楊林峰， 申子婷， 王建軍， 劉子玉

(中原工學(xué)院 理學(xué)院， 河南 鄭州 450007)

電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用對(duì)現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展至關(guān)重要。量子電子計(jì)算機(jī)代表了電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展方向，其主要特點(diǎn)是采用以量子比特進(jìn)行數(shù)據(jù)處理及儲(chǔ)存的物理裝置[1]。量子電子計(jì)算機(jī)的各部件之間采用具有量子力學(xué)性能的量子導(dǎo)線進(jìn)行連接，使各部件之間保持量子相干性。具有管狀形態(tài)的碳納米管因其優(yōu)異的力學(xué)、電學(xué)性能而成為量子電子計(jì)算機(jī)的首選材料[2]。量子電子計(jì)算機(jī)中導(dǎo)線的連接缺陷、運(yùn)行時(shí)的發(fā)熱以及長(zhǎng)程運(yùn)輸問(wèn)題導(dǎo)致電子的退相干性，使得量子電子計(jì)算機(jī)盡管單個(gè)部件具有量子性質(zhì)，但在電子運(yùn)輸過(guò)程中整體上表現(xiàn)出一種弱局域化現(xiàn)象。本文主要研究電子在柱面狀量子導(dǎo)線中的輸運(yùn)行為，以促進(jìn)人們對(duì)量子輸運(yùn)本質(zhì)的理解[3-4]，同時(shí)對(duì)未來(lái)量子電子計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)研發(fā)提供理論借鑒。

1 量子干涉的計(jì)算模型

量子干涉是微觀系統(tǒng)的基本特征，隨著尺度的增大，雜質(zhì)、連接缺陷、長(zhǎng)程運(yùn)輸?shù)葐?wèn)題將導(dǎo)致量子干涉效應(yīng)在微觀系統(tǒng)中被平均而難以體現(xiàn)出來(lái)[5]。對(duì)于介觀系統(tǒng)，只有滿(mǎn)足特殊條件的量子干涉效應(yīng)才能保留下來(lái)(即會(huì)產(chǎn)生弱量子干涉效應(yīng))。量子電子計(jì)算機(jī)的連接導(dǎo)線和器件均處于介觀系統(tǒng)的范圍，因此它們的輸運(yùn)性質(zhì)會(huì)受弱量子干涉效應(yīng)的影響。柱面狀幾何結(jié)構(gòu)的單壁碳納米管(SWNT)具有優(yōu)異的力學(xué)及導(dǎo)電屬性，實(shí)驗(yàn)和理論上均發(fā)現(xiàn)其相干長(zhǎng)度Lφ比其截面周長(zhǎng)L長(zhǎng)很多，使得SWNT成為單分子水平上研究量子干涉、設(shè)計(jì)量子元器件及量子導(dǎo)線的首選材料[6]。本文重點(diǎn)研究柱面狀量子導(dǎo)線(其形狀類(lèi)似碳納米管)磁電阻的弱量子干涉效應(yīng)，通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬來(lái)研究柱面狀量子導(dǎo)線中磁電阻隨外磁場(chǎng)磁通量的變化規(guī)律。柱面狀量子導(dǎo)線的幾何模型如圖1所示。

L為截面周長(zhǎng)；Φ為施加軸向磁場(chǎng)的磁通量圖1 柱面狀量子導(dǎo)線的幾何模型

在柱面狀量子導(dǎo)線中，設(shè)定空間位置X處波函數(shù)Ψ(X)滿(mǎn)足的薛定諤方程和約束條件為：

(1)

在簡(jiǎn)并電子氣體中，電導(dǎo)σ和擴(kuò)散常數(shù)D與著名的愛(ài)因斯坦關(guān)系式相關(guān)，即：σ=2e2N(0)D(這里，N(0)是費(fèi)米面上單自旋方向的態(tài)密度)。電子分波的量子干涉會(huì)改變有效的擴(kuò)散常數(shù)。正如Bergmann指出的，絕大多數(shù)序列的干涉對(duì)電導(dǎo)σ來(lái)說(shuō)并不重要，因?yàn)殡S機(jī)軌跡會(huì)導(dǎo)致波函數(shù)相干項(xiàng)的完全消失[7]。在不存在磁場(chǎng)的情況下，這種干涉使回波的強(qiáng)度加倍，并且會(huì)讓電阻增大，最終導(dǎo)致電子運(yùn)動(dòng)的弱局域化。在該弱局域化中，對(duì)電導(dǎo)的修正來(lái)自?xún)蓚€(gè)時(shí)間反演的電子分波的量子干涉。因此，量子干涉修正是由電子波包自相交的幾率決定的，并且電子波包之間的這種相對(duì)相位改變會(huì)修正電子運(yùn)動(dòng)的弱局域化，而這種相對(duì)相位改變可通過(guò)改變磁通量來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，磁電導(dǎo)的變化與量子干涉引起的發(fā)現(xiàn)電子幾率的增量成正比[8]，即：

(2)

式中：t0為時(shí)間參數(shù)；ΔW(t0)為量子干涉產(chǎn)生的背散射的增量。

(3)

在沒(méi)有量子干涉時(shí)，n圈量子導(dǎo)線的背散射概率為：

(4)

式中，Ψn(X0)為初始空間位置的波函數(shù)。

(5)

對(duì)于n圈量子導(dǎo)線，由量子干涉引起的背散射概率的增量為：

(6)

因此，磁電導(dǎo)的量子干涉修正量可表示為：

(7)

2 量子干涉的計(jì)算結(jié)果及討論

2.1 計(jì)算結(jié)果

(8)

式中，R為量子導(dǎo)線的電阻。

式(8)也反映了磁電阻的變化規(guī)律。對(duì)其進(jìn)行討論時(shí)，可只關(guān)注磁電阻的變化部分(即相對(duì)磁電阻)，因?yàn)榇烹娮璧慕^對(duì)值只會(huì)引起磁電阻曲線在縱軸方向的平移，而不會(huì)改變磁電阻曲線隨外磁場(chǎng)磁通量的變化規(guī)律。

(9)

2.2 討論

(1) 當(dāng)Lφ

(2) 當(dāng)Lφ>L時(shí)，磁電阻R開(kāi)始隨外磁場(chǎng)磁通量Φ變化，此時(shí)柱面狀量子導(dǎo)線的磁電阻會(huì)受到電子波包量子干涉現(xiàn)象的影響；而且，磁電阻以Φ0為振蕩周期隨外磁場(chǎng)磁通量發(fā)生變化。這是柱面狀量子導(dǎo)線磁電阻量子干涉現(xiàn)象弱局域化修正的基本特征。

(3) 當(dāng)Lφ=NL時(shí)，磁電阻R除了隨外磁場(chǎng)磁通量以Φ0為振蕩周期變化外，還出現(xiàn)了疊加在Φ0周期上的快速高頻振蕩，且其高頻振蕩周期為Φ0/N。一個(gè)振蕩周期Φ0中高頻振蕩小峰的個(gè)數(shù)恰巧與N相等。N越大，表明量子導(dǎo)線的相干性越強(qiáng)，這就提供了一種測(cè)量量子導(dǎo)線相干性的方法。對(duì)于Lφ=10L(N=10)情況，在r=4.1 nm時(shí)，模擬所得振蕩小峰值位置與參考文獻(xiàn)[10]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同。

(a) N=4

(b) N=10

(c) N=12圖2 碳納米管量子導(dǎo)線中磁電阻的量子干涉修正量隨外磁場(chǎng)磁通量的變化規(guī)律

圖3 文獻(xiàn)[10]中磁電阻的量子干涉修正量隨外磁場(chǎng)磁通量變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(4) 當(dāng)Lφ>>L時(shí)，以Φ0為振蕩周期的兩個(gè)振蕩峰趨近無(wú)窮大，中間的小峰消失，但磁電阻隨外磁場(chǎng)磁通量的變化仍以Φ0為振蕩周期。在磁通量為Φ0的整數(shù)倍時(shí)，電子處于完全局域化狀態(tài)，量子導(dǎo)線產(chǎn)生導(dǎo)體-絕緣體相變。該屬性可在設(shè)計(jì)量子開(kāi)關(guān)和儲(chǔ)存器件時(shí)參考。

3 結(jié)語(yǔ)

本文在電子波動(dòng)性量子力學(xué)干涉的框架下，考慮真實(shí)量子導(dǎo)線由雜質(zhì)、連接缺陷、升溫而導(dǎo)致的有限量子相干長(zhǎng)度限制問(wèn)題，研究了介觀系統(tǒng)中柱面狀量子導(dǎo)線在外磁場(chǎng)中量子電阻隨外磁場(chǎng)磁通量的變化規(guī)律，推導(dǎo)了弱局域化干涉效應(yīng)對(duì)量子導(dǎo)線的磁電阻的修正公式；并利用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬的方法，分析了各種相干環(huán)境中磁電阻隨外磁場(chǎng)的變化情況。研究結(jié)果表明：磁電阻隨外磁場(chǎng)磁通量做周期為Φ0的振蕩是弱局域化量子干涉修正的基本特征；隨著量子導(dǎo)線相干性的加強(qiáng)，快速高頻振蕩將會(huì)疊加在基礎(chǔ)振蕩周期Φ0上，且高頻振蕩的數(shù)目等于最大相干圈數(shù)N；當(dāng)量子導(dǎo)線的相干性非常強(qiáng)時(shí)，會(huì)發(fā)生量子導(dǎo)線的導(dǎo)體-絕緣體相變。該研究結(jié)果驗(yàn)證了有關(guān)學(xué)者前期發(fā)表的碳納米管中磁電阻隨磁場(chǎng)的高階振蕩實(shí)驗(yàn)結(jié)果；找到了一種常溫下測(cè)量量子導(dǎo)線相干性的方法。該研究結(jié)果可為量子電子計(jì)算機(jī)的研究設(shè)計(jì)提供理論借鑒。