張菊平 郭昊明 荊文君 靳禎?

1)(山西大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究所,太原 030006)

2)(山西大學(xué),疾病防控的數(shù)學(xué)技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

1 引 言

謠言,指的是沒(méi)有相應(yīng)事實(shí)基礎(chǔ),卻被捏造出來(lái)并通過(guò)一定手段推動(dòng)傳播的言論.近年來(lái),隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)+時(shí)代的到來(lái),使信息化傳播門(mén)檻進(jìn)一步降低,加之移動(dòng)通信工具的普遍,謠言傳播變得速度更快,作用力更強(qiáng).網(wǎng)絡(luò)謠言滋生蔓延,不僅敗壞個(gè)人名譽(yù),給受害人造成極大的精神困擾,更損害國(guó)家形象,影響社會(huì)穩(wěn)定.因此,對(duì)于謠言傳播規(guī)律的研究十分必要.謠言傳播模型的研究始于20世紀(jì)60年代,Daley和Kendall[1]提出的DK模型,按照謠言傳播把受眾分為三類(lèi),未曾聽(tīng)過(guò)謠言的人、傳播謠言的人和聽(tīng)過(guò)謠言但不傳播謠言的人,利用隨機(jī)過(guò)程的方法進(jìn)行分析.Sudbury[2]認(rèn)為可以借鑒傳染病SIR(susceptible-infectiveremoved)模型研究謠言的傳播.Zanette[3,4]和Nekovee等[5]分別在小世界網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上研究謠言的傳播.Moreno等[6]基于SIR模型在非均勻網(wǎng)絡(luò)上建立網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型.Zhao等[7,8]研究提出了遺忘機(jī)制、記憶機(jī)制對(duì)謠言傳播的影響.Deng和Li[9]在研究謠言傳播模型時(shí)考慮了遺忘率和記憶率.Zan等[10]基于SIR模型提出了具有反擊機(jī)制的謠言傳播模型.Wang等[11]基于SIR模型提出了帶有信任機(jī)制的謠言傳播模型.Yang等[12]和He等[13]研究了真理傳播和辟謠策略對(duì)于謠言傳播的影響.Huo等[14]考慮了傳播節(jié)點(diǎn)的活躍度,將謠言傳播者分為高活躍狀態(tài)下的傳播者和低活躍狀態(tài)下的傳播者,最后得出謠言傳播者的活躍程度對(duì)于謠言傳播有著非常大的影響.Zhang和Zhu[15]建立了 I2S2R(ignorants-spreaders-stifler)的謠言傳播動(dòng)態(tài)模型.Xiao等[16]提出了一種基于進(jìn)化博弈和反謠言信息的謠言傳播動(dòng)力學(xué)模型,證明謠言不僅受到反謠言信息的影響,而且還受到用戶行為和心理因素的影響.顧亦然和夏玲玲[17]基于在線社交網(wǎng)絡(luò)建立SEIR(susceptible-exposedinfective-removed)謠言傳播模型,并提出重要熟人免疫策略.王輝等[18]研究了社會(huì)加強(qiáng)效應(yīng)對(duì)謠言傳播的影響.張亞明等[19]研究了雙重社會(huì)強(qiáng)化對(duì)謠言傳播的影響.萬(wàn)貽平等[20]在謠言傳播模型的基礎(chǔ)上增加謠言清除者,研究了謠言清除過(guò)程的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播與抑制.冉茂潔等[21]同時(shí)考慮個(gè)體興趣度差異和辟謠機(jī)制問(wèn)題,提出建立了IWSR(ignorant-weak spreader-strong spreader-removal)謠言傳播模型.趙敏等[22]考慮媒體正面宣傳報(bào)道和負(fù)面報(bào)道對(duì)謠言傳播的影響,基于社交網(wǎng)絡(luò)建立了新的謠言傳播模型.

在謠言傳播過(guò)程中,一些人已知事實(shí)真相或經(jīng)過(guò)判斷知道真相,并傳播有關(guān)謠言的真實(shí)信息,但是已有的研究未考慮真實(shí)信息傳播對(duì)于謠言傳播的動(dòng)力學(xué)影響.因此加入真實(shí)信息的傳播者會(huì)使得謠言傳播更加符合實(shí)際,而且現(xiàn)有的謠言模型對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的較少.本文考慮真實(shí)信息傳播的影響,建立謠言傳播模型并對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,第2節(jié)根據(jù)謠言傳播的機(jī)理建立了含有真實(shí)信息傳播者的謠言傳播SITR模型;第3節(jié)給出了謠言傳播的閾值條件;第4節(jié)討論了謠言傳播者存在真實(shí)信息傳播者不存在平衡點(diǎn)的條件,及謠言傳播者不存在真實(shí)信息傳播者存在平衡點(diǎn)的條件,并分析了它們的動(dòng)力學(xué)性態(tài);第5節(jié)分析了謠言傳播者與真實(shí)信息傳播者共同存在的平衡點(diǎn)存在性及其動(dòng)力學(xué)性態(tài);第6節(jié)數(shù)值模擬驗(yàn)證理論結(jié)果;第7節(jié)為總結(jié).

2 模型的建立

在謠言傳播過(guò)程中加入真實(shí)信息的傳播者,將人群分為四類(lèi):未知者 S(susceptible),謠言的傳播者 I(infective),真實(shí)信息的傳播者 T(true),免疫者R(removed).未知者與謠言傳播者接觸率為β,接觸后未知者以概率α1成為謠言傳播者,以概率 1?α1成為免疫者;未知者和謠言傳播者與真實(shí)信息傳播者接觸,未知者和謠言傳播者以概率δ成為真實(shí)信息傳播者;謠言傳播者與謠言傳播者接觸后,謠言傳播者對(duì)謠言失去興趣變?yōu)槊庖哒叩母怕蕿?;謠言傳播者的遺忘率為θ.

用S(t),I(t),T(t)和R(t)分別表示在t時(shí)刻的未知者、謠言的傳播者、真實(shí)信息的傳播者和免疫者的數(shù)量,N(t)表示在t時(shí)刻四類(lèi)人群的總數(shù),則有N(t)=I(t)+S(t)+T(t)+R(t).假設(shè)個(gè)體以恒定速率A進(jìn)入人群且全部為未知者,四類(lèi)人群以速率μ移出群體,他們之間的關(guān)系如圖1所示.

圖1 真實(shí)信息影響下謠言傳播流程圖Fig.1.Flow chart of rumor propagation under the influence of true information.

根據(jù)圖1,建立SITR謠言傳播模型如下:

因?yàn)橄到y(tǒng)(1)的前三個(gè)方程不含R,因此只考慮系統(tǒng)(1)的前三個(gè)方程,得

容易驗(yàn)證系統(tǒng)(2)的正向不變集是

3 無(wú)謠言傳播者無(wú)真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)與閾值

系統(tǒng)(2)有一個(gè)無(wú)謠言傳播者無(wú)真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)E0(A/μ,0,0),下面用下一代矩陣法[23]求系統(tǒng)(2)的閾值.

記X=(I,T)?,?表示向量(I,T)的轉(zhuǎn)置,則

在無(wú)謠言傳播者無(wú)真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)E0處有

定理 1當(dāng)K0<1 時(shí),系統(tǒng)(2)的無(wú)謠言傳播者無(wú)真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

4 邊界平衡點(diǎn)的存在性及局部漸近穩(wěn)定性

4.1 無(wú)謠言傳播者但真實(shí)信息傳播者存在的平衡點(diǎn)

在謠言傳播的過(guò)程中,由于真實(shí)信息傳播者的存在,人群中最終沒(méi)有了謠言傳播者,即無(wú)謠言傳播者但有真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)存在性的問(wèn)題.通過(guò)對(duì)系統(tǒng)(2)求平衡點(diǎn)得,如果K1>1,那么系統(tǒng)(2)存在無(wú)謠言傳播者但有真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(diǎn)E1.

證明系統(tǒng)(2)在E1處的雅可比矩陣為

當(dāng)K1>1 時(shí),方程(3)的兩個(gè)根都具有負(fù)實(shí)部.又當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)且時(shí),是局部漸近穩(wěn)定的.

4.2 謠言傳播者存在但無(wú)真實(shí)信息傳播者的平衡點(diǎn)

在謠言傳播的過(guò)程中,可能會(huì)出現(xiàn)謠言傳播者存在但沒(méi)有真實(shí)信息傳播者,即I=0,T=0.令系統(tǒng)(2)右端為零,當(dāng)I=0,T=0 時(shí),得到方程

其中a=?β>0,b=?μ+β(θ+μ)>0,c=μ(θ+μ)×(1?K2).

當(dāng)K2<1 時(shí),方程(4)無(wú)正實(shí)根.當(dāng)K2>1 時(shí),方程(4)存在唯一正根其中,?=[?μ+β(θ+μ)]2?4?βμ(θ+μ)(1?K2).故當(dāng)K2>1 時(shí),系統(tǒng)(2)存在有謠言傳播者但無(wú)真實(shí)信息傳播者的平衡點(diǎn)我們稱為邊界平衡點(diǎn)E.2

定理 3當(dāng)K2>1,且時(shí),系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(2)在E2處的雅可比矩陣為

由2位具有多年影像診斷經(jīng)驗(yàn)的核醫(yī)學(xué)醫(yī)師對(duì)所有患者的影像學(xué)資料進(jìn)行背對(duì)背閱片，對(duì)受試者病灶感興趣區(qū)（region of interest，ROI）進(jìn)行勾畫(huà)，并計(jì)算其最大標(biāo)準(zhǔn)攝取值（maximum standard uptake value，SUVmax）。18F-FDG PET/CT陽(yáng)性的診斷標(biāo)準(zhǔn)為18F-FDG攝取的SUVmax高于周?chē)镜姿剑ㄒ话鉙UVmax≥2.5）或病灶同機(jī)平掃CT具有典型惡性形態(tài)學(xué)征象。

相應(yīng)的特征方程為

其中,

q0=特征方程有一個(gè)特征根為

另外兩個(gè)特征根滿足方程

時(shí),即

系統(tǒng)(2)的邊界平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定的.令直線的斜率為

綜上所述,當(dāng)K1>1,且時(shí),系統(tǒng)(2)存在邊界平衡點(diǎn)E1,且E1是局部漸近穩(wěn)定的(見(jiàn)圖2).當(dāng)K2>1,且K1

圖2 K 1 與 K 2的關(guān)系圖,參數(shù)取值為 α1=0.6,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01Fig.2.Diagram of K 1 and K 2.The parameter values are α1=0.6,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01.

5 正平衡點(diǎn)的存在性及局部穩(wěn)定性

下面求在謠言傳播中,謠言傳播者和真實(shí)信息傳播者共存的平衡點(diǎn),為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)稱其為正平衡點(diǎn).

令系統(tǒng)(2)右端為零,當(dāng)I=0,T=0 時(shí),解得

其中,I?滿足方程

a0=方程(6)的判別式為

若正平衡點(diǎn)E?(S?,I?,T?)存在,則要求S?>0,I?>0,T?>0.可得到0K1.又因?yàn)楣?/p>

下面分情況討論方程(6)正根的存在性.

情形 1當(dāng)時(shí),有c0<0,所以

情形 2當(dāng)時(shí),有c0=0,?1=b02>0.

(i)當(dāng)a0>0,b0<0,即時(shí),方程(6)有唯一正實(shí)根因此,系統(tǒng)(2)存在唯一正平衡點(diǎn)

(ii)當(dāng)a0<0,即?>(1? α1)β時(shí),有b0>0,此時(shí)方程(6)有唯一正實(shí)根

情形 3當(dāng)時(shí),有c0>0.

(ii)當(dāng)a0<0,即?>(1? α1)β時(shí),有b0>0,?1>0.此時(shí)方程(6)有唯一正實(shí)根I8?=(舍去).因此,系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)存在性僅在K2>K1范圍內(nèi)考慮.

綜上所述,系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)的存在性分下面兩種情形:

圖3 K 1 與 K 2 關(guān)系圖(α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01)(a)?=0.01,? <(1? α1)β ;(b)?=0.3,?>(1?α1)βFig.3.Diagram of K 1 and K 2(α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01 ):(a)?=0.01,? <(1? α1)β ;(b)?=0.3,?>(1?α1)β.

2)?>(1? α1)β:具體見(jiàn)圖3(b).

因此,我們進(jìn)一步表示系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)之間的關(guān)系見(jiàn)表1.

定理4當(dāng)且?<(1?α1)β時(shí),如果

那么系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E1?是局部漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E?(S?,I?,T?)處的雅可比矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

表1 系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)之間的關(guān)系Table 1. Relationship table between the equilibria of system(2).

和

把I1?代入得從而知W3與W2同號(hào).進(jìn)一步把I1?代入W2,由 Hurwitz 判據(jù)[24]可知,當(dāng)W2>0,即

時(shí),E1?是局部漸近穩(wěn)定的.

注:1)可類(lèi)似證明其他正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

2)當(dāng)?=0 時(shí),閾值K0,無(wú)謠言傳播者無(wú)真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)E0,及無(wú)謠言傳播者但真實(shí)信息傳播者存在的平衡點(diǎn)E1沒(méi)有變化;謠言傳播者存在但無(wú)真實(shí)信息傳播者的平衡點(diǎn)E2的大小發(fā)生變化,影響著雙穩(wěn)區(qū)域;謠言傳播者真實(shí)信息傳播者共存的平衡點(diǎn)(即正平衡點(diǎn))存在的條件及個(gè)數(shù)發(fā)生變化,影響著其動(dòng)力學(xué)性態(tài).

6 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證理論結(jié)果,下面對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬.

參數(shù)取值為α1=0.3,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.15時(shí),K1=0.75<1,K2=0.857<1,則E0漸近穩(wěn)定(見(jiàn)圖4).

參數(shù)取值為α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01.當(dāng)取δ=0.36時(shí),K1=則E1漸近穩(wěn)定(見(jiàn)圖5).當(dāng)取δ=0.22時(shí),K2=3>1,K1=1.1

從圖5可以看出,隨著謠言的傳播,謠言傳播者的數(shù)量會(huì)達(dá)到一個(gè)峰值,之后不斷下降,真實(shí)信息傳播者數(shù)量隨著時(shí)間逐漸增大,最后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).即系統(tǒng)(2)達(dá)到?jīng)]有謠言傳播者,只有真實(shí)信息傳播者和易感者的穩(wěn)定狀態(tài).從圖6可以看出,隨著謠言的傳播,謠言傳播者的數(shù)量逐漸增加,真實(shí)信息傳播者數(shù)量會(huì)逐漸減少變?yōu)榱?最后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).即系統(tǒng)(2)達(dá)到?jīng)]有真實(shí)信息傳播者,只有謠言傳播者和易感者的穩(wěn)定狀態(tài).

參數(shù)取值為α=0.4,β=0.7,A=0.2,μ=0.2,?=0.01,θ=0.01,δ=0.234,且滿足值不相同時(shí),系統(tǒng)(2)的解會(huì)趨于不同的邊界平衡點(diǎn)(見(jiàn)圖7).

參數(shù)取值為α1=0.7,β=0.9,δ=0.3,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,則2.21429.當(dāng)取?=0.01時(shí),?=0.01<(1?α1)β=是漸近穩(wěn)定的(見(jiàn)圖8).當(dāng)取?=0.3時(shí),?=0.3>(1?α1)β=0.27,E2?是漸近穩(wěn)定的(見(jiàn)圖9).

取α1=0.5,β=0.6,δ=0.24,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,則當(dāng)取是漸近穩(wěn)定的(見(jiàn)圖10).

圖4 α1=0.3,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.15時(shí),(a)S,I,T的時(shí)間序列圖和(b)I-T相平面圖Fig.4.When α1=0.3,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.15,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖5 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.36時(shí),(a)S,I, T 的時(shí)間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.5.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.36,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖6 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.22時(shí),(a)S,I, T 的時(shí)間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.6.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.22,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖7 當(dāng) T(0)不相同時(shí),系統(tǒng)(2)的解趨于不同的邊界平衡點(diǎn)(a)I 的時(shí)間序列圖;(b)時(shí)間增加后 I 的時(shí)間序列圖Fig.7.When T(0)is different,the solution of system(2)tends to the different boundary equilibrium:(a)Time series graph of I;(b)time series graph of I after time increment.

從圖8—圖10可看出,隨著謠言的傳播,易感者數(shù)量先減小后增大,謠言傳播者的數(shù)量會(huì)先增大后減小,真實(shí)信息傳播者數(shù)量逐漸增大,最后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).即系統(tǒng)(2)達(dá)到同時(shí)存在易感者、言傳播者和真實(shí)信息傳播者的穩(wěn)定狀態(tài).

從圖11(a)可以看出,真實(shí)信息傳播者的初始值影響著謠言傳播者的峰值以及謠言傳播的時(shí)間,真實(shí)信息傳播者的初始值越大謠言傳播者的峰值越小,峰值到達(dá)的時(shí)間越早,謠言滅絕得越快.從圖11(b)可以看出,謠言傳播者的初始值影響著謠言傳播者的峰值以及謠言傳播者峰值到達(dá)的時(shí)間,謠言傳播者的初始值越大謠言傳播者的峰值越大,峰值到達(dá)的時(shí)間越早,但不影響謠言持續(xù)的時(shí)間.

圖8 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.3時(shí),(a)S,I,T 的時(shí)間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.8.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.3,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖9 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.3,δ=0.3時(shí),(a)S,I,T 的時(shí)間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.9.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.3,δ=0.3,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖10 α1=0.5,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.24時(shí),(a)S,I,T 的時(shí)間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.10.When α1=0.5,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.24,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

從圖11(a)得到謠言傳播者峰值Imax的散點(diǎn)圖(見(jiàn)圖12(a)),通過(guò)MATLAB擬合得到函數(shù)表達(dá)式:其中,x1=0.2881,x2=?20.11,y1=0.1296,y2=?6.828(結(jié) 果 見(jiàn)圖12(b)),故T(0)與Imax之間的函數(shù)關(guān)系為Imax=0.2881e?20.11T(0)+0.1296e?6.828T(0),可以看出謠言傳播者峰值Imax隨著T(0)的增加按上述函數(shù)關(guān)系衰減.

圖11 (a)不同真實(shí)信息傳播者的初始值對(duì)謠言傳播的影響;(b)不同謠言傳播者的初始值對(duì)謠言傳播的影響;參數(shù)取值α1=0.7,β=0.9,δ=0.36,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01Fig.11.(a)Influence of different initial values of true information spreaders;(b)influence of different initial values of rumor spreaders on the rumor propagation.The parameter values are α 1=0.7,β=0.9,δ=0.36,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01.

圖12 (a)T(0)與謠言傳播者峰值 I max 的散點(diǎn)圖;(b)根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合得到的曲線圖Fig.12.(a)Scatter plot of T(0)and the peak value I max of rumor spreaders;(b)the curve graph of fitting data points.

7 結(jié) 論

本文在謠言傳播模型中加入真實(shí)信息的傳播者T,構(gòu)建了SITR謠言傳播模型,利用下一代矩陣得到了謠言傳播的閾值K0,當(dāng)K0<1 時(shí),無(wú)謠言傳播者無(wú)真實(shí)信息傳播者平衡點(diǎn)存在,且是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)K1>1 時(shí),邊界平衡點(diǎn)E1存在,若成立,則邊界平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)K2>1 時(shí),邊界平衡點(diǎn)E2存在,若K1m,且兩個(gè)邊界平衡點(diǎn)同時(shí)穩(wěn)定,即系統(tǒng)出現(xiàn)雙穩(wěn).進(jìn)一步得到了不同情形下正平衡點(diǎn)的存在性及其條件(見(jiàn)表1),分析了正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果,且發(fā)現(xiàn)當(dāng)真實(shí)信息傳播者的初始值不同時(shí),謠言傳播者的峰值是不相同的,真實(shí)信息傳播者的初始值越大謠言傳播者的峰值越小,謠言滅絕時(shí)間越短等.因此,在謠言傳播過(guò)程中,通過(guò)對(duì)謠言傳播模型的數(shù)學(xué)分析,可以為有效降低謠言負(fù)面效應(yīng)提供理論依據(jù).在謠言出現(xiàn)時(shí),當(dāng)傳播真實(shí)信息的人越多,謠言的危害性會(huì)越低.我們國(guó)家和政府要通過(guò)各種途徑傳播謠言的危害性,加大宣傳力度,加強(qiáng)對(duì)民眾的教育.政府和相關(guān)部門(mén)要隨時(shí)做好應(yīng)急預(yù)案,確保當(dāng)謠言出現(xiàn)時(shí),以“最真信息、最快速度、最佳效果”為目標(biāo)做好工作,減少謠言傳播給社會(huì)帶來(lái)的危害.

系統(tǒng)(2)中考慮了人口的移入和移出,所以人群構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò),即網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)和連邊都是實(shí)時(shí)變化的,在動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中,新進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)的個(gè)體的連邊數(shù)目的分布(新個(gè)體的度分布)以及新節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中已有節(jié)點(diǎn)的連邊機(jī)制(隨機(jī)連接、度優(yōu)先連接、自適應(yīng)連接等)等都影響著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變化,而網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)又影響著網(wǎng)絡(luò)上的傳播過(guò)程,目前,網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)的演化對(duì)網(wǎng)絡(luò)上傳染病的傳播影響已有一些研究[25?27].如果考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),需要考慮不同的新節(jié)點(diǎn)度分布,和新節(jié)點(diǎn)與舊節(jié)點(diǎn)的連邊機(jī)制對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響,然后再考慮不同情況下謠言傳播的動(dòng)力學(xué)行為,這是值得深入研究的內(nèi)容,下一步我們將做這些方面的研究.