度分析有助于確定影響大的材料屬性,從而使得研究更有效.

靈敏度分析涉及隨機輸入變量和隨機輸出參數(shù),其中隨機輸入變量是指直接影響分析結(jié)果的輸入數(shù)據(jù),隨機輸出參數(shù)是指有限元分析的結(jié)果.本文使用的天線有限元模型主要選用材料為鋼和CFRP,因此選取這兩種材料的屬性參數(shù)為隨機輸入變量,將天線主面變形誤差作為隨機輸出參數(shù)來進行靈敏度分析.重力和溫度載荷下對應(yīng)的靈敏度分析變量參數(shù)設(shè)置如表2.

表2 重力和溫度載荷下天線主面變形誤差靈敏度分析設(shè)置Table 2 The sensitivity analysis and settings of the main-reflector deformation errors under gravity and temperature loads

2.3 優(yōu)化目標(biāo)設(shè)計

結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計一般是通過建立優(yōu)化模型,在約束條件下運用優(yōu)化算法迭代運算得到目標(biāo)函數(shù)的極小值.優(yōu)化過程涉及設(shè)計變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù),一般優(yōu)化問題表示為[8,10?11]:

設(shè)計變量x: 通常是結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)、材料屬性等,是優(yōu)化的對象,在整個優(yōu)化過程中不斷隨著目標(biāo)函數(shù)變化;分別為設(shè)計變量的上下限,用于約束設(shè)計變量的取值范圍;n為設(shè)計變量的個數(shù).

狀態(tài)變量sj1(x)、tj2(x)、wj3(x): 是設(shè)計變量x的函數(shù),也是優(yōu)化設(shè)計的約束條件,其中為狀態(tài)變量的上限,為狀態(tài)變量的下限;m1、m2、m3分別為狀態(tài)變量sj1(x)、tj2(x)、wj3(x)的個數(shù).

目標(biāo)函數(shù)f: 是設(shè)計變量x的函數(shù),一般求取目標(biāo)函數(shù)的最小值來作為優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo).

實際天線的變形是通過兩種狀態(tài)下的測量結(jié)果相減獲得,為了與實際一致,對兩種載荷狀態(tài)下天線有限元模型(可以是同一俯仰姿態(tài)施加不同載荷,也可以是在不同俯仰姿態(tài)施加相同載荷)進行兩次分析,將得到的兩個分析結(jié)果相減后作為實際的變形結(jié)果.在材料屬性參數(shù)為A的初始有限元模型中,天線主面有N個節(jié)點,兩種載荷狀態(tài)下天線主面某一節(jié)點i相對于理想拋物面的位移量分別為那么該節(jié)點相對變形位移量為

同樣在兩種載荷狀態(tài)下,分別對材料屬性參數(shù)為A′的假想實際天線進行分析,得到的天線主面節(jié)點相對于理想拋物面的位移量分別為主面節(jié)點相對變形位移量為

優(yōu)化目標(biāo)為通過將材料屬性參數(shù)A設(shè)為設(shè)計變量,來使得有限元模型與假想實際天線的主面節(jié)點變形位移量的差距最小,即令

最小,因此目標(biāo)函數(shù)為:

由于

故選取狀態(tài)變量為:

因此針對天線主面變形的優(yōu)化問題表示為:

2.4 零階優(yōu)化法和一階優(yōu)化法

零階優(yōu)化法和一階優(yōu)化法都是將約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題來求解,區(qū)別在于零階法不利用一階信息,能夠得到全局最優(yōu)解但精度低; 而一階法運用因變量的偏導(dǎo)數(shù),精度高但是收斂速度慢,有可能得到局部最優(yōu)解.這兩種方法各有優(yōu)缺點,因此將兩種優(yōu)化算法相結(jié)合進行復(fù)合優(yōu)化,先用零階優(yōu)化法得到精度較低的全局最優(yōu)解,基于這個解再用一階優(yōu)化法提高精度,最后得到精度高的全局最優(yōu)解,即進行兩次復(fù)合優(yōu)化[10?11].

對于(1)式表示的優(yōu)化問題,零階法采用最小二乘擬合以及加罰函數(shù)的方法進行優(yōu)化.首先擬合設(shè)計變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)函數(shù),擬合后的目標(biāo)函數(shù)為:

其中,a0、ak和bkj均為常系數(shù).其次對設(shè)計變量和狀態(tài)變量加罰函數(shù),將有約束的問題轉(zhuǎn)化為無約束的問題:

其中f0為目標(biāo)函數(shù)參考值,p為響應(yīng)面參數(shù),X(xk)、S(sj1)、T(tj2)、W(wj3)分別為設(shè)計變量x和狀態(tài)變量sj1(x)、tj2(x)、wj3(x)的罰函數(shù),當(dāng)設(shè)計變量或者狀態(tài)變量的值接近其上限或者下限時,相應(yīng)的罰函數(shù)的值會急劇增加.

一階優(yōu)化同樣對設(shè)計變量和狀態(tài)變量加罰函數(shù),由目標(biāo)函數(shù)和罰函數(shù)組成無約束的目標(biāo)函數(shù):

其中f0為目標(biāo)函數(shù)參考值,q為控制約束的參數(shù),Px(xk)以及Ps(sj1)、Pt(tj2)、Pw(wj3)分別為設(shè)計變量x和狀態(tài)變量sj1(x)、tj2(x)、wj3(x)的罰函數(shù).

一階優(yōu)化由設(shè)計變量的一階偏導(dǎo)數(shù)來確定優(yōu)化搜索方向.對于第l次優(yōu)化迭代,其優(yōu)化搜索方向d(l),設(shè)計變量值為x(l),那么下一次迭代的變量值為:

其中x(l+1)為第(l+1)次迭代的設(shè)計變量值,hl為線性搜索參數(shù),對應(yīng)于搜索方向d(l)上的最小步進值.根據(jù)(11)式搜索方向可以分為兩部分:

優(yōu)化的迭代循環(huán)在達到收斂精度時終止,收斂條件為:

其中τ為目標(biāo)函數(shù)的公差,f(l)為當(dāng)前迭代步的目標(biāo)函數(shù)值,f(l?1)為前一迭代步的目標(biāo)函數(shù)值,f(b)為最佳設(shè)置處的目標(biāo)函數(shù)值.

對于(8)式表示的優(yōu)化問題,通過零階優(yōu)化法和一階優(yōu)化法優(yōu)化得到最優(yōu)解即最小的f時,所對應(yīng)的設(shè)計變量A若能收斂到假想實際天線的材料屬性A′,則表明本文提出的優(yōu)化方法可行.

3 天線主面系統(tǒng)有限元模型優(yōu)化仿真

3.1 靈敏度分析

根據(jù)2.2節(jié)的敘述,對1.2 m亞毫米波天線有限元模型分別施加重力載荷和溫度載荷分析輸入?yún)?shù)對天線主面變形誤差的靈敏度,按照表2中對這兩種載荷下靈敏度分析的設(shè)置,分析結(jié)果分別如圖2和圖3.其中柱狀圖左邊的刻度表示隨機輸入變量與天線主面變形誤差的相關(guān)系數(shù),其最大范圍是從?1到1.從圖2可以看出,重力載荷下對主面變形誤差RMSG影響較大的參數(shù)是EX-CARB和DENS-CARB,即碳纖維復(fù)合材料(CFRP)的彈性模量和密度,相關(guān)系數(shù)分別為?0.751和0.586,材料的泊松比對主面變形誤差沒有影響; 由圖3看出,溫度載荷下對主面變形誤差RMST影響較大的參數(shù)為ALPX-CARB、ALPX-ST,分別表示CFRP的熱膨脹系數(shù)和鋼的熱膨脹系數(shù),相關(guān)系數(shù)分別為?0.695和0.595,材料的密度對主面變形誤差沒有影響.因此接下來分別選取CFRP的彈性模量和熱膨脹系數(shù)作為設(shè)計變量來進行優(yōu)化仿真.

圖2 重力載荷下天線主面變形誤差靈敏度分析結(jié)果Fig.2 The results of sensitivity analysis of the antenna main-reflector deformation error under gravity load

圖3 溫度載荷下天線主面變形誤差靈敏度分析結(jié)果Fig.3 The results of sensitivity analysis of the antenna main-reflector deformation error under temperature load

3.2 重力載荷下主面系統(tǒng)優(yōu)化仿真

由于工作中的真實天線總會受到重力等載荷的影響,因此不存在無重力影響的理想情況,也就無法測量得到變形后主面節(jié)點相對理想拋物面的位移量,實際測量時只能通過兩個俯仰角的面形相減來得到重力引起的主面變形誤差.根據(jù)2.3節(jié)的敘述,選取的兩個載荷狀態(tài)分別是在天線俯仰角為0?和90?時對有限元模型施加重力載荷,分析得到的天線位移變形云圖如圖4,背架上放置的儀器位于圖4中標(biāo)注的位置M.

圖4 重力載荷下天線變形:(左)天線仰角為0?;(右)天線仰角為90?.圖中底部的顏色條標(biāo)識天線的變形位移,單位為mmFig.4 The deformation of the antenna under gravity load:(Left)the elevation angle is 0?;(Right)the elevation angle is 90?.The color bar on the bottom of the panels identifies the deformation displacement of the antenna,and the unit is millimeter

根據(jù)3.1節(jié)重力載荷下的參數(shù)靈敏度分析結(jié)果,選取EX-CARB即CFRP的彈性模量為初始有限元模型的設(shè)計變量,初始值為E0=68000 N·mm?2,假想實際天線中CFRP的彈性模量為E′=50000 N·mm?2(對于低彈性模量類型的CFRP,其彈性模量低于100000 N·mm?2).由(2)–(8)式,記設(shè)計變量為E,狀態(tài)變量為SG,施加重力載荷后主面變形的優(yōu)化設(shè)計為:

零階優(yōu)化法和一階優(yōu)化法的迭代次數(shù)均選為15,先用零階法對模型進行優(yōu)化得到全局最優(yōu)解,在此基礎(chǔ)上再用一階法進行優(yōu)化提高精度,目標(biāo)函數(shù)fG與設(shè)計變量E的迭代過程如圖5所示,在第7次迭代取得最優(yōu)解.經(jīng)過零階法和一階法兩次優(yōu)化達到最優(yōu)解的迭代次數(shù)、目標(biāo)函數(shù)值以及設(shè)計變量值如表3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)達到最小值時,設(shè)計變量為50134 N·mm?2,與E′的相對誤差為134 N·mm?2,絕對誤差為0.27%.

表3 重力載荷下主面變形優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Table 3 The results of the optimization of the main-reflector deformation under gravity load

圖5 目標(biāo)函數(shù)fG隨E的變化以及二者的迭代過程Fig.5 The dependence of the objective function fG upon E and the iteration processes

重力載荷下,當(dāng)天線仰角變化90?時,假想實際天線結(jié)構(gòu)即CFRP的彈性模量為E′=50000 N·mm?2時分析得到的天線主面變形分布如圖6,天線主面變形誤差RMSG為7.4529μm; 初始模型(對應(yīng)于E0=68000 N·mm?2)的天線主面重力變形分布如圖7左圖,RMSG為6.9771μm,與假想實際天線結(jié)構(gòu)主面變形的偏差分布如圖7右圖,偏差errord為0.7398μm,優(yōu)化結(jié)果模型(對應(yīng)于E=50134 N·mm?2)的主面變形分布如圖8左圖,RMSG為7.4486μm,與假想實際天線結(jié)構(gòu)主面變形的偏差分布如圖8右圖,errord極小,為0.0492μm.由表3以及圖6、7、8可以看出,重力載荷下優(yōu)化后天線特性(圖8左圖)與假想實際天線結(jié)構(gòu)的特性(圖6)極為相符,并且優(yōu)化得到的參數(shù)E收斂到假想實際天線結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)E′,初步表明了所提出優(yōu)化方法的可行性.

圖6 重力載荷下假想實際天線結(jié)構(gòu)的主面變形分布(對應(yīng)于E′=50000 N·mm?2)Fig.6 The main-reflector deformation distribution of the imaginary real structure of the antenna under gravity load(corresponding to E′=50000 N·mm?2)

圖7 左: 重力載荷下初始模型的主面變形分布情況(對應(yīng)于E0=68000 N·mm?2); 右: 初始模型與假想實際天線結(jié)構(gòu)的形變偏差Fig.7 Left: the main-reflector deformation distribution of the initial model under gravity load(corresponding to E0=68000 N·mm?2); Right: the deformation deviation between the initial model and the imaginary real structure of antenna

圖8 左: 重力載荷下優(yōu)化模型的主面變形分布情況(對應(yīng)于E=50134 N·mm?2); 右: 優(yōu)化模型與假想實際天線結(jié)構(gòu)的形變偏差Fig.8 Left: the main-reflector deformation distribution of the optimization model under gravity load(corresponding to E=50134 N·mm?2); Right: the deformation deviation between the optimization model and the imaginary real structure of antenna

3.3 溫度載荷下天線主面變形優(yōu)化仿真

選取天線俯仰角為指向水平方向,參考南極Dome A存在的極端溫度條件以及望遠鏡一面朝陽一面背陰情況,對有限元模型分別施加兩種溫度載荷進行分析.第1種是平均溫度為5?C的溫度載荷,載荷分布如圖9左圖; 第2種是在平均溫度為?55?C的溫度載荷下再加上沿天線指向的1?C·m?1溫度梯度載荷,溫度載荷分布如圖9右圖所示.

圖9 天線有限元模型溫度載荷分布:(左)5?C溫度載荷;(右) ?55?C溫度載荷加沿天線指向的1?C·m?1溫度梯度載荷.TMIN表示最低溫度載荷,TMAX表示最高溫度載荷,右圖的顏色條標(biāo)識溫度,單位為?CFig.9 The temperature load distribution of the finite element model of the antenna:(Left)5?C mean temperature;(Right)superimposing 1?C·m?1 temperature gradient on the ?55?C mean temperature.TMIN is the minimum temperature,and TMAX is the maximum.The color bar in the right panel identifies the temperature.The unit is ?C

根據(jù)文獻[12]中對CFRP熱膨脹系數(shù)的敘述,設(shè)假想實際天線所使用的CFRP熱膨脹系數(shù)為α′=1.5×10?6K?1,將初始有限元模型的CFRP熱膨脹系數(shù)設(shè)為設(shè)計變量,其初始值為α0=3.0×10?6K?1.由(2)–(8)式,記設(shè)計變量為α,狀態(tài)變量為ST,對望遠鏡施加溫度載荷后主面變形的優(yōu)化設(shè)計表示為:

零階優(yōu)化法和一階優(yōu)化法的迭代次數(shù)均選為15,整個優(yōu)化迭代過程如圖10所示,在第9次迭代取得最優(yōu)解.依次經(jīng)過零階法和一階法兩個階段的優(yōu)化后,得到最優(yōu)解時的迭代次數(shù)、相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值以及設(shè)計變量值在表4中列出,達到最優(yōu)解時對應(yīng)的設(shè)計變量為1.4935×10?6K?1,與α′的相對誤差為0.65×10?8K?1,絕對誤差為0.43%,因此α收斂到α′.

表4 溫度載荷下主面變形優(yōu)化設(shè)計結(jié)果Table 4 The results of the optimization of the main-reflector deformation under temperature load

圖10 目標(biāo)函數(shù)fT隨α變化以及二者的迭代過程Fig.10 The dependence of objective function fT upon α and the iteration processes

在溫度載荷從均勻溫度5?C變化到極端的不均勻溫度即在?55?C的溫度載荷上疊加1?C·m?1的溫度梯度載荷,假想實際天線結(jié)構(gòu)即CFRP熱膨脹系數(shù)為α′=1.5×10?6K?1時分析得到的天線主面熱變形分布如圖11,RMST為14.1649μm;初始模型(對應(yīng)于α0=3.0×10?6K?1)的RMST為4.1598μm,變形誤差分布如圖12左圖,與假想實際天線結(jié)構(gòu)的偏差分布如圖12右圖,errord為10.4215μm; 優(yōu)化結(jié)果模型(對應(yīng)于α=1.4935×10?6K?1)的主面變形分布如圖13左圖,RMST為14.2085μm,與假想實際天線結(jié)構(gòu)的偏差分布如圖13右圖,errord為0.0594μm,說明優(yōu)化結(jié)果模型極其接近假想實際模型.表4以及圖11、12、13再次證明了這種優(yōu)化方法的可行性.

圖11 溫度載荷下假想實際天線結(jié)構(gòu)的主面變形分布(對應(yīng)于α′=1.5× 10?6 K?1)Fig.11 The main-reflector deformation distribution of the imaginary real structure of the antenna under temperature load(corresponding to α′=1.5× 10?6 K?1)

圖12 左: 溫度載荷下初始模型的主面變形分布情況(對應(yīng)于α0=3.0× 10?6 K?1); 右: 初始模型與假想實際天線結(jié)構(gòu)的形變偏差Fig.12 Left: the main-reflector deformation distribution of the initial model under temperature load(corresponding to α0=3.0× 10?6 K?1); Right: the deformation deviation between the initial model and the imaginary real structure of antenna

圖13 左: 溫度載荷下優(yōu)化模型的主面變形分布情況(對應(yīng)于α=1.4935× 10?6 K?1); 右: 優(yōu)化模型與假想實際天線結(jié)構(gòu)的形變偏差Fig.13 Left: the main-reflector deformation distribution of the optimization model under temperature load(corresponding to α=1.4935× 10?6 K?1); Right: the deformation deviation between the optimization model and the imaginary real structure of antenna

4 重力載荷下天線變形規(guī)律分析

天線在不同俯仰角受重力影響的程度大小不一,主面面型的變形和主副面的相對位置都會隨俯仰角的變化而變化.下面將修正優(yōu)化后的天線有限元模型作為實際天線,分析重力載荷下,隨俯仰角逐漸從水平指向變化到天頂指向,天線主面面型的變化規(guī)律以及主副面之間的相對位置關(guān)系.

天線主面面型的變化通過主面變形誤差均方根(Root Mean Square,RMS)來表示,重力作用下變形誤差RMS與俯仰角EL的關(guān)系如圖14所示.一般天線主面變形誤差隨俯仰角的變化關(guān)系曲線是正弦曲線或余弦曲線,但是由于試驗對象1.2 m天線采用斜軸式結(jié)構(gòu),不同于常用的方位俯仰系統(tǒng),隨著天線俯仰角度的變化,整個反射面系統(tǒng)都會繞自身軸線旋轉(zhuǎn),副面的3根非圓柱型支撐桿以及背架上儀器設(shè)備的質(zhì)量均會使得沿重力方向主副面的支撐狀態(tài)不斷變化,可能使得天線主面變形誤差與俯仰角的關(guān)系曲線偏離正弦或余弦曲線.

圖14 重力載荷下天線主面變形誤差RMS隨俯仰角變化Fig.14 The dependence of the main-reflector deformation errors RMS upon elevation angle under gravity load

主副面的相對位置關(guān)系包含不同工況下副面的位置相對于理想拋物面在空間直角坐標(biāo)系X、Y、Z方向上的位移以及變形后副面軸線相對于理想拋物面傾角的X、Y分量.其中Z方向即為理想天線的指向方向.

圖15中的ux、uy、uz分別表示相對于理想拋物面,重力作用下副面位置在X、Y、Z方向上的位移.隨著天線俯仰角從0?變化到90?,副面位置在X方向上的位移ux逐漸減小,且都是偏向X軸正方向; 在Y方向上的位移uy則是一直偏向Y軸的負方向,位移量先增大后減小,在35?時位移量最大; 副面位置在Z方向上的位移uz先偏向正方向逐漸減小,后偏向負方向逐漸增大,在俯仰角為55?時位移量最小; 圖16給出了天線變形前后副面位置偏移的絕對距離隨俯仰角的變化,對其進行擬合發(fā)現(xiàn)絕對距離與俯仰角度的關(guān)系近似是三角函數(shù).一般采用方位俯仰結(jié)構(gòu)的望遠鏡副面在X方向上的位移不隨俯仰角度的變化而變化,但是對于斜軸式結(jié)構(gòu),在不同俯仰角度,副面在X方向上的位移會不相同.

副面軸線傾角在X、Y方向的分量隨俯仰角度變化的關(guān)系曲線如圖17.在重力載荷下,副面軸線傾角在X方向上的分量隨俯仰角的增大而減小;Y方向上的分量在俯仰角約為0?–75?之間先增大后減小,在70?–90?之間又逐漸增大.同樣,對于采用方位俯仰結(jié)構(gòu)的望遠鏡,變形后副面軸線傾角在X方向上的分量在各個俯仰角度是相同的; 但對于斜軸式結(jié)構(gòu),副面軸線傾角的X分量會隨俯仰角度變化.

圖15 重力作用下副面位置在X、Y、Z方向上的位移隨俯仰角變化Fig.15 The dependence of the displacements in X, Y,and Z directions of sub-reflector upon elevation angle under gravity load

圖16 重力作用下副面位置偏移的絕對距離隨俯仰角變化Fig.16 The dependence of the absolute distance value of the sub-reflector position deviation upon elevation angle under gravity load

圖17 重力作用下副面軸線傾角的X、Y 方向分量隨俯仰角變化關(guān)系Fig.17 The dependence of the inclination angles of sub-reflector axis relative to X-direction and Y-direction upon elevation angle under gravity load

5 總結(jié)

針對亞毫米波天線有限元模型與實際天線變形特性的差異,本文提出了有限元模型參數(shù)修正復(fù)合優(yōu)化方法,并以1.2 m亞毫米波天線在重力載荷和溫度載荷下的變形特性為例進行復(fù)合優(yōu)化.首先對1.2 m亞毫米波天線的有限元模型進行參數(shù)靈敏度分析,選擇對天線主面變形靈敏度高的材料屬性參數(shù)作為優(yōu)化變量,將初始模型與假想實際天線主面變形的差作為優(yōu)化目標(biāo),采用零階優(yōu)化法與一階優(yōu)化法相結(jié)合的方法對天線的有限元模型進行優(yōu)化.在重力載荷情況下,將初始有限元模型中CFRP的彈性模量作為設(shè)計變量,初始值為68000 N·mm?2,當(dāng)達到最優(yōu)目標(biāo)即差值最小時對應(yīng)的設(shè)計變量為50134 N·mm?2,與假想實際天線的CFRP的彈性模量(50000 N·mm?2)的絕對誤差為0.27%; 在溫度載荷下,將初始有限元模型中CFRP的熱膨脹系數(shù)作為設(shè)計變量,初始值為3.0×10?6K?1,當(dāng)達到最優(yōu)目標(biāo)時所對應(yīng)的設(shè)計變量為1.4935×10?6K?1,與假想實際天線的CFRP的熱膨脹系數(shù)(1.5×10?6K?1)的絕對誤差為0.43%; 以上兩種情況都表明采用的優(yōu)化方法可行.將經(jīng)過修正優(yōu)化的模型作為實際天線進行重力變形分析,得到天線主面變形誤差以及主副面相對位置隨俯仰角變化關(guān)系,未來可根據(jù)實驗數(shù)據(jù)來檢驗這種關(guān)系的正確性.