黃魯豫，徐勝利，張明環(huán)

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，陜西 西安 710072；2. 上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

未來的空中威脅具有高速、高隱身、寬空域以及高機(jī)動(dòng)特征，這些特征對(duì)下一代攔截彈的設(shè)計(jì)提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，需要其適應(yīng)大范圍的空域及速域的變化。與現(xiàn)役導(dǎo)彈相比，下一代導(dǎo)彈的作戰(zhàn)高度需求更高，甚至要求其在20～30 km執(zhí)行任務(wù)。在此環(huán)境下，由于空氣非常稀薄，導(dǎo)彈氣動(dòng)舵控效率很低，舵容易處于飽和狀態(tài)。如繼續(xù)采用傳統(tǒng)的控制方式，導(dǎo)彈在20 km以上高度飛行時(shí)已基本不具備過載能力，無法滿足快速響應(yīng)、大機(jī)動(dòng)能力的任務(wù)需求[1-3]。

目前，國內(nèi)外針對(duì)該問題的解決方案集中于采用氣動(dòng)力/直接力的復(fù)合控制方式，以期提升導(dǎo)彈的響應(yīng)速度和機(jī)動(dòng)能力[4-7]。與單純依靠氣動(dòng)力控制相比，采用復(fù)合控制方式的導(dǎo)彈過載響應(yīng)上升時(shí)間下降了一個(gè)數(shù)量級(jí)，而且可用過載的大小不受導(dǎo)彈飛行高度的影響，因此能夠在很大程度上提高導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的性能。

雖然氣動(dòng)力/直接力的復(fù)合控制方式是提升導(dǎo)彈控制能力的一種有效手段，但其代價(jià)是要在導(dǎo)彈上增加額外的能源，不僅增加全彈重量，還會(huì)擠壓有效載荷的空間。針對(duì)該問題，本文提出了一種新的解決思路，通過增加一組鴨舵來增加導(dǎo)彈在高空時(shí)的可用過載，并設(shè)計(jì)了一種鴨舵/尾舵復(fù)合控制方法以保證導(dǎo)彈在全飛行空域和速域都具備快速響應(yīng)和大機(jī)動(dòng)過載的能力。

1 導(dǎo)彈建模

1.1 六自由度模型

本文假定的導(dǎo)彈氣動(dòng)外形如圖1所示。導(dǎo)彈采用軸對(duì)稱外形，安裝有4片鴨舵和4片尾舵。俯仰通道和偏航通道采用鴨舵、尾舵聯(lián)合控制，滾轉(zhuǎn)通道由尾舵控制。

圖1 導(dǎo)彈氣動(dòng)外形Fig.1 The aerodynamic shape of missile

為簡化彈體動(dòng)力學(xué)模型，把導(dǎo)彈視為剛體，暫時(shí)忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。導(dǎo)彈的六自由度模型如式(1)～(4)所示。

(1)

(2)

(3)

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式中：ωx,ωy,ωz為三個(gè)姿態(tài)角速度；Mx,My,Mz為3個(gè)方向的力矩；Jx,Jy,Jz為3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；x,y,z為發(fā)射系下導(dǎo)彈的位置坐標(biāo)點(diǎn)；v為導(dǎo)彈飛行速度；θ,φ為彈道傾角和彈道偏角；?,ψ,γ為俯仰角、偏航角和滾轉(zhuǎn)角；α,β為攻角和側(cè)滑角。

1.2 線性化數(shù)學(xué)模型

對(duì)軸對(duì)稱導(dǎo)彈數(shù)學(xué)模型進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，簡化條件為：

1) 采用系數(shù)凍結(jié)法，即彈道上某一時(shí)刻t的導(dǎo)彈飛行速度v、高度H、推力P、質(zhì)量m、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J均不變。

2) 攻角α、側(cè)滑角β均為小量，即sinα≈α、cosα≈1、sinβ≈β、cosβ≈1。

3) 控制系統(tǒng)保證實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角穩(wěn)定，并有足夠的快速性。

由此，導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型可線性化為

(5)

忽略運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合項(xiàng)-ωxβ，可得導(dǎo)彈縱向通道小擾動(dòng)線性化模型為

(6)

式中：ny為導(dǎo)彈法向過載；g為重力加速度。

同理，可得導(dǎo)彈橫側(cè)向小擾動(dòng)線性化模型為

(7)

(8)

式中：nz為導(dǎo)彈側(cè)向過載。

2 鴨舵/尾舵復(fù)合控制算法

以縱向通道為例，導(dǎo)彈鴨舵/尾舵復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

注： nyc為法向過載指令；Kny、Kα、Kω為三回路的控制增益系數(shù)；δzc為z通道舵偏控制指令；為積分環(huán)節(jié)；ωz(s)、δz(s)、ny(s)、α(s)分別為ωz(t)、δz(t)、ny(t)、α(t)經(jīng)拉斯變換后得到的頻域信號(hào)。圖2 鴨舵/尾舵復(fù)合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 The canard/tail rudder compound control system structure

俯仰通道舵指令分配方式為

(9)

式中：Kz1,Kz2分別為鴨舵和尾舵的分配系數(shù)。

通過規(guī)劃鴨舵/尾舵的分配系數(shù)(Kz1,Kz2)，可以使作用于導(dǎo)彈的阻力最小化，從而保證導(dǎo)彈的高空過載能力。本文在過載三回路控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，采用序列二次規(guī)劃法對(duì)鴨舵/尾舵分配系數(shù)進(jìn)行以下優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得

(10)

式中：Cd為阻力系數(shù)。

(11)

3 序列二次規(guī)劃算法原理

一般非線性約束的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題是[8-9]：

minf(X)

(12)

式中：X∈Rn是決策變量；f(X)是目標(biāo)函數(shù)；gu(X)和hv(X)分別是不等式約束函數(shù)和等式約束函數(shù)。

利用泰勒展開把非線性約束問題式(12)的目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)Xk簡化成二次函數(shù)，把約束函數(shù)簡化成線性函數(shù)后得到的就是如式(13)所示的二次規(guī)劃問題。

(13)

此問題是原約束最優(yōu)化問題的近似問題，但其解不一定是原問題的可行點(diǎn)。為此，令S=X-Xk，將上述二次規(guī)劃問題變成關(guān)于變量S的問題，即為

(14)

令H=2f(Xk)

C=f(Xk)

Aeq=[h1(Xk),h2(Xk),…,hm(Xk)]T

A=[g1(Xk),g2(Xk),…,gp(Xk)]T

Beq=[h1(Xk),h2(Xk),…,hm(Xk)]T

B=[g1(Xk),g2(Xk),…,gp(Xk)]T

(15)

將式(14)變成二次規(guī)劃問題的一般形式，即為

(16)

求解此二次規(guī)劃問題，將其最優(yōu)解S*作為原問題的下一個(gè)搜索方向Sk，并在該方向上進(jìn)行原約束問題目標(biāo)函數(shù)的約束一維搜索，即可得到原約束問題的一個(gè)近似解Xk+1。反復(fù)迭代該過程，直至求得最優(yōu)解。

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文控制算法的有效性，構(gòu)建以下仿真場景。

1) 目標(biāo)從350 km外進(jìn)入戰(zhàn)區(qū)，側(cè)向偏差z=100 m，飛行速度為1 800 m/s，飛行高度為30 km，在距離導(dǎo)彈70 km 時(shí)以3g過載做側(cè)向機(jī)動(dòng)進(jìn)行規(guī)避，機(jī)動(dòng)時(shí)間5 s。

2) 導(dǎo)彈以70°俯仰角從地面發(fā)射，爬升至近30 km高度后對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤攔截。

3) 仿真環(huán)境為Matlab/Simulink，仿真步長為0.001 s。

仿真結(jié)果如圖3～11所示。

圖3 縱向平面飛行彈道Fig.3 The trajectory in longitudinal plane

圖4 橫側(cè)向平面飛行彈道Fig.4 The trajectory in horizontal plane

從圖3和圖4可以看出，在30 km的高空，導(dǎo)彈擊中了目標(biāo)，脫靶量小于3 m。

圖5 導(dǎo)彈高度曲線Fig.5 The height curve of missile

從圖5可以看出，導(dǎo)彈爬升至30 km后，姿態(tài)和軌跡能夠迅速穩(wěn)定收斂，證明了本文控制算法具有良好的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。

圖6 導(dǎo)彈攻角曲線Fig.6 The attack angle curve of missile

圖7 導(dǎo)彈側(cè)滑角曲線Fig.7 The sideslip angle curve of missile

從圖6和圖7可以看出，導(dǎo)彈在做機(jī)動(dòng)時(shí)，攻角和側(cè)滑角始終處于較小的狀態(tài)。

圖8 導(dǎo)彈法向過載曲線Fig.8 The normal overload curve of missile

圖9 導(dǎo)彈側(cè)向過載曲線Fig.9 The lateral overload curve of missile

圖10 導(dǎo)彈俯仰通道舵偏角曲線Fig.10 The pitching channel rudder deflection angle curve of missile

從圖8和圖9可以看出，在30 km的高空，導(dǎo)彈仍然具備3g以上的過載機(jī)動(dòng)能力，證明了本文基于序列二次規(guī)劃法設(shè)計(jì)的鴨舵/尾舵復(fù)合控制策略能夠保證導(dǎo)彈的高空機(jī)動(dòng)能力。

圖11 導(dǎo)彈偏航通道舵偏角曲線Fig.11 The yaw channel rudder deflection angle curve of missile

從圖10和圖11可以看出，在30 km的高空，導(dǎo)彈在做3g的機(jī)動(dòng)時(shí)，舵偏角小于15°，相對(duì)飛行器通常采用的25°限幅值仍有一定空間，表明導(dǎo)彈具備潛在的更大的機(jī)動(dòng)能力，也進(jìn)一步證明了本文算法的有效性。

5 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈鴨舵 / 尾舵復(fù)合控制系統(tǒng)，并采用序列二次規(guī)劃法對(duì)鴨舵 / 尾舵的舵指令分配策略進(jìn)

行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過仿真驗(yàn)證，證明了本文所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)不但具有良好的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，還能夠保證導(dǎo)彈在高空仍具備高機(jī)動(dòng)能力。本文的研究為未來導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)提供了一種新的思路，具有較高的應(yīng)用價(jià)值和工程意義。