芮金芳

摘? ? 要?實驗誤差是數(shù)學實驗過程中不可避免的存在，但有些教師在數(shù)學實驗過程中卻刻意規(guī)避、忽視實驗誤差。因此，應正視由實驗工具、實驗方法，以及實驗者等因素產生的實驗誤差，從優(yōu)化實驗素材、科學分析實驗、豐富實驗方法、培育實驗精神等方面著手，保證數(shù)學實驗教學的效果。

關鍵詞? 實驗誤差 實驗素材 實驗數(shù)據 實驗方法 實驗精神

小學數(shù)學實驗是借助一定的工具，對實驗素材進行數(shù)學化操作來建構概念、探索規(guī)律、驗證結論、解決問題的一種數(shù)學學習方式。在實驗活動中，由于實驗者、實驗素材（儀器或工具）、實驗方法、實驗條件（或環(huán)境）等因素的影響，得到的實驗值總會與客觀存在的精確值之間存在一些差異，兩者之間的差異就是實驗誤差。實驗過程中產生的實驗誤差不可避免。如何科學利用實驗誤差，促進學生對實驗活動的深度體驗，深刻理解數(shù)學本質，對培養(yǎng)學生理性的數(shù)學實驗精神、大膽創(chuàng)新的實踐能力具有重要意義。

一、數(shù)學實驗誤差的現(xiàn)狀解讀

1.規(guī)避誤差

調查表明，約有60%的教師在教學中不希望出現(xiàn)誤差，會想辦法規(guī)避實驗誤差給教學帶來的干擾。在 數(shù)學實驗的一系列環(huán)節(jié)中，教師精心準備、細致指導、幫助提示，學生只需沿著固定的實驗步驟，按部就班操作即可，從而確保實驗數(shù)據與真值的高度吻合。這看似順暢的實驗過程，實則是偽實驗的過程。學生退化為簡單的實驗操作工，缺少對實驗問題的思考，缺乏思維探究的挑戰(zhàn)，缺失大膽質疑辨析的勇氣，學生對數(shù)學理解浮于表層，無法觸及深度思維的內核。

2.忽略誤差

調查發(fā)現(xiàn)，有30%的教師對實驗中的誤差常置之不理，一旦發(fā)現(xiàn)實驗結果與標準答案有差距，或實驗數(shù)據與真值有差異，會直接否定誤差存在的價值，直奔實驗最終結果的展示。這樣處理會影響學生對誤差的正確解讀，同時也折射出教師對誤差的一種片面認識。其實誤差恰好是對實驗過程是否準確、實驗方法是否恰當、實驗結果是否合理進行系統(tǒng)反思的寶貴課程資源，可以在層層剖析、思考、辨析、調整中逐步提升學生實驗能力，培育學生嚴謹求真的實驗精神。

3.默認誤差

調查顯示，僅有10%的教師承認數(shù)學實驗中誤差的產生，但由于受到自身專業(yè)水平的限制，無法正確解讀誤差產生的原因，更不會將其作為一種創(chuàng)造性的學習資源進行開發(fā)、挖掘和利用。事實上，教師應積極地面對實驗誤差，讓學生在失敗中獲得對實驗核心要素的深刻理解，對誤差不斷反思，獲得深度思考的能力。這樣學生獲得的不再是一個簡單的實驗結論，而是對實驗方法更深入的理解，對實驗過程更理性的體驗和認識。

二、數(shù)學實驗誤差產生的原因分析

1.實驗工具結構不完善

實驗工具是數(shù)學實驗研究對象的重要載體，它的結構化程度有時會直接影響實驗探索結果的成敗。在教學“三角形三邊關系”一課時，為探索圍成三角形三邊關系的條件，學生利用長短不同的長方形紙條作為實驗活動素材，在動手實驗、觀察比較、分析推理中初步獲得結論。但當出現(xiàn)“兩條短邊之和等于第三邊”時，由于提供的長方形紙條寬度、厚度的問題，很難通過直觀操作得出結論，甚至會產生和結論相反的尷尬數(shù)據，進而影響實驗結果的進一步分析。

2.實驗方法單一不精準

實驗方法是在實驗過程中對材料的操作方式和思維表達形式。在小學數(shù)學實驗教學中，實驗方法的選擇是助推學生思維發(fā)展的核心手段，也是決定實驗成敗與否的重要依據。在“三角形內角和”一課，學生會用量一量、算一算的實驗方法測量每個內角的度數(shù)，再求其內角和。由于測量中量角器型號的不一致、測量方法熟練程度不夠等因素，導致測量誤差的出現(xiàn)。調整實驗方法，用折一折、撕一撕、拼一拼的方法進行驗證時，學生對折、拼的位置不能準確把握，出現(xiàn)三個內角不能完全拼成一個平角的現(xiàn)象，導致實驗驗證的結果仍然難以令人信服。

3.實驗者自身能力缺失

小學生受到自身年齡特點的影響和限制，在動手測量、操作、記錄、計算時，會出現(xiàn)如讀數(shù)錯誤、記錄失誤、操作失敗等問題。在“怎樣滾得遠”一課中，因為需要實驗者現(xiàn)場調整斜坡的不同角度，往往會出現(xiàn)角度調整偏差和距離測量上的誤差，影響最終的實驗效果。

當然，即使實驗時準備了最完善的工具材料、選擇了最恰當?shù)膶嶒灧椒?、進行了細致深入的測量計算，有些誤差仍不可避免。如在“怎樣滾得遠”實驗活動中，實驗角度、測量長度、實驗者都作了精心準備，但物體在滾的運動過程中與斜面產生的摩擦力等因素也會影響實驗測量結果的真實性。

三、改進數(shù)學實驗誤差的實踐策略

1.重組實驗素材的內在結構，優(yōu)化實驗素材

教師在提供實驗素材時不能僅停留在原始材料的直接呈現(xiàn)上，應提前預設可能出現(xiàn)的各種問題，盡可能減少實驗中無關因素的干擾。可適當對原始實驗材料進行加工，以“半結構化”的材料充實實驗過程，引領實驗的進程，促進學生獨特的思維創(chuàng)造。

在探索“三角形三邊關系”時，為每人提供15厘米長的小棒自主創(chuàng)造結構化的素材，將小棒分成整厘米數(shù)的三段圍三角形。實驗操作后思考：為什么有的小棒能圍成三角形，有的不能圍成？由此，引導學生分類統(tǒng)計相關實驗數(shù)據，探明能圍成三角形的三根小棒的長度關系。同時借助想象推理、現(xiàn)代化技術手段的支持，直觀演示3厘米、5厘米、8厘米三根小棒圍起來的形狀。學生在不同素材的實驗、比較、辨析中，不斷逼近三角形三邊關系的本質，對三角形三邊關系逐漸有了理性的認識。利用精致、典型的素材不斷激發(fā)學生實驗探究的深入，學習的逐層推進又催生了新的思考，真正讓實驗充滿智慧和靈動。

2.擴大實驗數(shù)據的取值范圍，科學分析實驗

在數(shù)學實驗中親歷收集數(shù)據的過程，是保證數(shù)據真實可靠的一種重要策略。對數(shù)據進行客觀、理性的分析，得出相關結論是實驗過程中的關鍵一環(huán)。當多次出現(xiàn)實驗數(shù)據誤差較大的情況時，怎樣才能將實驗誤差調整到合理范圍？我們可以通過增加實驗的次數(shù)、選取更多的實驗數(shù)據、求平均數(shù)等方法，用合適的統(tǒng)計量代表相關的實驗數(shù)據，使其更接近期望值。

在“怎樣滾得遠”一課中，師生圍繞核心問題大膽提出實驗猜想：斜坡與地面成多少度時，物體滾得遠一些？在共同討論、確定實驗方案后，分小組進行實驗驗證活動。

在實驗結束后，引導學生對觀測、記錄的不同實驗數(shù)據進行分析，以回應前面提出的實驗猜想或假設。師生可以選擇各小組實驗記錄單進行數(shù)據的對比分析：

（1）當角度相同時，同一小組每次測得的數(shù)據相同嗎？每次測得的數(shù)據都不相同，用哪個數(shù)據代表實驗結果更合理一些呢？

（2）當角度相同時，不同小組測量得到的數(shù)據一定會相同嗎？想一想要得到更可靠的結論該怎么辦？

（3）當角度不同時，不同小組測量得到的數(shù)據差距很大，可能的原因是什么？

通過對現(xiàn)場數(shù)據的觀察、比較和分析，學生對“斜坡與地面成多少度角時，滾得遠一些”這個問題，有了真實可感的數(shù)據支撐驗證，建立“科學的數(shù)學實驗要增加平行測定的次數(shù)，然后取數(shù)據平均值”的分析意識，這樣才能保證實驗受偶然因素影響所造成的誤差值最小，真正做到有理有據。學生從原先粗糙的模糊估計逐漸發(fā)展為數(shù)學化的理性、客觀分析，不僅將誤差調整減少至最小，而且讓實驗結果更加嚴謹、科學。學生在開展數(shù)學實驗中，實現(xiàn)了“做”的經驗與思考經驗的完美融合，通過數(shù)據的采集、處理、分析及相應的推理，解決了核心問題，數(shù)學智慧也在其中悄然生長。

3.推敲實驗過程的合理價值，豐富實驗方法

在數(shù)學實驗過程中，不少教師往往過多關注實驗的最終結果，直奔實驗結論，忽略實驗過程中的反饋表達，弱化實驗思維過程的價值。尤其是出現(xiàn)與期望值有誤差的實驗結果，更不愿關注過程。事實上，恰恰是這樣一些特殊的、個性化的誤差數(shù)據的存在，能促使我們更加深入地反思實驗過程的合理性、實驗方法的適切性、實驗數(shù)據的精準性……及時尋找、分析實驗中誤差產生的原因，是培養(yǎng)學生實驗分析能力、完善實驗方法、嚴謹實驗態(tài)度的重要途徑。在教學“三角形內角和”一課時，教材中呈現(xiàn)了兩種實驗方法：一是量、算;二是撕、折、拼。

第一種方法時常出現(xiàn)實驗結果與猜測數(shù)據不一致的情況，學生根據測量經驗發(fā)現(xiàn)這主要是使用量角器時測量誤差造成的，這樣的誤差是允許存在的。這種實驗方法只能說明三角形的內角和接近180°，這就促使學生進一步思考：還有其他方法驗證三角形內角和是180°嗎？第二種方法巧妙利用轉化驗證三角形內角和是180°，但是學生操作時對撕、折、拼的關鍵位置很難把握，會出現(xiàn)三個內角無法拼接的尷尬場面，出現(xiàn)實驗中典型的操作誤差。

很多課堂在學生完成以上兩次驗證活動后就直奔數(shù)學結論，草草收尾。顯然學生經歷的是一個被實驗的偽過程，數(shù)學結論的得出不單是靠操作驗證獲得，它更需要通過嚴密的邏輯證明。所以，教師要敏銳地補充更多的實驗方法，完善教材單一的實驗樣式，讓學生在多樣的實驗方式中獲取豐富的體驗，消除對實驗結論的疑慮。

增設實驗環(huán)節(jié)一：提供“幾何畫板”軟件中的三角形模型，學生任意拖動三角形的頂點，變換呈現(xiàn)不同類別的三角形，發(fā)現(xiàn)其中“變與不變”的規(guī)律。不管三角形形狀、角度怎樣變化，三個內角的度數(shù)和始終是180°。在虛擬實驗的數(shù)據分析體驗中，積淀學生的感性認識，對三角形內角和建構豐滿的立體認知。

增設實驗環(huán)節(jié)二：介紹法國數(shù)學家帕斯卡證明三角形內角和的故事。適時將一些孕伏數(shù)學文化的數(shù)學家故事及相應的創(chuàng)新方法納入其中，讓學生體會其深厚的數(shù)學文化底蘊，同時引導學生轉換實驗視角，在演繹推理實驗過程中體會數(shù)學思維的嚴謹性和實驗的科學性，拓展問題解決的方法路徑。

4.反思實驗失敗的細節(jié)因素，培育實驗精神

在實驗過程中如果一味關注實驗結果，追求實驗結論的準確性，會讓學生對實驗失敗產生畏懼心理。然而失敗的實驗可能會成為一種寶貴的學習資源，在集體查錯、糾錯、思錯過程中獲得更多新的啟迪和思考，幫助學生從失敗的實驗數(shù)據、現(xiàn)象分析中獲得更科學、合理、全面的對數(shù)學本質的感悟。

在學習“可能性”一課時，教師試圖通過摸球實驗驗證白球個數(shù)多，摸到的可能性大;黃球個數(shù)少，摸到的可能性小。但在實際教學中會出現(xiàn)與猜想完全相反的實驗結果。從傳統(tǒng)評價視角來看，這樣的實驗過程是失敗的。但教師并沒有僅停留在實驗結果上，而是深度分析背后的原因：

（1）為什么會出現(xiàn)這樣的實驗結果？學生在反思中明晰，摸球之前沒有充分把球搖均勻，摸球的次數(shù)不是足夠的多……

（2）這樣的實驗數(shù)據能證明剛才的猜想嗎？如果不能，該怎么辦？可以增加實驗的次數(shù)，再觀察分析實驗數(shù)據。教師補充5位科學家做拋硬幣實驗的相關數(shù)據資料，借助真實的史料故事介紹，讓學生知曉一個實驗結論的得出需要經歷一個長期探索的過程，并不是靠幾次簡單的實驗、幾個數(shù)據分析就能得到的，有效滲透求真務實的科學探索精神。

（3）這樣失敗的實驗過程對你有什么啟示？學生感悟到實驗的細節(jié)決定實驗的成敗，面對失敗的情況，要多方尋找原因。對學生來說是一次很好的反思機會，對教師而言更是一次寶貴的機遇。

應對實驗中產生誤差的能力不是一蹴而就的，需要教師在日常教學中形成一種強烈的誤差應用意識，為學生提供結構化的實驗素材，在豐富多樣的實驗活動中形成科學、合理的實驗數(shù)據分析解讀能力，在實驗成敗的反思中積淀活動經驗，發(fā)展數(shù)學思維能力，真正讓數(shù)學核心素養(yǎng)在實驗教學中自然生長。

參考文獻

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[責任編輯：陳國慶]