張永香

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。但在很多小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想?yún)s沒有得到足夠的重視，也沒有得到真正的落實(shí)。究其原因，有以下三個(gè)方面：一是對(duì)數(shù)學(xué)思想的挖掘和滲透還不夠;二是新舊內(nèi)容的斷層;三是學(xué)生認(rèn)知水平的限制。下面，結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例，談?wù)勅绾瓮黄七@一瓶頸。

一、深入挖掘，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想決定了數(shù)學(xué)知識(shí)的高度和定位。南京大學(xué)鄭毓信教授曾指出，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)看起來淺顯，其實(shí)蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。比如，對(duì)一年級(jí)10以內(nèi)、20以內(nèi)的加減法，很多學(xué)生在幼兒園時(shí)就已經(jīng)爛熟于心了。教學(xué)中，如果教師依然停留在學(xué)生能準(zhǔn)確、流利地算出正確答案就算達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的話，那么學(xué)生充其量只是一個(gè)算術(shù)計(jì)算的工具而已，而沒有獲得數(shù)學(xué)思想。實(shí)際上，在這些淺顯的加減法知識(shí)里蘊(yùn)含著重要的函數(shù)思想，它為今后要學(xué)習(xí)的所有運(yùn)算知識(shí)提供了教學(xué)依據(jù)。而對(duì)一年級(jí)的學(xué)生來說，一個(gè)簡單的暗箱魔術(shù)游戲就足以讓他們體驗(yàn)到函數(shù)思想的魅力，如：一個(gè)數(shù)從箱子的一端進(jìn)入，另一個(gè)數(shù)從箱子里面出來。在這樣不斷的變化中，學(xué)生們更樂于模擬實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，找出三者之間的關(guān)系。在課堂教學(xué)中，如果教師從一年級(jí)的加減法計(jì)算開始，對(duì)函數(shù)思想進(jìn)行高度立意，一點(diǎn)點(diǎn)滲透函數(shù)變換、一一對(duì)應(yīng)的思想，那么學(xué)生就不會(huì)只盯著計(jì)算結(jié)果的正誤不放，而是能夠逐漸確立一種關(guān)系思維和結(jié)構(gòu)化思維，打破固有的算術(shù)思維，這是后期學(xué)習(xí)代數(shù)的重要基礎(chǔ)。要真正幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從低階思維向高階思維的平穩(wěn)過渡，就要從一年級(jí)的加減法教學(xué)開始，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想。

二、打通關(guān)聯(lián)，感悟數(shù)學(xué)思想

以數(shù)學(xué)的極限思想為例，很多教師認(rèn)為，在小學(xué)無法滲透極限思想，其實(shí)不然。教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生去感悟這一數(shù)學(xué)思想。

1.揭示整數(shù)的計(jì)數(shù)規(guī)律與性質(zhì)

學(xué)完整數(shù)后，可讓學(xué)生思考一下，有沒有一個(gè)最小的整數(shù)？能不能找到一個(gè)最大的整數(shù)？假設(shè)先讓學(xué)生想象出一個(gè)很大的數(shù)，然后再加上1，就是它后面的一個(gè)數(shù)了。這樣一直找下去，永遠(yuǎn)找不到一個(gè)最大的整數(shù)?？捎脭?shù)軸來表示數(shù)，而數(shù)軸是一條能向兩邊無限延展的直線，永遠(yuǎn)沒有盡頭，給學(xué)生的感受就是這個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)也找不到。

2.揭示整數(shù)與小數(shù)的關(guān)系

學(xué)完小數(shù)后，可讓學(xué)生嘗試打通小數(shù)與整數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。比如，無限循環(huán)小數(shù)0.99999……讓學(xué)生想辦法證明0.99999……=1。然后，展示證明過程：設(shè)0.99999……=x，0.99999……×10=10x， 9.9999……=10x，前兩個(gè)等式兩邊相減，得到9=9x，所以x=1。借助這個(gè)證明過程，讓學(xué)生在線段圖上用“逼近”的方法尋找這個(gè)數(shù)，從中體悟“逼近”的意思，感悟極限思想。

3.揭示從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律

在教學(xué)三角形的內(nèi)角和時(shí)，教師可向?qū)W生提出這樣的問題：你是怎樣想到三角形的內(nèi)角和是180度的呢？為什么不是178度呢？教師可用極限思想引導(dǎo)學(xué)生先想象兩種特殊情況，邊想象邊利用多媒體幾何畫板進(jìn)行演示。第一種情況是將三角形的一邊固定，不斷下壓此邊相對(duì)的頂點(diǎn)，讓其不斷逼近這條邊，使這條邊對(duì)應(yīng)的內(nèi)角，逐漸接近一個(gè)平角，而另外兩個(gè)角也同時(shí)逐漸變小，直小到用量角器都量不出來。第二種情況是將一個(gè)頂點(diǎn)向上拔高，另外兩個(gè)頂點(diǎn)就會(huì)逐漸互相靠近，想象一下這時(shí)三個(gè)角的度數(shù)逼近了多少度？這樣的教學(xué)過程可為學(xué)生打開一扇發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的窗口，讓他們找到從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。

也可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“化直為曲”“化方為圓”的過程，揭示由多邊形到圓的變換關(guān)系，感悟極限思想。首先，讓學(xué)生動(dòng)手剪一剪，把一張正方形紙片，依次剪出正八邊形、正十六邊形……直到無法操作。然后，通過觀察和想象繼續(xù)“剪”下去，看其結(jié)果怎樣。當(dāng)操作受限無法印證想象的時(shí)候，可以利用信息技術(shù)，用電腦進(jìn)行更直觀的演示，讓想象的畫面呈現(xiàn)在眼前。隨后，利用電腦演示割圓術(shù)，展示正多邊形逐步逼近圓的過程，幫助學(xué)生理解曲直、方圓之間的關(guān)系。這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，可為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓的周長和面積奠定基礎(chǔ)。

還可讓學(xué)生經(jīng)歷立體圖形之間的變換過程，打通圖形間的相互聯(lián)系，感悟極限思想。比如，長方形與正方形的關(guān)系。當(dāng)長方形的一邊不動(dòng)，另一邊發(fā)生變化，直到兩邊長度相等時(shí)，就變成了正方形。由此，可以打通立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，印證“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”的構(gòu)形原則，找到圖形各要素之間的位置、數(shù)量關(guān)系，從數(shù)學(xué)思想的高度幫助學(xué)生建立科學(xué)的空間觀念。

三、回歸本源，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想

小學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，會(huì)受到認(rèn)知水平的制約。要突破這一瓶頸，就要讓學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的過程中不斷獲得和加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想。比如，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合等。事實(shí)上，每一種數(shù)學(xué)思想都有其邏輯起點(diǎn)和思維起點(diǎn)，這就要求教學(xué)回到起點(diǎn)，追溯本源，進(jìn)而提高學(xué)生的元認(rèn)知能力。

以“平均數(shù)”的概念教學(xué)為例，有的教師往往把概念教學(xué)變成了計(jì)算教學(xué)，很難讓學(xué)生理解平均數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。其根本原因在于教師對(duì)平均數(shù)的本源就不夠清楚。筆者通過研究文獻(xiàn)、分析教材、訪談教師和學(xué)生，對(duì)教學(xué)進(jìn)行了調(diào)整。一是先弄清楚平均數(shù)概念的研究對(duì)象。作為統(tǒng)計(jì)量的平均數(shù)，需要研究三種狀態(tài)，即正常狀態(tài)、超常狀態(tài)和失常狀態(tài)。這三種狀態(tài)的任何一種，都不能代表其總體水平或整體水平。綜合這三種狀態(tài)的數(shù)據(jù)，利用“移多補(bǔ)少”的方法所產(chǎn)生的虛擬數(shù)據(jù)，可代表其整體水平。二是平均數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它是在統(tǒng)計(jì)過程中產(chǎn)生的，所以沒有統(tǒng)計(jì)過程的教學(xué)，就不會(huì)有統(tǒng)計(jì)觀念的形成，也不會(huì)產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)思想。由此，在教學(xué)中，筆者補(bǔ)充了概念原型的素材，意在引導(dǎo)學(xué)生基于概念原型的分析，充分理解概念產(chǎn)生的必要性和合理性，再經(jīng)歷“移多補(bǔ)少”的操作過程，體驗(yàn)平均數(shù)的形成過程，理解平均數(shù)的數(shù)學(xué)圖形樣態(tài)，最后將“平均分”和“平均數(shù)”進(jìn)行對(duì)比，感受平均數(shù)的變化過程。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，使平均數(shù)概念的建構(gòu)過程變得有理有據(jù)、清晰透明。在這個(gè)過程中，學(xué)生找到了概念生發(fā)的原型，并由此開始應(yīng)用建模思想，最終通過推理、抽象的概念形成過程，獲得了清晰的學(xué)習(xí)思路和可遷移的學(xué)習(xí)方法。

綜上所述，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想需要教師對(duì)教材進(jìn)行挖掘，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平選擇適合的教學(xué)方式，開展體驗(yàn)性、感悟性的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想的陶冶，感受數(shù)學(xué)思想的魅力。

（責(zé)任編輯? ?郭向和）