嵇慧明，余敏建，楊家一，張薇，游航航

(1.空軍工程大學(xué)a.研究生院；b.空管領(lǐng)航學(xué)院，陜西 西安 710051； 2.忻州師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，山西 忻州 034000)

0 引言

廣義自由空戰(zhàn)是指在空中對(duì)抗中，空戰(zhàn)雙方在三維空間內(nèi)充分發(fā)揮飛機(jī)的極限性能，合理使用各種機(jī)載武器，根據(jù)掌握的空中態(tài)勢(shì)，結(jié)合地面指揮所的引導(dǎo)對(duì)策，靈活自由地運(yùn)用戰(zhàn)術(shù)對(duì)策，構(gòu)成攻擊條件并進(jìn)行攻擊[1]。根據(jù)空空導(dǎo)彈的射程，可將空戰(zhàn)階段分為近距空戰(zhàn)(10 km以內(nèi))、中距空戰(zhàn)(10～100 km)、遠(yuǎn)距空戰(zhàn)(100 km以外)[2]。近距空戰(zhàn)[3]通常為視距內(nèi)空戰(zhàn)，以機(jī)載航炮為主要武器，空戰(zhàn)機(jī)動(dòng)決策以飛行員的經(jīng)驗(yàn)判斷為主，對(duì)地面指揮引導(dǎo)依賴度較??；遠(yuǎn)距空戰(zhàn)主要依賴機(jī)載雷達(dá)與空空導(dǎo)彈，機(jī)動(dòng)對(duì)策以占位布勢(shì)為主要目的，最終還要進(jìn)入中距空戰(zhàn)對(duì)敵實(shí)施攻擊。因此，自由空戰(zhàn)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成，是未來一段時(shí)期內(nèi)重點(diǎn)關(guān)注和重要的研究方向。

目前國(guó)內(nèi)外在空戰(zhàn)機(jī)動(dòng)對(duì)策的研究方面取得了豐碩的成果。主要的方法有：微分對(duì)策法[4]、影響圖法[5]、矩陣博弈法[6]、矩陣對(duì)策法以及基于“IF-THEN”規(guī)則、風(fēng)險(xiǎn)性決策[7]、遺傳算法[8]、戰(zhàn)術(shù)免疫機(jī)動(dòng)系統(tǒng)[9]等的人工智能算法，這些方法主要為中近距的自由空戰(zhàn)實(shí)時(shí)對(duì)抗提供輔助決策，而對(duì)中距空戰(zhàn)轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成問題研究較少。本文主要依據(jù)空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)邊界函數(shù)以及空戰(zhàn)態(tài)勢(shì)優(yōu)勢(shì)函數(shù)，建立自由空戰(zhàn)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)矢量模型，求解生成輔助引導(dǎo)對(duì)策，以有效解決中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成問題。

1 中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成影響因素分析

自由空戰(zhàn)中，飛行員會(huì)依據(jù)預(yù)先設(shè)定的戰(zhàn)法，結(jié)合空戰(zhàn)態(tài)勢(shì)和地面指揮引導(dǎo)策略，對(duì)戰(zhàn)機(jī)實(shí)施機(jī)動(dòng)。影響戰(zhàn)機(jī)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成的因素主要有戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)的導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)和戰(zhàn)機(jī)當(dāng)前態(tài)勢(shì)2個(gè)方面。

1.1 導(dǎo)彈攻擊區(qū)

導(dǎo)彈攻擊區(qū)又稱殺傷包線，是指在一定攻擊條件下，由導(dǎo)彈性能決定的有可能命中目標(biāo)的空間區(qū)域，在攻擊區(qū)內(nèi)發(fā)射導(dǎo)彈才有可能命中目標(biāo)[10]。文獻(xiàn)[11]將空空導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)的邊界函數(shù)描述為

Dmmax=f(h,hm,v,vm,ny,q)，

式中：Dmmax為導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)邊界；h為載機(jī)高度；hm為目標(biāo)高度；v為載機(jī)速度；vm為目標(biāo)速度；ny為目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載；q為進(jìn)入角。

為了簡(jiǎn)化中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)模型，可將導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)邊界視為橢圓，并用極坐標(biāo)方程：L=L(θ)進(jìn)行求解。如圖1所示，θ表示與飛機(jī)航向的夾角，并定義右半球?yàn)檎?，左半球?yàn)樨?fù)；L表示與飛機(jī)航向夾角成θ時(shí)導(dǎo)彈攻擊區(qū)邊界距離。

圖1 導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)邊界Fig.1 Boundary of missile maximum attack zone

1.2 戰(zhàn)機(jī)優(yōu)勢(shì)函數(shù)

空戰(zhàn)對(duì)策生成就是指揮戰(zhàn)機(jī)按照預(yù)定的高度、航向和速度等飛行諸元飛行，對(duì)敵構(gòu)成有利空中態(tài)勢(shì)，占據(jù)有利戰(zhàn)術(shù)位置。數(shù)學(xué)描述上，根據(jù)當(dāng)前的空戰(zhàn)態(tài)勢(shì)，構(gòu)建相應(yīng)的戰(zhàn)機(jī)優(yōu)勢(shì)函數(shù)，選擇對(duì)應(yīng)的戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)動(dòng)作，使戰(zhàn)機(jī)達(dá)到最大空戰(zhàn)優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[12]給出了角度、距離、速度、高度優(yōu)勢(shì)函數(shù)并加權(quán)得到空戰(zhàn)優(yōu)勢(shì)綜合函數(shù)。

1.2.1 戰(zhàn)機(jī)角度優(yōu)勢(shì)函數(shù)

戰(zhàn)機(jī)的角度優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在目標(biāo)方位角φ和進(jìn)入角q，φ與q的變化范圍為0～π，文獻(xiàn)[13]將φ與q分別劃分為如下3個(gè)區(qū)域：

式中：φrmax為雷達(dá)最大搜索方位角；φmmax為空空導(dǎo)彈最大離軸發(fā)射角；φmkmax為空空導(dǎo)彈不可逃逸區(qū)最大偏角。并由此建立戰(zhàn)機(jī)角度優(yōu)勢(shì)函數(shù)：

(1)

1.2.2 戰(zhàn)機(jī)距離優(yōu)勢(shì)函數(shù)

自由空戰(zhàn)戰(zhàn)機(jī)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)時(shí)，戰(zhàn)機(jī)通常不會(huì)進(jìn)入目標(biāo)機(jī)導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)。因此，構(gòu)建的距離優(yōu)勢(shì)函數(shù)只與兩機(jī)間的相對(duì)距離、目標(biāo)機(jī)導(dǎo)彈最大攻擊距離以及機(jī)載雷達(dá)最大搜索距離有關(guān)，計(jì)算公式為

式中：D為戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)之間的相對(duì)距離;Dr為雷達(dá)最大探測(cè)距離。

1.2.3 戰(zhàn)機(jī)速度優(yōu)勢(shì)函數(shù)

通常情況下，戰(zhàn)機(jī)的速度越大，優(yōu)勢(shì)越明顯。但在實(shí)際空戰(zhàn)中，速度越大，戰(zhàn)機(jī)轉(zhuǎn)彎半徑越大，攻擊占位時(shí)間變短，命中率也隨之下降?；诖耍墨I(xiàn)[14]中引入了最佳空戰(zhàn)速度vbest，vbest與戰(zhàn)機(jī)和目標(biāo)機(jī)間的相對(duì)距離有關(guān)：距離較大時(shí)，vbest大便于戰(zhàn)機(jī)快速接近目標(biāo)機(jī)；距離較小時(shí)，vbest小便于戰(zhàn)機(jī)實(shí)施占位進(jìn)行攻擊。利用vbest構(gòu)造速度優(yōu)勢(shì)函數(shù)如下：

(1) 當(dāng)vbest>1.5vm時(shí)

(2) 當(dāng)vbest≤1.5vm時(shí)

式中：vw為我方戰(zhàn)機(jī)速度;vm為目標(biāo)機(jī)速度。

1.2.4 戰(zhàn)機(jī)綜合優(yōu)勢(shì)函數(shù)

綜上可得，自由空戰(zhàn)中，戰(zhàn)機(jī)綜合優(yōu)勢(shì)函數(shù)為

S=ωaSa+ωrSr+ωvSv，

(2)

式中：ωa,ωr,ωv分別為戰(zhàn)機(jī)角度優(yōu)勢(shì)函數(shù)、距離優(yōu)勢(shì)函數(shù)和速度優(yōu)勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)，且∑ωi=1,i=a,r,v。在不同空戰(zhàn)態(tài)勢(shì)下，戰(zhàn)機(jī)優(yōu)勢(shì)函數(shù)的各個(gè)參數(shù)重要程度不同，其權(quán)系數(shù)計(jì)算公式[15]為

式中：ωi0為各參數(shù)的初始權(quán)系數(shù)值;ki為權(quán)系數(shù)的調(diào)節(jié)系數(shù)，∑ki=0,i=a,r,v。

2 中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)矢量模型

自由空戰(zhàn)戰(zhàn)機(jī)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)建模，首先應(yīng)對(duì)戰(zhàn)機(jī)的機(jī)動(dòng)動(dòng)作進(jìn)行模擬仿真，將抽象的空間描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并設(shè)立變量對(duì)戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)動(dòng)作進(jìn)行控制；其次，針對(duì)空戰(zhàn)過程中建立戰(zhàn)機(jī)坐標(biāo)困難的特點(diǎn)，本文建立了矢量模型，通過矢量方程來表述兩機(jī)之間的相對(duì)關(guān)系，可以優(yōu)化計(jì)算復(fù)雜度，提升戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)的有效性。

2.1 矢量模型簡(jiǎn)介

在平面直角坐標(biāo)系下，戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)間的態(tài)勢(shì)可用相對(duì)距離和相對(duì)方位角來衡量。根據(jù)直角坐標(biāo)和當(dāng)前航向，通過歐拉方程轉(zhuǎn)換，可以將兩機(jī)的矢量描述用復(fù)數(shù)表達(dá)式表示出來，再代入到矢量方程中，即可建立相應(yīng)的矢量模型，從而解算出未知變量。

2.1.1 函數(shù)與符號(hào)定義

(1) 反正切函數(shù)

根據(jù)某點(diǎn)平面直角坐標(biāo)(x,y)的所在象限，其反正切函數(shù)定義如下：

(2) 轉(zhuǎn)彎方向

(3) 進(jìn)入方向

(4) 戰(zhàn)機(jī)至目標(biāo)機(jī)方向

Kwm=at(xm-xw,ym-yw).

(5) 轉(zhuǎn)彎半徑

式中:γi為戰(zhàn)機(jī)的轉(zhuǎn)彎坡度。

(6) 兩機(jī)之間的距離

2.1.2 飛行過程矢量表示

在復(fù)平面上，其復(fù)平面坐標(biāo)為

A=y1+ix1.

經(jīng)過時(shí)間t1后，到達(dá)位置點(diǎn)B(x2,y2)，則矢量AB在復(fù)平面上可表示為

AB=(y2-y1)+i(x2-x1).

圖2 戰(zhàn)機(jī)飛行過程矢量表示Fig.2 Vector representation of fighter′s flight process

設(shè)A至B的距離為S,指向?yàn)镵，則有

AB=S(cosK+isinK),

結(jié)合歐拉公式：

eiK=cosK+isinK,

所以

AB=SeiK.

2.2 戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)動(dòng)作

文獻(xiàn)[16]得到了11種戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)改進(jìn)后的基本操縱動(dòng)作，并給出了每個(gè)動(dòng)作的控制算法。本文中，戰(zhàn)機(jī)實(shí)施中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)時(shí)，高度基本保持不變，主要涉及減速前飛、勻速前飛、加速前飛、左轉(zhuǎn)和右轉(zhuǎn)5種機(jī)動(dòng)動(dòng)作。平面示意圖如圖3所示。

圖3 戰(zhàn)機(jī)主要機(jī)動(dòng)動(dòng)作Fig.3 Main maneuver of fighter planes

在數(shù)學(xué)描述上，本文選擇nx，ny，γ作為機(jī)動(dòng)動(dòng)作的控制變量。

式中：α,β,γ分別為戰(zhàn)機(jī)的航向角、航跡傾斜角、滾轉(zhuǎn)角；nx,ny分別為戰(zhàn)機(jī)的切向過載和法向過載。令

則上述5種機(jī)動(dòng)動(dòng)作對(duì)應(yīng)的控制量范圍如表1所示。

表1 戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)動(dòng)作控制算法Table 1 Maneuver control algorithm for fighter plans

2.3 中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)矢量模型的構(gòu)建

初始時(shí)刻，戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)分別保持一定的速度、高度、航向飛行，通過戰(zhàn)機(jī)綜合優(yōu)勢(shì)函數(shù)，計(jì)算戰(zhàn)機(jī)應(yīng)飛航向、速度和高度，并以此調(diào)整戰(zhàn)機(jī)至應(yīng)對(duì)目標(biāo)機(jī)狀態(tài)，根據(jù)當(dāng)前飛行諸元參數(shù)，結(jié)合兩機(jī)導(dǎo)彈攻擊區(qū)范圍和角度優(yōu)勢(shì)函數(shù)，計(jì)算得出戰(zhàn)機(jī)中距轉(zhuǎn)彎時(shí)機(jī)和轉(zhuǎn)彎諸元(坡度、角度等)，從而生成中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)引導(dǎo)對(duì)策。具體流程如圖4所示。

圖4 中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成流程Fig.4 Generating process of maneuver countermeasures for mid-range turning

t0時(shí)刻，戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)分別位于W0(xw0,yw0)，M0(xm0,ym0)處，vw，vm，Hw，Hm，Kw和Km分別為兩機(jī)的速度、高度、航向。經(jīng)過時(shí)間Δt后，戰(zhàn)機(jī)經(jīng)過W1并實(shí)施中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)到達(dá)W2處，目標(biāo)機(jī)到達(dá)M1處，此時(shí)，戰(zhàn)機(jī)處于目標(biāo)機(jī)導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)外，而目標(biāo)機(jī)處于我方戰(zhàn)機(jī)導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)內(nèi)，我方戰(zhàn)機(jī)占位構(gòu)成優(yōu)勢(shì)，在此處發(fā)射導(dǎo)彈或轉(zhuǎn)入近距作戰(zhàn)，可以有效提升我方戰(zhàn)機(jī)作戰(zhàn)效能。具體示意圖如圖5所示。

M1W2=M1M0+M0W0+W0W1+W1O1+

O1W2=-vm·ΔteiKm+S0eiKmw+

(3)

圖5 中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)示意圖Fig.5 Schematic diagram of mid-range turning maneuver

(4)

建立時(shí)間方程：

(5)

式中：tzw代表轉(zhuǎn)彎時(shí)間。

戰(zhàn)機(jī)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)后，此時(shí)兩機(jī)的相對(duì)方位線與目標(biāo)機(jī)和我方戰(zhàn)機(jī)航向夾角分別為α，β，由導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)邊界函數(shù)可以得出最優(yōu)距離：

式中：Lw(β)為與戰(zhàn)機(jī)航向夾角為β時(shí)導(dǎo)彈最大攻擊距離；Lm(α)為與目標(biāo)機(jī)航向夾角為α?xí)r導(dǎo)彈最大攻擊距離。通過綜合優(yōu)勢(shì)函數(shù)式(2)，可計(jì)算得出戰(zhàn)機(jī)接敵進(jìn)角XC、接敵最優(yōu)距離S1和α，β。

故有

M1W2=S1ei(Km+n1α)=vmΔtcos(Km+

n1α)+ivmΔtsin(Km+n1α).

(6)

2.4 中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成

利用綜合優(yōu)勢(shì)函數(shù)式(2)，結(jié)合導(dǎo)彈最大攻擊范圍，即可解算得出戰(zhàn)機(jī)轉(zhuǎn)彎改出航向。最后利用Matlab工具，仿真出戰(zhàn)機(jī)的飛行軌跡。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證該模型的有效性，現(xiàn)針對(duì)某空戰(zhàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬仿真。目標(biāo)機(jī)飛行軌跡嚴(yán)格按照該空戰(zhàn)戰(zhàn)法進(jìn)行控制，我方戰(zhàn)機(jī)則通過中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)模型計(jì)算得出空戰(zhàn)對(duì)策，用機(jī)動(dòng)動(dòng)作庫(kù)中的控制算法來模擬控制飛行。最后，通過與原戰(zhàn)法進(jìn)行比較，并結(jié)合空戰(zhàn)綜合優(yōu)勢(shì)函數(shù)，分析該模型的有效性。

初始時(shí)刻，目標(biāo)機(jī)與我方戰(zhàn)機(jī)分別位于(10,10) km，(82.75,4)km處，兩機(jī)飛行參數(shù)分別為(8 000,800,90)，(8 000,1 100,270)，導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)邊界函數(shù)是將真實(shí)數(shù)據(jù)理想化以后構(gòu)建的橢圓方程，具有一定的可靠性。規(guī)定重力加速度g=10 m/s2，仿真步長(zhǎng)為3 s，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)飛行軌跡Fig.6 Flight paths of our fighter and target plane

將戰(zhàn)機(jī)仿真飛行軌跡與戰(zhàn)法飛行軌跡比較后可以初步得出，通過模型計(jì)算仿真得出的戰(zhàn)機(jī)航向、速度以及中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)更加精確，能夠使戰(zhàn)機(jī)的機(jī)動(dòng)更加有效，空戰(zhàn)優(yōu)勢(shì)更加明顯，對(duì)目標(biāo)機(jī)構(gòu)成威脅。

在中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)矢量模型中，戰(zhàn)機(jī)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策是實(shí)時(shí)生成的，表2列舉了6個(gè)特殊節(jié)點(diǎn)處的戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)對(duì)策指令。

當(dāng)戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)都按照預(yù)先設(shè)定的戰(zhàn)法實(shí)施飛行時(shí)，在上述6個(gè)特殊時(shí)間節(jié)點(diǎn)處，戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)的綜合優(yōu)勢(shì)值如表3所示。

當(dāng)戰(zhàn)機(jī)按照本文建立的中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)模型計(jì)算的結(jié)果實(shí)施機(jī)動(dòng)時(shí)，在上述6個(gè)特殊時(shí)間節(jié)點(diǎn)處，戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)的綜合優(yōu)勢(shì)值如表4所示。

從上述結(jié)果可以看出，初始時(shí)刻，戰(zhàn)機(jī)與目標(biāo)機(jī)優(yōu)勢(shì)相當(dāng)，當(dāng)戰(zhàn)機(jī)經(jīng)過中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)后，逐漸增加與目標(biāo)機(jī)間的優(yōu)勢(shì)差，對(duì)目標(biāo)機(jī)構(gòu)成威脅。比較表3與表4可以得出，通過模型計(jì)算得出的我方戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)對(duì)策更加具有可靠性，戰(zhàn)機(jī)的空戰(zhàn)優(yōu)勢(shì)更加明顯，證明了模型的有效性。

表2 特殊節(jié)點(diǎn)處戰(zhàn)機(jī)機(jī)動(dòng)對(duì)策指令Table 2 Instructions for maneuver countermeasures of our fighter at special nodes

表3 戰(zhàn)法飛行兩機(jī)綜合優(yōu)勢(shì)值Table 3 Comprehensive advantage value of our and target fighters flying with combat tactics

表4 模型仿真飛行兩機(jī)綜合優(yōu)勢(shì)值Table 4 Comprehensive advantage value of our and target fighters flying with model simulation

4 結(jié)束語(yǔ)

自由空戰(zhàn)中，中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成仍然具有十分重要的地位作用。本文將導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)與戰(zhàn)機(jī)優(yōu)勢(shì)函數(shù)相結(jié)合，通過對(duì)影響中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)的因素進(jìn)行分析，建立了中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)矢量模型，并通過仿真分析，驗(yàn)證了模型的有效性，對(duì)提升自由空戰(zhàn)中距轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)對(duì)策生成的準(zhǔn)確性具有重要意義。