高德營,李寧

(聊城大學(xué)東昌學(xué)院,山東 聊城 252000)

0 引言

量子關(guān)聯(lián)(量子糾纏和量子失協(xié))和量子相干性是量子理論中的兩個(gè)基本概念[1]。量子關(guān)聯(lián)表示兩體或多體系統(tǒng)的量子特性,量子相干性刻畫了疊加態(tài)呈現(xiàn)的量子干涉能力。它們是不同的物理概念,但有著密切的聯(lián)系,量子相干性是量子關(guān)聯(lián)、量子相變[2,3]、量子干涉[4,5]等非經(jīng)典效應(yīng)存在的前提條件。自從把量子相干性作為一種資源,并建立它滿足的理論框架,度量量子相干性的方法相繼被提出,例如l1-norm相干性度量[6]、相對熵相干性度量[6]、幾何相干性度量[7]、coherence of formation[8]等,對量子相干性的研究成為一個(gè)熱點(diǎn),研究人員從各個(gè)方面對它進(jìn)行了研究[9],其中一個(gè)方面是開放系統(tǒng)中量子相干性的動(dòng)力學(xué)演化[10-13]?？紤]到系統(tǒng)與環(huán)境不可避免的非平衡耗散的退相干過程,研究開放系統(tǒng)量子相干性的動(dòng)力學(xué)特征變得尤為重要。

對于一個(gè)復(fù)合量子系統(tǒng),例如一個(gè)雙Jaynes-Cumming型系統(tǒng),在各子系統(tǒng)的量子糾纏和量子失協(xié)的動(dòng)力學(xué)演化中,它們滿足一定的守恒關(guān)系式。文獻(xiàn)[14]考慮空間獨(dú)立的兩個(gè)系統(tǒng)組成的一個(gè)無耗散復(fù)合系統(tǒng),給出了子系統(tǒng)的量子糾纏滿足的守恒關(guān)系式;文獻(xiàn)[15]討論了一個(gè)無耗散系統(tǒng)中偶極相互作用對量子失協(xié)和量子糾纏滿足的守恒關(guān)系式的影響,發(fā)現(xiàn)量子糾纏和量子失協(xié)滿足的守恒關(guān)系式并不相同。與量子糾纏和量子失協(xié)一樣可以作為量子信息資源的量子相干性,在一個(gè)有耗散的復(fù)合系統(tǒng)中所滿足的守恒關(guān)系式還未見研究報(bào)道。

本文主要研究了兩個(gè)空間獨(dú)立的原子-零溫真空庫組成的復(fù)合系統(tǒng),以及各子系統(tǒng)的量子糾纏和量子相干性動(dòng)力學(xué)演化特性。給出了各子系統(tǒng)的量子糾纏和量子相干性滿足的守恒式,并討論了影響守恒式的因素。發(fā)現(xiàn)初始類貝爾態(tài)和初始態(tài)的純度決定了各子系統(tǒng)的量子糾纏和量子相干性滿足不同的守恒式。對于同一類貝爾態(tài),子系統(tǒng)量子糾纏和量子相干性的守恒式不受馬爾科夫環(huán)境或者非馬爾科夫環(huán)境的影響。

1 物理模型

考慮兩個(gè)二能級原子分別與兩個(gè)獨(dú)立零溫真空庫的相互耦合,由于兩個(gè)單原子-庫之間沒有相互作用,所以先考慮單原子-庫的耦合,然后把結(jié)果推廣到兩個(gè)原子-庫的情形[16,17]。

2 量子相干性和量子糾纏的計(jì)算

3 結(jié)果與討論

根據(jù)前面的分析,考慮非馬爾科夫和馬爾科夫環(huán)境兩種情況,分別討論復(fù)合系統(tǒng)各個(gè)子系統(tǒng)的量子糾纏和量子相干性的動(dòng)力學(xué)演化,并就各子系統(tǒng)量子糾纏和量子相干性滿足的守恒關(guān)系進(jìn)行研究。

圖1、圖2分別表示非馬爾科夫環(huán)境下兩原子的量子糾纏和量子相干性隨時(shí)間Rt和參數(shù)θ的變化。由圖可見,兩原子的量子糾纏出現(xiàn)了糾纏死亡和恢復(fù)現(xiàn)象,而兩原子的量子相干性沒有出現(xiàn)。進(jìn)一步,兩原子的量子相干性隨著兩原子初始狀態(tài)的不同而演化的動(dòng)力學(xué)不同,在實(shí)際應(yīng)用時(shí),可以選擇合適的兩原子的初始狀態(tài),以獲得相應(yīng)的相干性。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的物理機(jī)制為:這里所考慮的洛倫茲譜密度相當(dāng)于有衰減的Jaynes-Cumming模型[19],量子糾纏不會(huì)長時(shí)間保留,出現(xiàn)了衰減,針對某些初始糾纏態(tài),系統(tǒng)糾纏在動(dòng)力學(xué)過程中甚至?xí)霈F(xiàn)突然死亡,但停一段時(shí)間糾纏又恢復(fù),是非馬爾科夫效應(yīng)的記憶效應(yīng),流向環(huán)境的能量或者信息部分地反饋到量子系統(tǒng)。而量子相干性是系統(tǒng)密度矩陣非對角項(xiàng)的絕對值和,量子系統(tǒng)與環(huán)境相互作用中,非對角項(xiàng)在演化過程中不會(huì)在一定時(shí)間內(nèi)消失,僅在某時(shí)刻上衰減為0,受環(huán)境非馬爾科夫效應(yīng)的影響,表現(xiàn)為隨著時(shí)間振蕩的現(xiàn)象。

圖1 兩原子的量子糾纏Eq1q2隨著無量綱時(shí)間Rt、參數(shù)θ的變化,r=1,λ=0.05 RFig.1 Dimensionless time evolution of quantum entanglement Eq1q2between the two atom for the parameter θ with pure Bell-like states as initial states(r=1)in the non-Markovian regime(λ=0.05R)

圖2 兩原子的量子相干Cq1q2隨著無量綱時(shí)間Rt、參數(shù)θ的變化,r=1,λ=0.05RFig.2 Dimensionless time evolution of quantum coherence Cq1q2between the two atom for the parameter θ with pure Bell-like states as initial states(r=1)in the non-Markovian regime(λ=0.05R)

圖3、圖4分別表示非馬爾科夫環(huán)境下兩原子的量子糾纏和量子相干性隨時(shí)間Rt和初始態(tài)純度r的變化。當(dāng)r較小時(shí)兩原子沒有糾纏,而量子相干性總是存在的;隨著r的增加,兩原子的量子糾纏出現(xiàn)了糾纏死亡和恢復(fù)現(xiàn)象,而兩原子的量子相干性沒有出現(xiàn)類似的現(xiàn)象。對此現(xiàn)象的解釋是:改變態(tài)的純度r,也就是改變兩原子的初始態(tài),當(dāng)純度取值較小時(shí)兩原子沒有初始糾纏,自然不會(huì)出現(xiàn)糾纏的動(dòng)力學(xué)演化。隨著純度的增大,兩原子有了初始糾纏,由于耗散環(huán)境以及非馬爾科夫效應(yīng)的作用,出現(xiàn)了糾纏死亡和恢復(fù)現(xiàn)象,而量子相干性因相互作用過程中非對角項(xiàng)不會(huì)消失而始終存在。

圖3 兩原子的量子糾纏Eq1q2隨著無量綱時(shí)間Rt、參數(shù)r的變化,θ=π/8,λ=0.05RFig.3 Dimensionless time evolution of quantum entanglement Eq1q2as a function of paramete r with θ= π/8 and λ =0.05R

圖4 兩原子的量子相干性Cq1q2隨著無量綱時(shí)間Rt、參數(shù)r的變化,θ=π/8,λ=0.05RFig.4 Dimensionless time evolution of quantum coherence Cq1q2as a function of paramete r with θ= π/8 and λ =0.05R

圖5、圖6表示非馬爾科夫環(huán)境下,純度r=1、r=0.8兩種情況下的兩原子q1?q2、兩庫r1?r2,及其他子系統(tǒng)q1?r2、q2?r1、q1?r1、q2?r2量子相干性的動(dòng)力學(xué)演化?？梢钥吹絻稍恿孔酉喔尚訡q1q2的演化表現(xiàn)為典型的非馬科夫性特征,隨著時(shí)間的增加其數(shù)值逐漸減小為0。與兩原子的量子相干性相反,兩庫的量子相干性Cr1r2從0開始增加,最終為一定值,通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)兩原子量子相干性和兩庫量子相干性的代數(shù)和保持不變,滿足關(guān)系式Cq1q2+Cr1r2=|sin2θ|,表明兩原子的量子相干性并沒有消失,而是轉(zhuǎn)移到了兩庫,它們互為補(bǔ)充,其代數(shù)和為初始兩原子的相干性|sin2θ|。對于復(fù)合系統(tǒng)中各子系統(tǒng)量子相干性的演化進(jìn)行進(jìn)一步研究,發(fā)現(xiàn)它們滿足守恒關(guān)系式和Cq1q2+Cr1r2+2Cq1r1|cotθ|-2Cq1r2=|sin2θ|,表明在復(fù)合系統(tǒng)中,各子系統(tǒng)量子相干性并沒有消失,而是發(fā)生了轉(zhuǎn)移,并且滿足某一守恒關(guān)系式。對于此復(fù)合系統(tǒng)各子系統(tǒng)量子糾纏的動(dòng)力學(xué)演化,通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)僅當(dāng) |sinθ|＜ |cosθ|時(shí),量子糾纏滿足守恒式 Eq1q2+Er1r2+2Eq1r1|cotθ|-2Eq1r2=|sin2θ|。需要指出的是,文獻(xiàn)[25]研究了量子糾纏滿足的守恒式,指出在兩個(gè)耗散量子系統(tǒng)組成的復(fù)合系統(tǒng)中,量子糾纏可以在各個(gè)子系統(tǒng)中穩(wěn)定地分布,并滿足一個(gè)沒有約束條件且并不依賴于庫場具體形式的守恒式Qq1q2+Qr1r2+2Qq1r1|cotθ|-2Qq1r2=|sin2θ|,守恒式中Q為共生糾纏E=max{0,Q}中的一個(gè)變量,它可能是一個(gè)正數(shù),也可能為一個(gè)負(fù)數(shù)。計(jì)算表明此處所得的糾纏守恒式雖有約束條件|sinθ|＜|cosθ|,而文獻(xiàn)[25]中沒有約束條件,但結(jié)論是一樣的,表示了復(fù)合系統(tǒng)中子系統(tǒng)的糾纏具有穩(wěn)定分布的特征。通過上面的討論發(fā)現(xiàn)各子系統(tǒng)之間的量子相干性滿足更多的守恒式,相對于量子糾纏,量子相干性是一種更為基本的量子資源。

圖6 子系統(tǒng)的量子相干性隨無量綱時(shí)間Rt的變化,實(shí)線(1)和(2)表示量子相干不變量Cq1q2+Cr1r2,+++,r=0.8,θ= π/6,λ=0.1RFig.6 Quantum coherence for different partitions as a function of Rt with r=0.8,θ= π/6 in the non-Markovian regime(λ=0.1R).The solid line(1)and(2)denote the coherence invariants of Cq1q2+Cr1r2,+++

以上復(fù)合系統(tǒng)中各子系統(tǒng)的量子相干性和量子糾纏滿足守恒式的討論基于兩原子的初態(tài)為類貝爾態(tài),即r=1時(shí)。若改變兩原子的純度,即改變r(jià)的取值,守恒關(guān)系式會(huì)發(fā)生變化嗎？通過計(jì)算表明當(dāng)0＜r＜1時(shí),子系統(tǒng)的量子糾纏不滿足類似的守恒式。但子系統(tǒng)的量子相干性滿足兩個(gè)類似的守恒式,分別為,圖6中的實(shí)線(1)和(2)表示這兩個(gè)守恒式。相對于量子糾纏,各子系統(tǒng)的量子相干性滿足更多的守恒關(guān)系式,是因?yàn)榱孔蛹m纏出現(xiàn)了突然死亡和突然恢復(fù)現(xiàn)象,而量子相干性沒有這樣的特性。

圖7表示馬爾科夫環(huán)境下各子系統(tǒng)量子相干性的動(dòng)力學(xué)演化。由圖可見,兩原子量子相干性Cq1q2從最初的最大值減小到0,表現(xiàn)為馬爾科夫特性。兩庫之間的量子相干性從0增加到最大值。計(jì)算表明,對于馬爾科夫環(huán)境下,雖然各子系統(tǒng)量子相干性的動(dòng)力學(xué)演化不同于非馬爾科夫環(huán)境,但量子相干性守恒式是一樣的。這表明子系統(tǒng)量子相干性守恒式與所處的環(huán)境沒有關(guān)系。計(jì)算表明馬爾科夫環(huán)境下量子糾纏滿足的守恒關(guān)系與非馬爾科夫環(huán)境下滿足的關(guān)系也相同。對此現(xiàn)象的理論解釋為:當(dāng)原子與庫相互作用,洛倫茲譜寬度λ與原子激發(fā)態(tài)的衰減系數(shù)R相對取值不同時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)非馬爾科夫過程和馬爾科夫過程,各子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化的機(jī)理不同,進(jìn)而具體的演化過程不同,但無論哪一個(gè)過程量子糾纏都不會(huì)消失,而是在各子系統(tǒng)之間轉(zhuǎn)移。

圖7 子系統(tǒng)的量子相干性隨無量綱時(shí)間Rt的變化,實(shí)線(1)和(2)表示量子相干不變量+Cr1r2,+++,r=1,θ= π/6,λ=5RFig.7 Quantum coherence for different partitions as a function of Rt with r=1,θ= π/6 in the Markovian regime(λ =5R).The solid line(1)and(2)denotes the coherence invariants of Cq1q2+Cr1r2,+++

4 結(jié)論

從單個(gè)原子與零溫真空庫的耦合,推廣到兩個(gè)相互獨(dú)立的原子-庫的相互作用。研究了此復(fù)合系統(tǒng)中各子系統(tǒng)量子糾纏和量子相干性的動(dòng)力學(xué),并討論了各子系統(tǒng)的量子相干性和量子糾纏的守恒關(guān)系式。結(jié)果表明:各子系統(tǒng)的量子相干性不會(huì)像量子糾纏那樣出現(xiàn)突然死亡和恢復(fù)現(xiàn)象,其動(dòng)力學(xué)演化受初始態(tài)和純度的影響。通過對子系統(tǒng)量子相干性的研究,發(fā)現(xiàn)量子相干性并沒有消失,而是在子系統(tǒng)之間相互轉(zhuǎn)移,滿足相干守恒式。滿足的相干守恒式不受兩原子初始態(tài)ρΦ(0)、ρΨ(0)的影響,也不受非馬爾科夫環(huán)境或者馬爾科夫環(huán)境的影響,但受初始態(tài)純度的影響。子系統(tǒng)的量子糾纏因?yàn)槌霈F(xiàn)突然死亡、過了一段時(shí)間又恢復(fù)這一現(xiàn)象,滿足的守恒式不同于相干性的。這一點(diǎn)表明量子相干性是一種比量子糾纏更為基本的量子資源。所進(jìn)行研究可以加深對量子相干性和量子糾纏的認(rèn)識(shí),對于量子信息處理具有一定意義。