趙 飛 羅 煜 韋成亮

(1 中國科學(xué)院紫金山天文臺星系宇宙學(xué)與暗能量實(shí)驗室 南京 210034)

(2 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院 南京 210034)

1 引言

宇宙中的物質(zhì)分布在大尺度上形成了非常復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)狀的結(jié)構(gòu),一般我們把這些大尺度結(jié)構(gòu)分為空洞(void)、墻結(jié)構(gòu)(wall)、纖維結(jié)構(gòu)(filament)、團(tuán)塊結(jié)構(gòu)(cluster)等.空洞結(jié)構(gòu)的體積大約占宇宙總體積的80%,自從1978年人類第1次從星系巡天中發(fā)現(xiàn)空洞結(jié)構(gòu)以來[1],人們便開始考慮利用空洞來研究宇宙學(xué),以作為星系等其他宇宙學(xué)探針的補(bǔ)充.

空洞結(jié)構(gòu)在宇宙學(xué)方面有非常重要的潛在應(yīng)用價值.空洞的尺度跨度比較大[2–4],從1 Mpc到100 Mpc都有,這使得我們能夠同時在不同尺度上研究宇宙.空洞結(jié)構(gòu)內(nèi)部的密度非常低,重子物質(zhì)的質(zhì)量占比相對較少,故其內(nèi)部的動力學(xué)可能由暗能量主導(dǎo),這使得我們能夠用空洞結(jié)構(gòu)來研究暗能量的屬性,限制暗能量的狀態(tài)方程[5–10].此外,空洞內(nèi)部密度低,故修改引力理論如F5(Fifth force)等的效果更容易在其內(nèi)部體現(xiàn)出來,因此空洞是檢驗修改引力理論的一個非常好的探針[11–15].空洞的統(tǒng)計性質(zhì)對中微子的質(zhì)量比較敏感,通過空洞來限制中微子的質(zhì)量也是頗受關(guān)注的問題[16–18].空洞結(jié)構(gòu)包含了宇宙大尺度結(jié)構(gòu)形成的信息,可以用來做Alcock-Paczynski檢驗[19–20].如與宇宙微波背景結(jié)合,可以用來研究累積薩克斯-沃爾夫(ISW)效應(yīng)[21–26].此外,空洞結(jié)構(gòu)的尺度和紅移畸變的尺度相近,這使得空洞結(jié)構(gòu)還能用來研究紅移畸變[27–32].

盡管空洞有很多潛在的應(yīng)用價值,但目前這方面有很多問題尚未解決.其一是我們對空洞這一概念沒有一個嚴(yán)格的定義,我們對空洞的研究主要是數(shù)值模擬主導(dǎo)的,每個人的算法或多或少存在差異,以致不同研究者之間的結(jié)果存在差異,互相之間不好比較[33–37],二是我們沒有一個和實(shí)際模擬以及觀測數(shù)據(jù)相符合的完善的空洞理論模型[38–42].

空洞理論模型的建立主要借鑒了暗物質(zhì)暈的理論模型,為進(jìn)一步完善空洞的理論模型,從數(shù)值模擬角度出發(fā)研究其演化是一個非常好的思路,能夠為構(gòu)建理論模型提供一些數(shù)據(jù)支撐.而目前空洞演化研究還尚未成熟[43–46],Sutter等[43]以及Wojtak等[44]通過借鑒暗物質(zhì)并合樹的方法來研究空洞的演化,這些研究整體上定性給出空洞演化的物理圖像,即相對暗物質(zhì)等高密度結(jié)構(gòu)而言,空洞的演化過程沒有那么劇烈,從數(shù)值模擬的初始條件紅移z=100開始直到z=0時刻,在跨度如此大的紅移區(qū)間內(nèi),空洞基本上保持了最初的位置,空洞隨紅移逐漸緩慢地膨脹變大,最后體積大概增加20%左右.在演化過程中,空洞的形狀分布整體改變很小,其形狀有比較弱的變扁趨勢.其主軸的指向也大體保留了初始時刻的指向.Sutter等[43]和Wojtak等[44]工作的結(jié)果也有不同之處,Sutter等[43]的結(jié)果是空洞的演化歷史和其等級結(jié)構(gòu)更加相關(guān),與空洞大小關(guān)系比較弱,而Wojtak等[44]的演化軌跡主要是由空洞的大小決定的.這其中的差異主要是他們選擇的具體空洞樣本以及追蹤空洞的起源等方法上的不同所致.即空洞演化在細(xì)節(jié)上的結(jié)果是依賴于研究方法的.

之前關(guān)于空洞演化的研究主要關(guān)注暗物質(zhì)空洞的演化,但是暗物質(zhì)空洞和星系空洞之間的統(tǒng)計性質(zhì)存在差別[47–51],這主要源自星系偏袒,即星系分布不能精確代表宇宙所有物質(zhì)的分布.Kreisch等[17]在研究空洞的統(tǒng)計性質(zhì)對中微子質(zhì)量響應(yīng)的時候,發(fā)現(xiàn)不同示蹤物找出來的空洞大小分布對中微子質(zhì)量的響應(yīng)是相反的.這說明搞清楚不同示蹤物找出來的空洞之間的差別非常重要.之前一些研究暗物質(zhì)空洞和星系空洞的文章[47–48]指出,星系空洞和暗物質(zhì)空洞大體上能夠匹配得上,但是兩者的質(zhì)心會在統(tǒng)計上偏離大約空洞大小的50%.另外暗物質(zhì)空洞和星系空洞的疊加密度輪廓非常相似,能夠用Hamuas等人給出的公式擬合[52].在研究星系偏袒的時候,模擬粒子的數(shù)密度會帶來非常大的影響,會掩蓋掉星系偏袒造成的星系空洞的統(tǒng)計性質(zhì)的差別[48].Pollina等[49–50]在研究星系、星系團(tuán)、活動星系核(AGN)等空洞的偏差時,發(fā)現(xiàn)重子物質(zhì)的空洞的疊加密度輪廓和其中的暗物質(zhì)的疊加密度輪廓之間存在比值關(guān)系,該比值隨著空洞的變大而逐漸減少,最后漸近于線性偏袒因子,偏袒因子即星系功率譜和暗物質(zhì)功率譜的比值.

這里需要特別注意的是,目前研究中所討論的關(guān)于星系空洞和暗物質(zhì)空洞之間的差別由以下幾個原因?qū)е?(1)暗物質(zhì)和星系之間真正由宇宙的物理演化過程所產(chǎn)生的偏袒,這部分是我們真正所關(guān)心的部分;(2)目前主流的基于Tesselation的空洞算法比如VIDE(Void Identification and Examination toolkit)將星系看作是等質(zhì)量的粒子,在做Tesselation的時候沒有考慮質(zhì)量權(quán)重,這部分會引起噪聲.沒有考慮星系質(zhì)量權(quán)重的主要原因有兩點(diǎn),一是目前真實(shí)巡天數(shù)據(jù)中的做法也是直接去數(shù)星系的數(shù)目而不考慮其質(zhì)量權(quán)重,二是Mao等[53]指出,不同密度環(huán)境中的星系質(zhì)量分布差別不是特別大;(3)示蹤物的數(shù)密度不同所帶來的誤差.前人的研究往往忽略了這一點(diǎn),即沒有考慮不同示蹤物之間的粒子數(shù)密度不同所帶來的影響.Sutter等[48]在研究示蹤物的粒子數(shù)密度對空洞統(tǒng)計性質(zhì)影響的時候發(fā)現(xiàn),當(dāng)示蹤物的粒子數(shù)密度比SDSS DR7(Sloan Digital Sky Survey Data Release 7)的星系數(shù)密度(約為10?2Mpc?3·h?1,h為無量綱哈勃常數(shù))低的時候會帶來比較大的系統(tǒng)性誤差,主要體現(xiàn)在對空洞統(tǒng)計性質(zhì)的系統(tǒng)性影響,而更高的示蹤粒子數(shù)密度給出的結(jié)果比較穩(wěn)定.因此目前設(shè)置示蹤物粒子數(shù)密度的時候以SDSS DR7對應(yīng)的值為參考或更高.

前人關(guān)于示蹤物導(dǎo)致的空洞統(tǒng)計性質(zhì)差別的相關(guān)研究包含了上述3個方面,而本文在研究示蹤物偏差的時候?qū)⒉煌聚櫸锏牧Ｗ訑?shù)密度設(shè)置為相等,這樣就避免了示蹤物數(shù)密度不同所帶來的不確定性,即本文中的偏袒只包含真實(shí)的示蹤物之間的偏袒且沒有考慮星系質(zhì)量權(quán)重所帶來的噪聲.另外,前人關(guān)于示蹤物的研究主要關(guān)注紅移z=0處的星系空洞和暗物質(zhì)空洞統(tǒng)計性質(zhì)之間的差別,或者研究一些真實(shí)的星系巡天數(shù)據(jù)如SDSS數(shù)據(jù)的開源空洞列表[53–56],在本文的工作中,基于密度場極小值這一空洞的最基本的定義,我們系統(tǒng)研究了暗物質(zhì)和星系示蹤物找出來的空洞的統(tǒng)計性質(zhì)的差別及其隨時間的演化.此外,本文中使用了比較高的示蹤物數(shù)密度(約是SDSS DR7星系數(shù)密度的100倍),這樣能夠更好地解析小的空洞,以便于對空洞的理論模型的完善提供借鑒.本文接下來的第2部分主要介紹我們使用的空洞結(jié)構(gòu)算法,第3部分主要介紹我們使用的數(shù)據(jù),第4部分主要介紹我們的研究結(jié)果,最后是總結(jié)和討論.

2 VIDE算法

空洞的算法多種多樣[57–61],不同的算法給出的結(jié)果還或多或少存在差異[33,37],這也是目前空洞領(lǐng)域比較棘手的問題.但是相對而言,目前使用比較多的算法是Sutter等[57]的開源程序VIDE,VIDE是一個優(yōu)化版的ZOBOV(ZOnes Bordering On Voidness)[58].并且其模塊化程度比較高,易于根據(jù)自己的需要修改.

VIDE的基本思路分為4個步驟:

(1)生成維諾圖(Voronoi Tesselation)[62].對于一個離散的粒子集,我們給每個粒子生成一個小多面體,該多面體按照如下規(guī)則確定: 對于該體元內(nèi)部的任意點(diǎn),其與該粒子的距離比其他粒子與該粒子的距離都要小.該體元的倒數(shù)就是該位置處粒子的局域密度值,這樣一來就得到了一個以每個粒子為中心的密度場.

(2)尋找密度極小值點(diǎn).對于第1步給出的密度場,我們找出所有的密度極小值點(diǎn).密度的極小值點(diǎn)按照如下定義: 如果某個粒子的局域密度比所有與它相鄰的粒子的局域密度都要低,那么這個粒子的位置就認(rèn)為是密度場的極小值點(diǎn).

(3)建立局域的低密度區(qū)域.以第2步給出密度場的每個極小值點(diǎn)為中心向四周擴(kuò)散,把所有相鄰的并且密度更高的體元連接起來,在連接的過程中不斷以邊界的體元為準(zhǔn)進(jìn)行迭代擴(kuò)張,直到?jīng)]有更高密度的相鄰體元.如此則給出了圍繞每個密度極小值的局域的低密度區(qū)域.這些局域的低密度區(qū)域就可以認(rèn)為是空洞結(jié)構(gòu).

(4)分水嶺變換(Watershed transform)[60].這一步驟對第3步得到的局域低密度區(qū)使用分水嶺算法進(jìn)行連接,從而形成更大的空洞結(jié)構(gòu).這種分水嶺算法也給出了空洞結(jié)構(gòu)的等級結(jié)構(gòu),根據(jù)其包含與被包含的關(guān)系,我們將之稱為父空洞結(jié)構(gòu)和子空洞結(jié)構(gòu).所謂的父空洞是不被其他空洞包含的空洞,而子空洞是被其他空洞結(jié)構(gòu)包含的空洞.我們用等級深度來表示被包含的層次,不被包含的父空洞的等級結(jié)構(gòu)深度為0,被包含一次的等級深度為1,依此類推.

VIDE程序給出來的空洞是通過成員粒子集合來表示的,其形狀是不規(guī)則的.而一些情況下我們需要對大量空洞樣本進(jìn)行疊加,這首先要求我們確定空洞的中心,比較常見的確定空洞中心的方法有兩種,一種是把空洞密度最低的位置(即體積最大的成員粒子的位置)定義為中心,而另一種方法則是將空洞成員粒子的質(zhì)心定義為中心(所有維諾體元的體積加權(quán)的中心):

其中xi是空洞結(jié)構(gòu)的第i個成員粒子的位置,而Vi則是對應(yīng)的維諾體元的體積.對空洞中心本文中使用上述定義.

另外,由于VIDE給出的空洞形狀是不規(guī)則的,這給空洞的疊加以及衡量空洞的尺度帶來了不便,對于空洞尺度我們使用有效半徑Reff來描述其大小,其定義如下:

其中V是空洞結(jié)構(gòu)的體積(所有維諾體元的體積之和),即空洞的有效半徑是與空洞真實(shí)體積相等的球的半徑,在本文后面的內(nèi)容中,我們統(tǒng)一使用有效半徑來表示空洞結(jié)構(gòu)的大小.另外,我們在疊加空洞的時候也是以(1)式計算的中心為準(zhǔn)對齊,參與疊加的粒子是Reff內(nèi)的粒子.

上述算法的第4步分水嶺變換即是以密度場極小值為中心的局域低密度區(qū)域的擴(kuò)展,通過這一步空洞形成了復(fù)雜的等級結(jié)構(gòu).但問題也是恰恰在這一步產(chǎn)生,即如何擴(kuò)展目前并無定論.最常見的情況是根據(jù)低密度區(qū)域之間的分隔區(qū)域的密度高低和人為設(shè)定的閾值來比較以確定是否擴(kuò)展.而常用的閾值選擇之一是0.2,即當(dāng)兩個低密度區(qū)域之間的分隔區(qū)域的密度低于整個模擬體積密度的0.2倍的時候滿足擴(kuò)展條件.另外一種策略是將該閾值設(shè)置為無窮大,如此一來,密度值最小的低密度區(qū)域會將其他所有的低密度區(qū)吞噬,其結(jié)果是空洞的體積加起來超過了整個模擬體積,很顯然這是不太合適的.

Nadathur等[37]在對比空洞的性質(zhì)和理論模型預(yù)言的時候,將并合閾值設(shè)為0,即不考慮密度極小值區(qū)域的擴(kuò)展,空洞列表由上述算法的第3步得到的局域低密度區(qū)域構(gòu)成.Nadathur的初衷是這種做法在建立理論模型的時候可能更好處理.除此之外,這種做法很適用于我們研究空洞的演化,因為空洞的演化大體上是內(nèi)部密度減小的過程,在不同紅移處設(shè)置相同的并合閾值比如0.2顯然是不合適的,而這種不考慮擴(kuò)展只研究密度場極小值區(qū)域的做法對不同紅移而言是比較合適的.

3 數(shù)據(jù)

我們使用的數(shù)據(jù)是一個高精度的N體宇宙學(xué)模擬的數(shù)據(jù),該數(shù)值模擬是ELUCID(Exploring the Local Universe with the reConstructed Initial Density Field)項目的一部分[63–65].該模擬的粒子數(shù)是30723,模擬盒子的邊長是500 Mpc,并使用周期性邊界條件.宇宙學(xué)參數(shù)是WMAP9(Wilkinson Microwave Anisotropy)[66]的結(jié)果,具體的宇宙學(xué)參數(shù)值分別是: ?m=0.282,?λ=0.718,?b=0.046,ns=0.965,h=0.697,σ8=0.817,質(zhì)量分辨率是3.3747×108M⊙·h?1.該模擬起自紅移100,從紅移19到紅移0處,在lg(1+z)空間中等間隔輸出100個紅移位置的數(shù)據(jù).

基于該N體數(shù)值模擬,我們通過FOF(Friends of Friends)算法給出暗物質(zhì)暈的列表,再基于此暗物質(zhì)暈列表,通過半解析模型[67]給出了對應(yīng)紅移處的模擬星系列表.

為了研究空洞演化,我們在紅移2.03到紅移0之間總共取了6個紅移位置的星系數(shù)據(jù).圖1給出的是6個紅移位置處的星系數(shù)目Ngal,其中紅移2.03處的星系數(shù)目為13495546,記作Ngal(z=2.03)=13495546,相應(yīng)的數(shù)密度為0.1079 Mpc?3,星系在不同的紅移處其數(shù)目略有變化,如圖1所示.另外,由于暗物質(zhì)粒子和星系粒子的數(shù)密度差異比較大,這會對研究星系空洞和暗物質(zhì)空洞之間的偏袒帶來影響[48],因此我們將6個紅移位置處的暗物質(zhì)粒子向下采樣至和對應(yīng)紅移的星系相同的數(shù)密度,并且為了考慮泊松噪聲的影響,我們還產(chǎn)生了對應(yīng)的具有相同粒子數(shù)密度的泊松樣本.本文使用的N體模擬數(shù)據(jù)以及基于此給出的半解析模擬星系皆是在共動坐標(biāo)系下的結(jié)果,相關(guān)的坐標(biāo)皆是共動坐標(biāo).

圖1 不同紅移處的星系數(shù)目的分布,其中Ngal(z=2.03)=13495546Fig.1 The distribution of galaxy number at different redshifts where Ngal(z=2.03)=13495546

4 結(jié)果與分析

圖2給出的是空洞的大小和內(nèi)部密度最小值的2維分布,圖2中nmin是空洞內(nèi)部密度最小值,是整個模擬體積的粒子平均數(shù)密度,之后相同的變量同此意.左邊一列是暗物質(zhì)空洞,右邊一列是星系空洞,從上到下依次是從高到低的3個不同紅移.空洞內(nèi)部密度的最小值我們用整個模擬體積內(nèi)部的粒子平均密度進(jìn)行歸一化處理.其中的虛線是由對應(yīng)的泊松樣本找出來的空洞2維分布等值線,其物理意義是該等值線內(nèi)部包含了泊松樣本的空洞數(shù)目的99%.從圖2可以看出,相對同一紅移處的暗物質(zhì)空洞的分布,星系空洞的分布總是更加緊致,并且內(nèi)部密度相對要低一些.另對比3行子圖可以看出隨紅移的演化,我們找出來的空洞分布和泊松樣本的空洞分布差別越來越大,從最后一行圖中可以看出,在紅移0處,我們的空洞樣本幾乎不受泊松噪聲的影響.在高紅移處,空洞樣本的分布和泊松空洞樣本的分布重合比較多.

圖2 空洞內(nèi)部密度最小值nmin和大小Reff的2維分布,右邊的子圖是星系空洞的分布,左邊是暗物質(zhì)空洞的分布.子圖中的虛線內(nèi)部包含了99%的泊松樣本找出來的空洞.Fig.2 The distribution of void minimum density values nmin and effective radius Reff of the void samples defined from dark matter particles(left panels)and mock galaxies(right panels).Deshed line in each panel encloses 99 percent of voids found in poisson particles.

通常在研究空洞的時候,為保證結(jié)果的可靠,只選擇部分比較顯著的空洞樣本作為研究對象.主要的評估空洞樣本的穩(wěn)健性有兩種,一是根據(jù)空洞內(nèi)部的最小密度,一般把該值設(shè)定為0.2[41].另外一種常見做法是Neyrinck[58]給出的由密度比來確定一個空洞是泊松噪聲的概率P(r):

其中r表示密度比,其物理意義是空洞邊界處的密度最小值和空洞內(nèi)的密度最小值之比:

其中,min(nridge)是空洞邊界處密度最小值,nmin是空洞內(nèi)部密度最小值.常用做法是選擇1.4作為閾值,對應(yīng)的泊松噪聲的概率約為12%.因為其他人只研究紅移0左右的空洞,如此篩選仍然能夠保留足夠多的統(tǒng)計樣本,然而對于不同紅移的空洞來說,其密度處在演化的過程中,因此這種固定的閾值選擇是不太合適的,尤其是以紅移2.03處的暗物質(zhì)空洞為例,如按照上述方法篩選將會大大減少樣本中的空洞數(shù)量.因此,我們的空洞除了考慮粒子平均間隔的限制,對樣本不做任何其他篩選,這樣更加符合密度極小值的定義和我們的研究目標(biāo).

圖3表示的是紅移0處不同大小空洞的疊加密度輪廓,其中n(R)是空洞徑向距離R處的平均粒子數(shù)密度.該疊加密度輪廓通過如下方法得到,即我們對每一個空洞計算其圍繞質(zhì)心球殼的密度,其中密度用樣本平均粒子數(shù)密度歸一化,半徑則用其有效半徑歸一化,然后對所有的空洞樣本平均,誤差棒是標(biāo)準(zhǔn)誤差.左邊是暗物質(zhì)空洞,右邊是星系空洞.從圖中我們可以看出星系空洞的疊加密度輪廓和暗物質(zhì)空洞的疊加密度輪廓的差異非常明顯,星系空洞的疊加密度輪廓更加陡峭,其內(nèi)部密度更低,邊界處的密度更高.并且不管是暗物質(zhì)空洞還是星系空洞,都表現(xiàn)出來小的空洞整體密度更高這一特點(diǎn).這說明小的空洞傾向于處在高密度區(qū)域,其背景密度相對更高.而大的空洞傾向于處在比較低密度的環(huán)境中.

圖3 紅移0處空洞的疊加密度輪廓Fig.3 The stacked density profile of void at z=0

Hamaus等[52]結(jié)果顯示的是大的空洞內(nèi)部密度更高,小的空洞的內(nèi)部密度更低,而在邊界處的趨勢則和我們的結(jié)果相同.關(guān)于空洞內(nèi)部密度這一點(diǎn),Hamaus等[52]沒有做出特別的解釋,我們的結(jié)果與之相反,本文和Hamaus等[52]的研究在定義空洞中心的方法上完全一樣,其結(jié)果的差異主要是空洞算法的不同導(dǎo)致的,Hamaus等[52]的空洞包含了極小值區(qū)域的擴(kuò)展,而我們的算法則沒有.

此外我們發(fā)現(xiàn)小空洞中心處的密度有微小的翹起,而大空洞則沒有,導(dǎo)致這一現(xiàn)象的主要原因是本文使用的空洞中心的定義方法((1)式)并不完全對應(yīng)空洞內(nèi)部密度最小值位置,小空洞傾向于處在高密度區(qū)域,其內(nèi)部的密度輪廓更加陡峭,因此相對大空洞而言,質(zhì)心位置和空洞內(nèi)部密度最小值點(diǎn)的位置不重合會對中心的疊加密度輪廓帶來更大的影響.

圖4給出的是空洞的密度比和對應(yīng)位置處用另一種示蹤物的密度值計算出來的密度比的分布.圖4中橫坐標(biāo)r即由(4)式計算,而縱坐標(biāo)r′的計算方法是:

其中min(n3)是min(nridge)位置處最近鄰的3個另一種示蹤粒子的密度最小值,對于星系空洞則是暗物質(zhì)粒子,反之亦然.空洞邊界處密度的最小值和空洞的貫通并合直接相關(guān),在空洞的演化進(jìn)程中是一個非常重要的物理量.通過圖4星系和暗物質(zhì)兩種示蹤物找出來的不同大小的空洞密度比的分布可以看出,不論是暗物質(zhì)空洞還是星系空洞,大空洞的密度比在分布上比小空洞的更高,因此小空洞相比大空洞,更加容易發(fā)生并合,其演化效應(yīng)更加明顯.另外對比圖4中第1列子圖和第3列子圖可以發(fā)現(xiàn),對于小空洞而言,星系空洞的密度比在分布上略微高于暗物質(zhì)空洞.

圖4 空洞的密度比r((4)式)和對應(yīng)相同位置處用另一種示蹤物的密度計算出來的密度比r′((5)式)的2維分布.左邊兩列給出的是暗物質(zhì)空洞的密度比,右邊兩列則是星系空洞.所有子圖中的虛線r′= r.Fig.4 The comparison between void density contrast r(Eq.(4))and the density contrast r′(Eq.(5))at the relative same position,calculated by another tracer,as shown in the left two columns for dark matter(DM)voids and the right two columns for galaxy voids.Dashed line indicates r′= r.

此外,在暗物空洞容易貫通的地方星系的密度更低,這體現(xiàn)在第1列子圖中分布的峰值位置在直線r′=r以下,而對于大空洞而言,其容易貫通的位置處星系的密度和暗物質(zhì)的密度相對接近.因為在大尺度結(jié)構(gòu)的形成過程中,總是先形成暗物質(zhì)場的高密度區(qū)域,然后再開始形成星系,表現(xiàn)出來的結(jié)果是星系更容易示蹤暗物質(zhì)空洞的一些很明顯的墻結(jié)構(gòu),而不能很好地示蹤暗物質(zhì)空洞相對比較薄弱的墻結(jié)構(gòu),這導(dǎo)致了星系空洞提前貫通,這里提前貫通意為星系找出來的空洞通常更加顯著,而在對應(yīng)位置處暗物質(zhì)會存在更多的小結(jié)構(gòu),使得通常會找到更多顯著性更弱的小的暗物質(zhì)空洞,在之后的演化過程中,這些小暗物質(zhì)空洞容易發(fā)生并合.從圖4中右邊兩列子圖中可以看出,對于已經(jīng)形成的星系空洞而言,即便是其墻上最薄弱的地方也往往堆積著顯著的暗物質(zhì),使得星系的位置保持穩(wěn)定,甚至形成新的星系,從而抑制星系的貫通.基于這個對比結(jié)果我們可以做出如下推斷:(1)暗物質(zhì)空洞數(shù)目要多于星系空洞數(shù)目,因為暗物質(zhì)粒子能夠解析更薄弱的墻結(jié)構(gòu);(2)暗物質(zhì)空洞更容易并合,從而比星系的演化更快,特別是小的空洞;(3)空洞的并合會改變空洞的對稱性,由于提前貫通,星系空洞的形狀在統(tǒng)計上比暗物質(zhì)空洞更扁一些;(4)由于演化速度的差異,暗物質(zhì)空洞和星系空洞的統(tǒng)計性質(zhì)最終會趨于一致.我們接下來對上述推斷分別給予論證.

圖5給出的是空洞的數(shù)目及其演化,其中Nv是空洞的數(shù)目,而Ndm和Ngal分別代表暗物質(zhì)和星系空洞的數(shù)目.其中上面的子圖給出是星系和暗物質(zhì)兩種示蹤物找出來的空洞數(shù)目的變化,這里我們用高紅移的數(shù)目對其進(jìn)行了歸一化.圖中的點(diǎn)線代表的是泊松樣本的空洞數(shù)目的變化,點(diǎn)劃線是縱坐標(biāo)為1的參照線,而其中黑色的菱形則是不同紅移處產(chǎn)生的泊松樣本的粒子數(shù)目,這里仍然用高紅移的粒子數(shù)目做了歸一化處理.可以看出,泊松樣本中空洞數(shù)目的變化完全是泊松樣本的粒子數(shù)目變化引起的,即泊松樣本的空洞數(shù)目和泊松樣本的粒子數(shù)目呈正比關(guān)系.這進(jìn)一步確定了星系空洞和暗物質(zhì)空洞各自的數(shù)目變化是宇宙演化的結(jié)果.另外可以看出,暗物質(zhì)空洞數(shù)目的演化要比星系空洞的數(shù)目演化更加明顯.

圖5 上面的子圖中展示的是空洞的數(shù)目隨紅移的分布,而暗物質(zhì)空洞和星系空洞的數(shù)目的比值則在下面的子圖中展示.此處的比值隨紅移線性變化.Fig.5 Top panel shows the distribution of void numbers as the function of redshift,and the ratio of void number of DM to galaxy is shown in the bottom panel.Here the result indicates that the ratio linearly changes with redshift.

圖5下面的子圖則給出的是暗物質(zhì)空洞數(shù)目和星系空洞數(shù)目的比值隨紅移的演化.可以看出暗物質(zhì)空洞的數(shù)目要多于星系空洞的數(shù)目,另外紅移越低,它們之間的比值越小,即暗物質(zhì)空洞的數(shù)目逐漸接近星系空洞的數(shù)目.以上的結(jié)果從空洞數(shù)目這一角度證實(shí)了上述幾條推斷的正確性.除此之外,該比值不僅隨著紅移定性地減小,還在我們研究的整個紅移區(qū)間內(nèi)隨紅移呈現(xiàn)出良好的線性關(guān)系.這使得我們能夠定量地刻畫星系偏袒所帶來的空洞數(shù)目的差別,而不再是單純地停留在定性的描述層面,這種良好的線性關(guān)系能夠為空洞理論模型的完善提供很好的數(shù)據(jù)參考.Nadathur等[37]在對比z=0處分別由暗物質(zhì)空洞和HOD(halo occupation distribution)模型[68]給出模擬星系數(shù)據(jù)找出來的空洞數(shù)目的差別的時候,發(fā)現(xiàn)星系偏袒會導(dǎo)致星系空洞的數(shù)目大概只有暗空洞數(shù)目的一半,圖5中下面的子圖在紅移0處的比值為2,在這一點(diǎn)和我們的結(jié)果非常吻合,并且我們還給出了更高紅移的數(shù)目差別.我們的研究和Nadathur等[37]的研究各自使用了不同精度的N體數(shù)值模擬以及不同的產(chǎn)生星系的模型,并且采樣后的示蹤物的絕對數(shù)密度也不同,Nadathur等[37]使用的粒子數(shù)密度和SDSS DR7數(shù)據(jù)給出的全部星系在共動坐標(biāo)下的數(shù)密度相當(dāng),而我們的示蹤粒子的數(shù)密度大約是100倍左右.盡管有這些區(qū)別,我們與Nadathur等[37]的研究在示蹤物造成的空洞數(shù)目的偏袒上吻合得比較好.

圖6給出的是空洞的大小分布隨紅移的演化,左邊是暗物質(zhì)空洞,中間是星系空洞,右邊是暗物質(zhì)空洞的分布和星系空洞的分布函數(shù)的比值.可以看出空洞在大小分布上的演化特點(diǎn)是小的空洞逐漸減少,大的空洞逐漸增多.不論是星系空洞還是暗物質(zhì)空洞,小空洞的數(shù)目變化要比大空洞的數(shù)目變化更加明顯.另外,對比暗物質(zhì)空洞和星系空洞的演化我們可以發(fā)現(xiàn),暗物質(zhì)空洞的演化相對明顯一些,而星系空洞的演化則非常平緩.隨紅移的演化,暗物質(zhì)空洞的尺度函數(shù)的形狀和星系的越來越接近.這也符合前面的推斷.

圖6 不同紅移處空洞有效半徑的分布,左邊是暗物質(zhì)空洞,中間是星系空洞,右邊則是二者的比值Fig.6 The distribution of void effective radius at different redshifts for DM voids(left panel)and galaxy void(middle panel).The right panel shows the ratio of DM void number to that of galaxy void

圖7給出的是不同示蹤物找出來的空洞大小及其隨紅移的演化,其中是空洞的平均有效半徑,而分別是暗物質(zhì)空洞和星系空洞的平均有效半徑.上面的子圖給出的是星系和暗物質(zhì)兩種空洞各自統(tǒng)計平均大小的演化.點(diǎn)線代表泊松樣本空洞的大小變化,點(diǎn)劃線是縱坐標(biāo)為1的參照線,該變化完全是由于粒子數(shù)密度不同導(dǎo)致的,這說明星系和暗物質(zhì)空洞的尺度變化是物質(zhì)演化的結(jié)構(gòu).從圖7中我們可以看出暗物質(zhì)空洞和星系空洞都在逐漸變大,而暗物質(zhì)的尺度演化更加明顯,這正說明了小暗物質(zhì)空洞的貫通并合要更容易發(fā)生.圖7下面的子圖給出的是暗物質(zhì)空洞和星系空洞平均尺度的比值,可以看出星系空洞要更大一些,這是因為星系空洞提前貫通了,所以在尺度上要更大一些.而在隨后的演化中,由于暗物質(zhì)空洞比星系空洞并合得更快,使得暗物質(zhì)空洞的尺度逐漸接近星系空洞的尺度.這正是之前推斷的必然結(jié)果.此外,暗物質(zhì)空洞和星系空洞尺度的比值隨紅移有很好的線性關(guān)系.結(jié)合圖7空洞尺度的增加和圖5空洞數(shù)目的減少我們可以估算出,不管是暗物質(zhì)空洞還是星系空洞,其體積之和基本不隨紅移改變.另外,在相同紅移處,星系空洞和暗物質(zhì)空洞所占的總體積也相當(dāng).

圖7 上面的子圖展示的是空洞的有效半徑隨紅移的變化,下面的子圖中展示的是暗物質(zhì)空洞的有效半徑和星系空洞的有效半徑的比值,該比值隨紅移呈現(xiàn)出線性變化.Fig.7 Top panel shows the distribution of void effective radius as the function of redshift,and the ratio of DM void effective radius to galaxy void effective radius is shown in the bottom panel.Here the result indicates that the ratio linearly changes with redshift.

從圖7上面的子圖中我們可以看出,在我們所研究的紅移區(qū)間,暗物質(zhì)空洞的平均大小增加了約25%,其體積大約增加了1倍.而之前的研究如Sutter等[43]以及Wojtak等[44]給出的結(jié)果是空洞的體積大約增長20%,這和我們的結(jié)果有所不同,此處的差異主要是空洞的算法以及所研究的空洞樣本不同導(dǎo)致的.在Sutter等[43]和Wojtak等[44]的研究中使用的空洞算法包含第4步的VIDE(本文算法部分),而我們沒有包含第4步,另外更加重要的區(qū)別是,Sutter等[43]和Wojtak等[44]只選取了幾個尺度比較大且特別顯著的空洞研究其演化,而本文則是基于大量空洞樣本的統(tǒng)計研究.當(dāng)只研究幾個特別顯著的空洞樣本時,因這些空洞邊界處的墻和纖維狀結(jié)構(gòu)比較密集,不容易被潮汐力瓦解,導(dǎo)致空洞的體積變化比較小.

圖8給出的是空洞形狀的演化.這里我們采用常用的借助慣性張量的方法來定義空洞的形狀.即每一個空洞的形狀是通過其成員粒子來估計的,根據(jù)成員粒子的位置,我們可以計算該空洞的慣性張量[57],其中的對角分量是:

而非對角分量的形式是

其中,Np是空洞結(jié)構(gòu)成員粒子的數(shù)目,xi、yi、zi是第i個成員粒子相對空洞結(jié)構(gòu)質(zhì)心的坐標(biāo),慣性張量的其他分量則是該形式的輪換對稱.然后通過求解慣性張量的本征值和本征矢可以計算空洞結(jié)構(gòu)的橢率:

其中J1和J3分別是慣性張量的最大和最小本征值,其中0

圖8 上面的子圖展示的是空洞的平均橢率隨紅移的變化,而下面的子圖則是暗物質(zhì)空洞的平均橢率和星系空洞的橢率的比值,該比值隨紅移呈現(xiàn)出線性變化的特點(diǎn).Fig.8 Top panel shows the distribution of void mean value of ellipticity as the function of redshift,and the ratio of DM void ellipticity to galaxy void ellipticity is shown in the bottom panel.Here the result indicates that the ratio linearly changes with redshift.

我們采用了慣性張量的方法計算空洞形狀,圖8上面的子圖給出的是暗物質(zhì)空洞和星系空洞橢率的演化.暗物質(zhì)空洞和星系空洞都隨紅移逐漸變得越來越扁,如空洞的數(shù)目和大小一樣,星系空洞的橢率演化也相對弱一些,這一演化趨勢和前述幾條推斷是自洽的,即空洞的并合會破壞空洞的對稱性,使其形狀更扁.但是之前的理論認(rèn)為,對于一個獨(dú)立的、非球?qū)ΨQ的空洞,其演化特點(diǎn)是逐漸變得越來越圓[69],這和我們數(shù)值模擬的結(jié)果相悖.理論模型給出這一結(jié)果是因為假定了空洞是獨(dú)立的演化個體,其主要演化軌跡是要么膨脹變大要么塌縮成高密度區(qū)域而消失,具體服從哪種軌跡取決于空洞的內(nèi)部密度和邊界密度的關(guān)系,而不涉及空洞之間的相互作用.但實(shí)際上空洞處在極其復(fù)雜的宇宙大尺度網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)中,一個空洞與周圍的其他結(jié)構(gòu)以及其他相鄰的空洞是密切相關(guān)的[70],其演化是互相影響的.前人的結(jié)果發(fā)現(xiàn)單個空洞的演化不太明顯[44],而我們的結(jié)果清楚顯示空洞并合在演化中非常重要.這說明要完善空洞的理論模型需要建立空洞的并合模型.

圖8下邊的子圖給出是暗物質(zhì)空洞和星系空洞平均橢率的比值隨紅移的演化,?代表空洞的橢率則分別代表暗物質(zhì)空洞和星系空洞的橢率的均值.可以看出星系空洞的形狀在分布上更扁一些,之后暗物質(zhì)空洞的快速演化使其形狀逐漸逼近暗物質(zhì)空洞的形狀,最后在紅移0處,二者的平均橢率幾乎一致.這里更加確信了前述幾條推斷的正確性.此外暗物質(zhì)空洞的平均橢率和星系空洞的平均橢率的比值隨紅移也呈現(xiàn)出很好的線性關(guān)系.

空洞的疊加密度輪廓是空洞的一個非常重要的性質(zhì).目前大多數(shù)研究中對空洞疊加密度輪廓均做球?qū)ΨQ假設(shè)[52],該假設(shè)認(rèn)為大量空洞樣本疊加起來應(yīng)該是球形的,盡管單個空洞的形狀可能非常不規(guī)則.這種球?qū)ΨQ疊加方法可以用來做Alcock-Paczynski檢驗[19–20]及研究空洞的紅移畸變[30–31],這也是目前為什么球?qū)ΨQ疊加方法仍然是主要方法的原因.Cautun等人提出了一種等邊界距離殼層疊加方法[71],這種方法實(shí)際上是對空洞邊界的疊加密度輪廓的描述,Wojtak等人的研究[44]則使用了一種類似邊界疊加的方法研究了暗物質(zhì)疊加密度輪廓的演化特點(diǎn),即對于膨脹變大的空洞,其疊加密度輪廓的演化可以分為兩個過程,一是內(nèi)部密度的降低,二是邊界密度的升高.

我們在本文中使用了第1類疊加方法.圖9給出的是空洞的疊加密度輪廓的演化,左邊是暗物質(zhì)空洞,右邊是星系空洞,其中誤差棒是標(biāo)準(zhǔn)誤差.可以看出空洞內(nèi)部的密度逐漸降低,而邊界處的密度逐漸升高.可以看出暗物質(zhì)空洞在演化上存在非常劇烈的物質(zhì)從內(nèi)部向外流動的過程,而星系空洞疊加密度輪廓的演化則非常弱,但演化趨勢完全一致.雖然本文和Wojtak等[44]相比,使用了不同的疊加方法以及不同的空洞并合條件,但在疊加密度輪廓的演化趨勢上完全吻合.這反映了從統(tǒng)計上來說空洞疊加密度輪廓的演化特點(diǎn)是比較確定的,對計算方法的依賴性不高.另外星系空洞內(nèi)部的密度要比暗物質(zhì)空洞的密度低,而邊界處的密度則反之,綜合來看星系空洞的疊加密度輪廓更加陡峭.

圖9 不同紅移處空洞的疊加密度輪廓.左圖是暗物質(zhì)空洞,右圖是星系空洞Fig.9 The stacked density profile at different redshifts for DM voids(left panel)and galaxy voids(right panel)

圖10中左邊的子圖則是使用暗物質(zhì)空洞的大小和位置,但是使用星系得到的疊加密度輪廓,而右邊的子圖是使用星系空洞的大小和位置,但用暗物質(zhì)粒子作為示蹤物給出的疊加密度輪廓.通過右邊的子圖可以發(fā)現(xiàn),利用星系示蹤找出來的空洞在疊加密度輪廓隨紅移演化上不能真實(shí)反映其對應(yīng)的暗物質(zhì)空洞的性質(zhì).利用星系示蹤找出的暗物質(zhì)空洞與純暗物質(zhì)分布找出來的空洞的性質(zhì)也存在差異.但是真實(shí)的數(shù)據(jù)中主要是星系巡天數(shù)據(jù),因此進(jìn)一步量化暗物質(zhì)空洞和星系空洞的疊加密度輪廓之間的關(guān)系就非常重要.如此才能在未來的空洞理論模型和真實(shí)的星系巡天中找出來的空洞之間建立起相關(guān)性.

圖10 交叉疊加密度輪廓的演化,左邊是暗物質(zhì)空洞,右邊是星系空洞Fig.10 The distribution of cross stacked void density profile at different redshifts for DM voids(left panel)and galaxy voids(right panel)

5 結(jié)論

為了研究空洞的演化,我們在紅移2.03到紅移0之間取了6個紅移位置的星系列表,同時為了考慮星系和暗物質(zhì)兩種示蹤物找出來的空洞的統(tǒng)計性質(zhì)偏袒以及他們在演化上的區(qū)別,我們還在對應(yīng)紅移處取了相應(yīng)的暗物質(zhì)粒子的數(shù)據(jù),并且將其向下采樣至與星系相同的數(shù)密度,從而去除粒子數(shù)密度不同帶來的影響.由于星系數(shù)目隨紅移有變化,為了排除不同紅移的星系數(shù)目不一致可能帶來的問題,我們根據(jù)星系的數(shù)密度又產(chǎn)生了對應(yīng)的具有相同粒子數(shù)密度的泊松樣本.

我們使用VIDE程序得到空洞列表,但是我們在VIDE程序的第4步?jīng)]有讓密度場極小值區(qū)域向外擴(kuò)展,我們的空洞列表由局域密度場極小值區(qū)域構(gòu)成.我們研究了星系空洞和暗物質(zhì)空洞的一些統(tǒng)計性質(zhì)如大小分布、空洞數(shù)目、形狀、疊加密度輪廓等隨紅移的演化,并且對比了星系空洞和暗物質(zhì)空洞在演化上的異同以及星系空洞和暗物質(zhì)空洞大小、數(shù)目、形狀統(tǒng)計平均的比值隨紅移的演化.

使用密度場極小值區(qū)域作為空洞列表具有諸多優(yōu)點(diǎn).首先,能夠避免人為設(shè)定的擴(kuò)展條件帶來的不確定性,這尤其在研究空洞的演化上具有很大的優(yōu)勢; 其次,在理論上密度場極小值區(qū)域更容易建模,可能是未來的一個很好的研究方向.

根據(jù)宇宙結(jié)構(gòu)形成理論,由于引力的不穩(wěn)定性,宇宙的原初物質(zhì)密度漲落會隨時間逐步增強(qiáng),首先形成墻結(jié)構(gòu),進(jìn)而塌縮成纖維結(jié)構(gòu)及團(tuán)塊結(jié)構(gòu).在這一過程中,空洞的中心密度會持續(xù)降低,我們的工作和前人的結(jié)果都清楚地看到了這一效應(yīng).隨著墻塌縮成纖維結(jié)構(gòu),墻上的低密區(qū)會出現(xiàn)缺口,引起相鄰空洞貫通成為一個空洞,導(dǎo)致空洞數(shù)目減少,體積增大,形狀變得更橢,我們的結(jié)果很好地反映了這一圖景.我們的研究還發(fā)現(xiàn),小的空洞傾向于處在高密度區(qū)域,這導(dǎo)致兩個結(jié)果:(1)小空洞隨高密環(huán)境一起塌縮,最終被擠壓消失;(2)小空洞更容易與周圍的空洞貫通成為大空洞,這兩個效應(yīng)都造成了小空洞的快速演化.我們的暗物質(zhì)空洞的尺度演化統(tǒng)計結(jié)果很好地支持了這一預(yù)言.同時我們的結(jié)果也顯示大尺度空洞特別是暗物質(zhì)空洞有比較明顯的增加,鑒于之前的研究表明,對于單個空洞而言,其膨脹壓縮的演化非常緩慢,我們推斷,低紅移的大尺度空洞主要是由高紅移的小空洞貫通而成的.

星系形成于高密度暗物質(zhì)中,這造成了眾所周知的星系和暗物質(zhì)分布之間的偏袒,這一效應(yīng)在空洞的統(tǒng)計性質(zhì)上更加明顯.由于星系主要示蹤高密度區(qū),不能有效示蹤暗物質(zhì)空洞的一些薄弱的墻結(jié)構(gòu),導(dǎo)致星系空洞表觀上的提前貫通.在尺度方程和疊加密度輪廓上更加接近暗物質(zhì)空洞的晚期分布形式.星系空洞受暗物質(zhì)密度場的抑制,導(dǎo)致星系空洞之間的貫通效應(yīng)不強(qiáng),主要是被動演化,所以其大小、橢率、疊加密度輪廓等的演化都較暗物質(zhì)示蹤的空洞來得平緩.另外還需注意到,星系空洞和暗物質(zhì)空洞(或者幾個潛在的并合暗物質(zhì)空洞)并不是嚴(yán)格一一對應(yīng)的,先前的研究也發(fā)現(xiàn)它們的中心位置匹配得不好,這些因素都提醒我們在利用觀測的星系空洞推斷暗物質(zhì)空洞屬性時要特別謹(jǐn)慎.

以上的研究非常初步,有許多待完善的地方,一方面,目前在利用星系做示蹤物找空洞的時候沒有對星系進(jìn)行質(zhì)量加權(quán),因此這部分問題帶來的誤差有待進(jìn)一步澄清.另一方面,空洞的尺度和紅移畸變的尺度相當(dāng),紅移畸變會帶來很大的影響[30–31].而實(shí)際觀測數(shù)據(jù)總是在紅移空間進(jìn)行的,因此在研究示蹤物的偏袒和空洞演化的時候還需要把紅移畸變的影響考慮進(jìn)來[72],這樣才能夠?qū)⒛M數(shù)據(jù)和真實(shí)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比.如前文所述,空洞具有很強(qiáng)的應(yīng)用潛力,但同時目前還有很多細(xì)節(jié)需要澄清.

致謝感謝李國亮老師以及蔡彥川老師對本工作的指導(dǎo)和討論.