顧曉娟， 韓勝偉

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安710119）

1 引言及預(yù)備知識

基于Quantale中的邏輯蘊含算子→和 ，Rump等［1－4］提出了量子B－代數(shù)的概念，并對量子B－代數(shù)進(jìn)行了一系列的研究．量子B－代數(shù)包含了大部分蘊含代數(shù)，例如BCK－代數(shù)，剩余格，偏序群，BL－代數(shù)，MV－代數(shù)，效應(yīng)代數(shù)以及它們的非可換形式，并且量子B－代數(shù)為非可換代數(shù)邏輯提供了統(tǒng)一的語義［1－3］．量子B－代數(shù)與 Quantale有著緊密的聯(lián)系［1－2］．一方面，Quantale是量子 B－代數(shù)，即量子B－代數(shù)可以看作是Quantale的一種推廣．另一方面，給定一個量子B－代數(shù)X，可以構(gòu)造一個上集Quantale U（X）．從范疇的角度來看，量子B－代數(shù)范疇與邏輯Quantale范疇是等價的［2］．Rump［2］介紹了量子B－代數(shù) X 中的可逆元，并利用上集Quantale U（X）給出了可逆元的刻畫．本文的一個重要工作是利用量子B－代數(shù)自身元素的性質(zhì)來刻畫可逆元，并證明了所有可逆元構(gòu)成一個偏序群．

定義1．1［1－2］設(shè)X 是一個偏序集，→和 是X上的二元運算．若→和 滿足下列條件：x，y，z∈X，

則稱（X，→， ）是一個量子B－代數(shù)，簡記為X．

命題1．2［1］設(shè) X 是一個量子B－代數(shù)，則x，y，z∈X，

定義1．3［1］設(shè)X 是一個量子B－代數(shù)，u∈X．若x∈X，有u→x＝u x＝x，則稱u是X 的單位元，X是一個單位量子B－代數(shù)．

注1．4 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，則a≤bu≤a→bu≤a b．

定義1．5 設(shè)（X，≤）是一個偏序集，（X，·）是一個群．若·是序相容的，即a，b，c∈X，a≤ba·c≤b·c，c·a≤c·b，則稱（X，≤，·）是一個偏序群．

注1．6 每一個偏序群都是一個單位量子B－代數(shù)，其中a→b＝b·a－1，a b＝a－1·b．

本文所用到但未提及的概念和符號請參考文獻(xiàn)［6－7］．

2 可逆元

本節(jié)主要利用量子B－代數(shù)自身元素的性質(zhì)來刻畫可逆元．首先，介紹了量子B－代數(shù)的可逆元的定義及等價刻畫．其次，研究了量子B－代數(shù)的可逆元的相關(guān)性質(zhì)．最后，利用量子B－代數(shù)X中的二元運算→和 定義了新的二元運算，證明了所有可逆元構(gòu)成一個偏序群．

定義2．1［2］設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X．若x∈X有：

則稱a是可逆的．用X－1表示X中所有的可逆元．

注2．2 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，則u∈X－1．

引理2．3 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X．若x∈X，

則a是可逆的．

證明 對于x∈X，由命題1．2的結(jié)論5）知x＝u→x≤（a→u）→（a→x）．再由條件可知（a→u）→（a→x）＝x．同理可證（a u） （a x）＝x．因此a是可逆的．

引理2．4 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則：

證明 1）因為a∈X－1，由注1．4知

引理2．5 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則a→u＝a u．

證明 設(shè)x∈X，由注1．4和引理2．4知

引理2．6 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則：

證明 1）因為a∈X－1，則由引理2．5知

推論2．7 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則：

證明 1）由命題1．2的結(jié)論3）和引理2．6知a≤（a→u）→u，需證（a→u）→u≤a．因為u≤a→a，所以（a→u）→u≤（a→u）→（a→a）＝a．

引理2．8 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則

證明 因為a∈X－1，由引理2．5和推論2．7知同理可證u＝a→a．

引理2．9 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則a→u，a u∈X－1．

由推論2．7知

設(shè)t∈X，則由引理2．5知

從而a→（（a→u）→x）≤x．由引理2．5和推論2．7知

類似上述方法可證≤x．因此，a→u∈X－1．同理可證

推論2．10 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則：

命題2．11 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，b∈X－1，則a∈X有：

證明 1）因為b∈X－1，由推論2．7知（b→u）

命題2．12 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a∈X－1，則b∈X有：

證明 1）因為a∈X－1，所以（a→b）→u＝（a→b）→（a→a）≥b→a．

引理2．13 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a，b∈X－1，則x∈X 有：

證明 1）設(shè)t∈X，由引理2．4和引理2．5知

所以（b→a）→（（a→b）→x）＝x．

命題2．14 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，a，b∈X－1，則

證明 設(shè)u∈X是單位元，由a，b∈X－1和命題2．12知a→b≤（b→a）→u．又由引理2．13知x∈X，

2．3知a→b∈X－1．同理可證

命題2．15 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，a，b∈X－1，則

證明 因為a，b∈X－1，由推論2．7知

設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元．定義X上的二元運算·和＊，如下

一般情況下，·和＊不滿足結(jié)合律．

命題2．16 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u∈X是單位元，a，b∈X．若a≤b，則c∈X有：

證明 1）若a≤b，由命題1．2的結(jié)論2）可知：

2）同理可證a＊c≤b＊c，c＊a≤c＊b．

引理2．17 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，則：

2）X－1對·和＊運算封閉，即

2）因為a，b∈X－1，由命題2．14知同理可知．

命題2．18 設(shè)X是一個單位量子B－代數(shù)，u是單位元，則（X－1，⊙，≤）是一個偏序群．

因此，（X－1，⊙）是一個半群．又因為

即u對于⊙是單位元．由推論2．7和引理2．8知

即a→u是a的逆元．因此（X－1，⊙）是一個群．再由命題2．16知（X－1，⊙，≤）是一個偏序群．

3 工作展望

在第1和2節(jié)中，可以看到偏序群和單位量子B－代數(shù)之間的關(guān)系．下一步的工作是從范疇的角度來研究偏序群范疇和單位量子B－代數(shù)范疇之間的關(guān)系．