陳亮， 劉榮忠， 郭銳， 席滔滔， 李培林， 朱桂利， 楊永亮, 邢柏陽(yáng), 高科

(1.中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司 第七研究院 第七設(shè)計(jì)部， 四川 成都 610100; 2.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引言

圓錐運(yùn)動(dòng)為彈箭基本的角運(yùn)動(dòng)形式之一，是指彈軸繞速度線做圓錐擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。在彈箭氣動(dòng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)特征參數(shù)滿足一定條件的情況下，彈箭發(fā)射時(shí)的初始擾動(dòng)以及飛行過(guò)程中的不確定因素(如陣風(fēng)等)均可能導(dǎo)致彈箭形成極限圓錐運(yùn)動(dòng)。20世紀(jì)60年代中期，美國(guó)Nitehawk探空火箭在所進(jìn)行的50余次飛行試驗(yàn)中，出現(xiàn)近20次發(fā)散的圓錐運(yùn)動(dòng)[1]。西班牙140 mm火箭彈在進(jìn)行的28次飛行實(shí)驗(yàn)中，有9次出現(xiàn)了圓錐運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致其飛行速度在1.5 s內(nèi)降低了60%[2]，這對(duì)提高彈箭射程是不利的。

對(duì)于以母彈作為掃描探測(cè)平臺(tái)的掠飛靈巧彈藥而言，角運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)其穩(wěn)態(tài)掃描特性及命中概率有顯著影響。當(dāng)僅受線性空氣動(dòng)力作用時(shí)，掠飛靈巧彈藥僅需滿足線性穩(wěn)定條件，即可使初始擾動(dòng)引起的攻角運(yùn)動(dòng)幅值隨弧長(zhǎng)增長(zhǎng)而逐漸被衰減為0°[3-4]，從而保證其在彈道末端具有相對(duì)穩(wěn)定的彈體姿態(tài)。而當(dāng)受非線性空氣動(dòng)力作用時(shí)，掠飛靈巧彈藥在彈道末端可能產(chǎn)生攻角幅值不為0°的極限圓錐運(yùn)動(dòng)[5-6]。此時(shí)，彈載敏感器在空間和地面形成的掃描線必然隨彈軸的錐進(jìn)運(yùn)動(dòng)而出現(xiàn)振蕩變化，從而影響目標(biāo)捕獲概率，這是靈巧彈藥研制過(guò)程中必須加以避免的。因此，研究彈箭在非線性氣動(dòng)力和力矩作用下的角運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定極限圓錐運(yùn)動(dòng)形成條件，對(duì)彈箭運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和命中概率研究具有重要意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞彈箭圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題已取得了豐富的研究成果。Levy等[7]和Clare等[8]基于風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)證明了馬格努斯力和力矩等面外力和力矩是彈箭形成極限圓錐運(yùn)動(dòng)的直接原因。李臣明等[9]考慮由章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)引起的赤道阻尼力矩系數(shù)的差異，基于奇點(diǎn)理論和振幅平面法研究了彈箭在非對(duì)稱赤道阻尼力矩作用下形成極限圓錐運(yùn)動(dòng)的條件，但未考慮非線性靜力矩和非線性馬格努斯力矩的影響。鐘揚(yáng)威等[10]基于微分方程Hopf分岔理論，研究了當(dāng)某一參數(shù)(如空氣密度)改變對(duì)極限圓錐運(yùn)動(dòng)特性的影響，但該方法難以獲得具有明確解析關(guān)系的理論模型。鄧超[11]基于擬線性法推導(dǎo)了彈箭在非線性靜力矩和非線性馬格努斯力矩作用下的振幅平面方程，并分析了馬格努斯力矩系數(shù)線性部分和非線性部分對(duì)極限圓錐運(yùn)動(dòng)的影響，由于擬線性法需要人為引入附加限制條件，因此限制了其使用范圍。此外，文獻(xiàn)[5-6]對(duì)彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)特性以及彈箭極限圓錐運(yùn)動(dòng)特性的相關(guān)研究方法、研究成果進(jìn)行了全面系統(tǒng)的介紹，其中文獻(xiàn)[6]中5.5節(jié)基于改進(jìn)擬線性法推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)彈箭在非線性靜力矩和馬格努斯力矩作用下的振幅平面方程，給出了形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的判據(jù)條件以及極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率表達(dá)式，并結(jié)合攻角方程數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了所得判據(jù)條件的有效性。但研究發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[6]中給出的彈箭極限圓錐運(yùn)動(dòng)判定條件在一定條件下并不成立，且相關(guān)判據(jù)以及極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率表達(dá)式不夠明確(不能根據(jù)攻角方程中含有的參數(shù)，直接判斷極限圓錐運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率)，這很大程度上限制了相關(guān)成果的適用范圍。

針對(duì)現(xiàn)有理論的不足，本文結(jié)合文獻(xiàn)[6]的相關(guān)研究成果，通過(guò)對(duì)彈箭在準(zhǔn)圓運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的振幅平面方程進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并分不同情況對(duì)方程解的存在性和穩(wěn)定性進(jìn)行詳細(xì)分析。在此基礎(chǔ)上，分析了同時(shí)在非線性靜力矩和非線性馬格努斯力矩作用下，彈箭形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件，給出了相應(yīng)的解析判據(jù)，并以某型旋轉(zhuǎn)尾翼彈為例進(jìn)行算例分析，驗(yàn)證了理論模型的正確性。

1 穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)形成條件分析

1.1 非線性攻角方程改進(jìn)擬線性解

旋轉(zhuǎn)彈箭在非線性靜力矩和非線性馬格努斯力矩作用下的齊次攻角方程為

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=0，

(1)

式中：H為俯仰阻尼力矩系數(shù)；P為陀螺穩(wěn)定項(xiàng)，其值主要由彈箭滾轉(zhuǎn)速度及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定；M為靜力矩系數(shù)，M=M0+M2δ2，δ為攻角，M0為靜力矩系數(shù)線性項(xiàng)，M2為靜力矩系數(shù)非線性項(xiàng)；T為馬格努斯力矩系數(shù)，T=T0+T2δ2，其中T0為馬格努斯力矩系數(shù)線性項(xiàng)，T2為馬格努斯力矩系數(shù)非線性項(xiàng)。各參數(shù)的具體計(jì)算式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

文獻(xiàn)[6]采用改進(jìn)擬線性代入法對(duì)(1)式進(jìn)行了推導(dǎo)求解，得到了旋轉(zhuǎn)彈箭在非線性靜力矩和非線性馬格努斯力矩作用下做準(zhǔn)圓運(yùn)動(dòng)時(shí)的振幅平面方程，即

(2)

此時(shí)對(duì)應(yīng)的彈箭做準(zhǔn)圓運(yùn)動(dòng)時(shí)的頻率為

(3)

(4)

(5)

在實(shí)際研究中，已對(duì)上述公式推導(dǎo)過(guò)程的正確性做了充分的驗(yàn)證，為節(jié)約篇幅，本文不再對(duì)上述表達(dá)式的推導(dǎo)過(guò)程作詳細(xì)介紹，而是在其基礎(chǔ)上，對(duì)旋轉(zhuǎn)彈箭形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的判據(jù)作進(jìn)一步分析。

1.2 非零奇點(diǎn)存在性條件

(6)

于是，彈箭準(zhǔn)圓運(yùn)動(dòng)振幅平面方程(2)式的第1式可表示為

(7)

(8)

(9)

當(dāng)PT2≠0時(shí)(包括PT2<0、PT2>0兩種情況)，由(9)式可得

(10)

(11)

進(jìn)一步對(duì)(9)式進(jìn)行整理得

(12)

當(dāng)M2≠0時(shí)，有m2=M2/0≠0，將代入(12)式可得

(13)

令A(yù)=PT2/(H0m2)、B=P(2T0-H0)/(2H0)，則(13)式可簡(jiǎn)化為

(14)

對(duì)(14)式左右平方，并進(jìn)行整理，可得

(15)

當(dāng)彈箭形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)時(shí)，要求(15)式具有實(shí)數(shù)解，即必須有

(2AB+0)2-4A2(B2+0)>0，

(16)

0(4AB-4A2+0)>0.

(17)

將A和B表達(dá)式代入(17)式，可得

(18)

當(dāng)滿足(11)式、(18)式時(shí)，可得(8)式的解為

mc=mc1或mc=mc2，

(19)

式中：

1.3 非零奇點(diǎn)的穩(wěn)定性條件

(20)

(21)

(22)

(23)

由此解得

(24)

(25)

(25)式成立的條件為

(26)

(27)

2 穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)形成判據(jù)

旋轉(zhuǎn)彈箭形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)需要同時(shí)滿足奇點(diǎn)存在性和穩(wěn)定性兩方面的條件，當(dāng)PT2≠0且M2≠0時(shí)，即需同時(shí)滿足(11)式、(18)式、(24)式以及(27)式。下面通過(guò)進(jìn)一步分析，給出PT2和M2的不同取值情況下，旋轉(zhuǎn)彈箭穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)判據(jù)。

2.1 PT2<0且M2≠0情況

由(11)式中的第1式和(27)式可得

(28)

由(28)式可知，當(dāng)H0≤0時(shí)，此不等式時(shí)不成立，因此必須有H0>0，于是(28)式可進(jìn)一步解得

(29)

由(29)式可知，當(dāng)PT2<0，必有H0>0是形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件。

對(duì)(24)式進(jìn)行整理得

(30)

將(30)式與(29)式聯(lián)立，可得

(31)

由(31)式可解得

(32)

綜上所述，當(dāng)PT2<0時(shí)，彈箭在非線性馬格努斯力矩和非線性靜力矩作用下形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的條件可表示為

(33)

式中：J1、J2、J3、J4、J5為便于分析所定義的5個(gè)判定參數(shù)，

此時(shí)有對(duì)應(yīng)的極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率為

(34)

(34)式中mc即為由(19)式解出，且同時(shí)滿足(33)式所有判據(jù)條件的解。

2.2 PT2>0且M2≠0情況

由(11)式中的第2式可得

(35)

此時(shí)無(wú)法直接確定H0的符號(hào)，考慮到通常彈箭具有正阻尼，因此這里只考慮H0>0的情況。在此條件下，必有

(36)

由(24)式可得

(37)

由(37)式可以看出，當(dāng)H0>0時(shí)，為使(37)式成立必須有M2<0，即T2和M2不能同時(shí)大于0，這是因?yàn)槎咄瑫r(shí)大于0時(shí)，靜力矩和馬格努斯力矩非線性項(xiàng)均是促使攻角幅值增大的，此時(shí)無(wú)法形成穩(wěn)定的極限圓錐運(yùn)動(dòng)。由(37)式還可以解得

(38)

由(35)式與(38)式聯(lián)立可得

(39)

為使(39)式成立，必有

(40)

由此可解得

(41)

綜上所述，結(jié)合(18)式、(24)式、(35)式及(41)式可得，當(dāng)H0>0且PT2>0時(shí)，彈箭在非線性馬格努斯力矩和非線性靜力矩作用下形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的條件可簡(jiǎn)化為

(42)

式中：Q1、Q2、Q3、Q4為判定參數(shù)，

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率為

(43)

式中：mc即為由(19)式解出，且同時(shí)滿足(42)式所有判據(jù)條件的解。

2.3 PT2=0且M2≠0情況

由(11)式中的第3式可得

(44)

(45)

(46)

(44)式代入(46)式可得

(47)

進(jìn)一步對(duì)(44)式進(jìn)行求解，可得

(48)

(49)

(48)式代入(3)式可得由3次方靜力矩引起的極限圓錐運(yùn)動(dòng)頻率為

(50)

由(50)式可知，當(dāng)僅考慮靜力矩非線性時(shí)，極限圓錐運(yùn)動(dòng)頻率表達(dá)式可化為極為簡(jiǎn)單的形式。

綜上所述，旋轉(zhuǎn)彈在3次方非線性靜力矩作用下，形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的條件為

(51)

由(51)式可知，正阻尼(H0>0)以及負(fù)的3次方靜力矩系數(shù)(M2<0)是形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件。

2.4 M2=0情況

當(dāng)僅考慮馬格努斯力矩非線性時(shí)(M2=0，T2≠0)，這種情況相對(duì)簡(jiǎn)單，為節(jié)約篇幅這里不做詳細(xì)推導(dǎo)。采用與2.3節(jié)相似推導(dǎo)過(guò)程可得，此時(shí)存在穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的條件為

(52)

相應(yīng)地，可得到形式較為簡(jiǎn)單的極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率表達(dá)式：

(53)

2.5 綜合判據(jù)

由(33)式和(42)式可知，無(wú)論P(yáng)T2<0或PT2>0時(shí)，為形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)都需要滿足兩條完全相同的判據(jù)條件，即

(54)

對(duì)于PT2=0的情況，將T2=0代入(54)式，可得

(55)

由(55)式可知，當(dāng)PT2=0時(shí)，J1>0恒成立，由J2>0可解得M2<0，這與(51)式給出的判據(jù)是一致的。因此，對(duì)于PT2<0、PT2>0以及PT2=0的情況，(54)式均是形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件，故定義(54)式為綜合判據(jù)。

由(54)式可知，判據(jù)J2為關(guān)于T2和M2的線性函數(shù)，J1可視為關(guān)于(T2/M2)的2次函數(shù)，且當(dāng)0<0時(shí)，J1關(guān)于(T2/M2)的函數(shù)圖像是開(kāi)口向上的2次曲線，當(dāng)0>0時(shí)，J1關(guān)于υ=T2/M2的函數(shù)圖像是開(kāi)口向下的2次曲線，利用相關(guān)性質(zhì)可對(duì)彈箭極限圓錐狀態(tài)進(jìn)行判斷。

3 算例分析

為檢驗(yàn)所得理論判據(jù)的有效性，以某型旋轉(zhuǎn)尾翼彈氣動(dòng)及結(jié)構(gòu)特征參數(shù)作為基本參數(shù)，以3次方馬格努斯力矩系數(shù)T2作為分析變量，對(duì)旋轉(zhuǎn)彈箭極限圓錐運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行算例分析，基本參數(shù)如表1所示。

表1 基本參數(shù)

由2.4節(jié)可知，無(wú)論T2取何值(M2≠0時(shí))，彈箭形成極限圓錐運(yùn)動(dòng)時(shí)，均需滿足綜合判據(jù)(54)式。為直觀分析判據(jù)J1和J2隨T2對(duì)的變化規(guī)律，首先，按表1對(duì)其余氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行取值，并由(54)式作出J1和J2關(guān)于T2的變化曲線，以確定使判據(jù)J1>0和J2>0同時(shí)成立時(shí)，T2所需滿足的取值范圍。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算T2在不同取值下其余判據(jù)的取值，并預(yù)測(cè)極限圓錐運(yùn)動(dòng)形成情況。最后，將所選取參數(shù)組合代入攻角方程，并采用龍格庫(kù)塔法進(jìn)行直接求解，以檢驗(yàn)理論模型的正確性。

考慮到當(dāng)M2和0取不同值時(shí)，判據(jù)J1>0和J2>0解的性質(zhì)具有一定差異，因此對(duì)3種情況進(jìn)行分析。

3.1 M2<0與0<0情況

圖1給出了按表1參數(shù)進(jìn)行取值時(shí)，判據(jù)J1和J2隨T2的變化曲線，此時(shí)，有M2=-0.35<0，P(2T0-H0)=0.038>0，0=M0-P2/4=-0.019 5<0. 由圖1可知，當(dāng)T2<1.152或T2>1.562時(shí)，判據(jù)J1>0成立，當(dāng)T2<1.326時(shí)，判據(jù)J2>0成立，為保證J1>0、J2>0同時(shí)成立，須有T2<1.152，這是形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件。

圖1 判據(jù)J1和J2曲線(M2<0，0<0)Fig.1 Curves of criteria J1 and J2 for M2<0 and 0<0

其余參數(shù)保持不變，T2分別取-2.00、-1.00、0、1.15、1.16、1.60. 一方面，根據(jù)T2的不同取值，分別由(33)式、(42)式及(51)式計(jì)算各判據(jù)條件，結(jié)果如表2所示。表2中當(dāng)T2≠0且J1>0時(shí)，mc存在兩個(gè)可能的取值，即mc1和mc2，其值由(19)式給出。分別將mc=mc1和mc=mc2代入(33)式和(42)式，可得J3、J4及J5(或Q3、Q4及Q5)，進(jìn)而判斷mc1和mc2中是否存在完全滿足所有判定條件的解。若存在，則將相應(yīng)的mc值代入(34)式和(43)式中，得到由理論預(yù)測(cè)的極限圓幅值Kc和頻率φ′c. 表2中狀態(tài)項(xiàng)T表示形成了極限圓錐運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)表示未形成極限圓錐運(yùn)動(dòng)。另一方面，將表1和表2給出參數(shù)代入攻角方程，并采用龍格庫(kù)塔法對(duì)攻角方程進(jìn)行迭代求解，得到T2取不同值時(shí)的攻角曲線，結(jié)果如圖2所示。

對(duì)比表2和圖2可知，在不同T2取值下，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與表2預(yù)測(cè)結(jié)果完全一致，即當(dāng)T2<1.152時(shí)，彈箭形成了穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)T2>1.152時(shí)，彈箭攻角發(fā)散，未形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)，其中，T2=1.15的攻角曲線變化規(guī)律已達(dá)到臨界狀態(tài)(即將發(fā)散)，而當(dāng)T2=1.16時(shí)，攻角曲線已出現(xiàn)發(fā)散，表明本文給出的穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)判據(jù)具有很高的靈敏度。由表2的結(jié)果可知，當(dāng)T2=1.60時(shí)判據(jù)J1>0，存在兩個(gè)可能的奇點(diǎn)位置，分別對(duì)應(yīng)mc=mc1和mc=mc2，但這兩個(gè)奇點(diǎn)位置均不能使其余判據(jù)完全成立，故不能形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)。由此說(shuō)明，判據(jù)J1>0是保證攻角方程奇點(diǎn)存在性的必要條件，而其余判據(jù)則是保證奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)的必要條件，在對(duì)彈箭極限圓錐運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，必須對(duì)所有判據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。此外，對(duì)比算例T2=-1.00、T2=0、T2=1.15的結(jié)果可知，極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率均隨3次方馬格努斯力矩系數(shù)T2增加而增大。

表2 極限圓錐運(yùn)動(dòng)驗(yàn)證算例(M2<0，0<0)

Tab.2 Example for verification of limiting conical motion (M2<0，0<0)

表2 極限圓錐運(yùn)動(dòng)驗(yàn)證算例(M2<0，0<0)

T2J1J2其他判定條件狀態(tài)mcδcφc-1.001.8×10-38.8×10-3mc1=12.6、J3=-0.42、J4=1.8、J5=0.14Fmc2=1.33×10-2、J3=8.0×10-4、J4=0.32、J5=0.23T1.33×10-21.740.20706.0×10-45.0×10-3^M0+[P(2T0-H0)]2/4H20=5.5×10-3T2.330.2081.153.6×10-77.0×10-3mc1=0.428、Q3=2.8×10-2、Q4=-2.7×10-3Fmc2=0.296、Q3=2.0×10-2、Q4=2.9×10-3T0.2968.240.2281.16-9.9×10-76.0×10-4F1.605.7×10-6-1.0×10-3mc1=-0.153、Q3=-1.4×10-2、Q4=-1.4×10-2Fmc2=-0.427、Q3=-4.0×10-2、Q4=1.7×10-3F

圖2 不同T2下的攻角曲線(M2<0，0<0)Fig.2 Angle-of-attack curves with different T2 for M2<0 and 0<0

3.2 M2<0與0>0情況

圖3給出了當(dāng)M0=0.01，其余參數(shù)按表1取值時(shí)，判據(jù)J1和J2隨T2的變化曲線，此時(shí)M2=-0.35<0，0=M0-P2/4=0.007 5>0，且有P(2T0-H0)=0.038>0. 由圖3可知，當(dāng)-9.4880成立，當(dāng)T2<1.326時(shí)判據(jù)J2>0成立，為保證J1>0、J2>0同時(shí)成立，須有-9.488

圖3 判據(jù)J1和J2曲線(M2<0，0>0)Fig.3 Curves of criteria J1 and J2 for M2<0 and 0>0

其余參數(shù)保持不變，T2分別取-9.49、-9.48、-9.41、-8.00、-1.00、0、0.61、0.62，按(33)式、(42)式及(51)式進(jìn)行分析計(jì)算，結(jié)果如表3所示。按表1和表3給出參數(shù)代入攻角方程，并采用龍格- 庫(kù)塔法對(duì)攻角方程進(jìn)行迭代求解，得到T2取不同值時(shí)的攻角曲線，部分結(jié)果如圖4所示。

表3 極限圓錐運(yùn)動(dòng)驗(yàn)證算例(M2<0，0>0)

Tab.3 Example for verification of limiting conical motion for M2<0 and 0>0

表3 極限圓錐運(yùn)動(dòng)驗(yàn)證算例(M2<0，0>0)

T2J1J2其他判定條件狀態(tài)mcδcφc-9.49-3.4×10-74.1×10-2F-9.486.3×10-74.1×10-2mc1= -1.05、J3=0.14、J4=-2.8×10-2、J5=2.0Fmc2= -1.08、J3=0.13、J4= -1.6×10-2、J5=1.8F-9.417.3×10-64.1×10-2mc1= -1.03、J3=0.14、J4=-4.1×10-2、J5=2.4Fmc2= -1.12、J3=0.13、J4= -9.0×10-4、J5=1.6F-8.001.2×10-43.5×10-2mc1= -1.02、J3=0.14、J4=-4.5×10-2、J5=2.5Fmc2= -1.56、J3=9.3×10-2、J4= 9.8×10-2、J5=1.1T-1.5610.490.115-1.001.3×10-48.8×10-3mc1= -2.64、J3=4.7×10-2、J4=0.24、J5=0.29Tmc2= -38.6、J3=-0.37、J4= 1.6、J5=0.14F-2.6413.640.16105.6×10-55.0×10-3^M0+[P(2T0-H0)]2/4H20=3.3×10-2T-4.3417.480.2080.619.5×10-72.7×10-3mc1=-12.96、Q3=0.14、Q4=9.1×10-3Tmc2=-21.17、Q3=0.23、Q4=-7.0×10-3F-12.9630.200.3500.62-1.6×10-82.7×10-3F

圖4 不同T2下的攻角曲線(M2<0，0>0)Fig.4 Angle-of-attack curves with different T2 for M2<0 and 0>0

3.3 M2>0與0>0情況

圖5為當(dāng)取M0=0.01、M2=0.35>0，其余參數(shù)按表1進(jìn)行取值時(shí)，判據(jù)J1和J2隨T2的變化曲線，此時(shí)0=M0-P2/4=0.007 5>0，且有P(2T0-H0)=0.038>0. 由圖5可知，無(wú)論T2取何值，均不能使判據(jù)J1>0、J2>0同時(shí)成立，即在此條件下，無(wú)法形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)。其余參數(shù)保持不變，T2分別取-1.0、-0.5、0、1.0對(duì)攻角方程進(jìn)行求解計(jì)算，結(jié)果表明(見(jiàn)圖6)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果是一致的，即在本文選取的參數(shù)條件下，當(dāng)M2>0、0>0時(shí)，T2無(wú)論取何值均無(wú)法形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)。

圖5 判據(jù)J1和J2曲線(M2>0，0>0)Fig.5 Curves of criteria J1 and J2 for M2>0 and 0>0

圖6 不同T2下的攻角曲線(M2>0，0>0)Fig.6 Angle-of-attack curves with different T2 for M2>0 and 0>0

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)彈箭在準(zhǔn)圓運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的攻角運(yùn)動(dòng)振幅平面方程，進(jìn)行泰勒展開(kāi)處理，進(jìn)而對(duì)其非零奇點(diǎn)的存在性和收斂性進(jìn)行了分類討論，得到了不同參數(shù)條件下，彈箭形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的判據(jù)條件，及其極限圓錐運(yùn)動(dòng)幅值和頻率表達(dá)式，并以某型旋轉(zhuǎn)尾翼彈參數(shù)為例對(duì)相關(guān)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)上述研究，得出以下結(jié)論：

1)本文給出的判據(jù)條件與現(xiàn)有研究相比具有更明確的解析關(guān)系，且所考慮的參數(shù)范圍更為全面。算例分析結(jié)果表明，本文推導(dǎo)得到的旋轉(zhuǎn)彈箭在非線性馬格努斯力矩和非線性靜力矩作用下形成極限圓錐運(yùn)動(dòng)的判據(jù)條件，能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)彈箭極限圓錐運(yùn)動(dòng)形成情況，驗(yàn)證了理論模型的正確性。

2)當(dāng)M2≠0時(shí)，對(duì)于PT2<0、PT2>0以及PT2=0的情況，彈箭形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)均需滿足本文給出的僅與攻角方程初始參數(shù)有關(guān)的兩條綜合判據(jù)條件J1>0和J2>0. 雖然判據(jù)J1>0和J2>0僅是形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件，但算例分析結(jié)果顯示，當(dāng)攻角方程各參數(shù)滿足這兩條判據(jù)時(shí)，在大多數(shù)情況下彈箭均會(huì)形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)，根據(jù)這兩條判據(jù)可方便快捷地對(duì)彈箭的極限圓錐運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行初步判斷。

3)對(duì)于本文分析的4種參數(shù)取值情況均有僅當(dāng)T2和M2中至少一個(gè)為負(fù)值時(shí)，才可能形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)檎腡2和M2均是促使角運(yùn)動(dòng)發(fā)散的因素，當(dāng)二者均為正時(shí)彈箭準(zhǔn)圓運(yùn)動(dòng)無(wú)法收斂。此外，對(duì)于PT2<0且M2≠0、PT2=0且M2≠0、M2=0 3種情況均可由理論推導(dǎo)嚴(yán)格證明具有正阻尼H0>0是旋轉(zhuǎn)彈箭形成穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)的必要條件，而對(duì)于PT2>0且M2≠0這一情況無(wú)法嚴(yán)格證明這一結(jié)論，因此本文結(jié)合掠飛靈巧彈藥氣動(dòng)特性，在假設(shè)H0>0的條件下，推導(dǎo)了穩(wěn)定極限圓錐運(yùn)動(dòng)形成判據(jù)。