葛 莉，張孔生

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

含有中值點的函數(shù)等式的證明大多是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，然后論證輔助函數(shù)在給定的區(qū)間上滿足相關(guān)的中值定理[1-2]，所以輔助函數(shù)的構(gòu)造是證明的關(guān)鍵，文[3-14]對相關(guān)構(gòu)造方法進行歸納和總結(jié)，提供如幾何法、觀察法、不定積分法、微分方程法、行列式法等。文[15]構(gòu)造輔助函數(shù)法雖然多樣，卻不具一般性。本文對含有中值點的一類函數(shù)等式的證明作了研究，得到了輔助函數(shù)的構(gòu)造公式，從而使這一類函數(shù)等式及其變形式的命題證明得以解決，并對輔助函數(shù)的構(gòu)造公式做進一步推廣，給出此類命題中輔助函數(shù)構(gòu)造的更一般的方法。

1 形如 f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0的函數(shù)等式

設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足某些附加條件，求證：存在?ξ∈(a,b)，使得等式f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0成立。

證明的思路：要證f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0 成立，

故可構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=e∫g(x)dxf(x)，然后證明F(x)在區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理的條件，即證得。這一類命題證明的過程如下：

（1）將要證的命題化為f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0 的形式；

（2）取g(x)的一個原函數(shù)G(x)，構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=eG(x)f(x)；

（3）F(x)=eG(x)f(x)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理的條件。

例1 已知設(shè)f(x)在[0,π]上連續(xù)，在 (0,π)內(nèi)可導(dǎo)，求證：存在?ξ∈(0,π)，使得f′(ξ)=f(ξ)cotξ。

分析 將要證等式化為如下形式：

取G(x)=ln sinx，

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=eG(x)f(x)=f(x)sinx。

證明 令F(x)=f(x)sinx，則F(0)=F(π)=0，所以F(x)在[0,π]上滿足羅爾定理條件，故?ξ∈(0,π)，使得F′(ξ)=0 ，即f′(ξ)-cotξf(ξ)=0 ，移項得證。

例 2 已知a＞0，設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0 求證：存在 ?ξ∈(a,b)，使得

分析 將要證等式化為如下形式：

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=eG(x)f(x)=(b-x)af(x)。

證明 令F(x)=(b-x)af(x)，則F(a)=F(b)=0，所以F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理條件，故?ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0 ，即

整理得證。

此形式的函數(shù)等式，還有如下其它變形式。

類型 1 形如f′(ξ)+g(ξ)(f(ξ)-a(ξ))=a′(ξ)的函數(shù)等式

分析 通過移項，則上述等式即可化為(f′(ξ)-a'(ξ))+g(ξ)(f(ξ)-a(ξ))=0 ，構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=e∫g(x。

例3 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，內(nèi)[0,1]可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，求證：?ξ∈(0,1)，使得

分析 移項后，則要證等式可化為如下形式：

f′(ξ)-1+λ(f(ξ)-ξ)=0 ，其中g(shù)(x)=λ，取

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=eG(x)(f(x)-x)=eλx(f(x)-x)。

證明 令F(x)=eλx(f(x)-x)，則F(0)=F(1)=0。

分析 將要證等式化為如下形式：從而F(x)在[0,1]上滿足羅爾定理的條件，故?ξ∈(0,1)，使得F′(ξ)=0 ，即

eλξ(f′(ξ)-1)+λeλξ(f(ξ)-ξ)=0 ，整理得證。

類型 2 形如f″(ξ)+g(ξ)f′(ξ)=0 的函數(shù)等式

分析 若u(x)=f′(x)令，則上述等式即可化為u′(x)+g(x)u(x)=0，仿第一個解法，構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=e∫g(x)dxu(x)=e∫g(x)dxf′(x)，然后論證其在給定的閉區(qū)間上滿足羅爾定理的條件即可。

例4 設(shè)f(x)在[]0,1上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1),求證：存在 ?ξ∈(0,1)，使得

分析 如果令f′(x)=u(x)，則要證等式可化為如下形式：，符合上述類型，其中g(shù)(x)=取G(x)=ln(1-x)2，從而構(gòu)造輔助F(x)=eG(x)u(x)=(x-1)2f′(x)。

證明 令F(x)=(x-1)2f′(x)，由于f(0)=f(1)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理的條件，故?η∈(0,1)，使得f′(η)=0 ，又F(η)=F(1)=0 。所以F(x)在[η,1]上滿足羅爾定理的條件，故?ξ∈(η,1)?(0,1)，使得F′(ξ)=0 ，即

整理得證。

類型 3 形如g(ξ)f(t)dt+f(ξ)=0 的函數(shù)等式

例5 設(shè)f(x)在求證：?ξ∈(0,π)，使得

證明 令F(x)=eG(x)u(x)=，則

所以F(x)在[0 , 1]上滿足羅爾定理的條件，故?ξ∈(0,1)，使得F′(ξ)=0 ，即移項得證。

對于上述構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，都可歸納為利用求解一階線性齊次方程f′(x)+g(x)f(x)=0的通解f(x)e-∫g(x)dx=C，進而構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)e-∫g(x)dx，那么上述函數(shù)等式可做進一步的推廣。

2 形如 f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=h(ξ)的函數(shù)等式

證明的思路：要證f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=h(ξ)成立，可將等式轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程f′(x)+g(x)f(x)=h(x)，求得通解Φ(f(x),x)=C,構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=Φ(f(x),x)，然后證明F(x)在區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理的條件，即證得。這一類命題證明的過程如下：

（1）將要證的命題化為微分方程f′(x)+g(x)f(x)=h(x)；

（2）求解微分方程，得通解Φ(f(x),x)=C，構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=Φ(f(x),x)；

（3）證明F(x)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理的條件。

例 6 設(shè)ab＞0，f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證：?ξ∈(a,b)，使得

3 小結(jié)

本文通過對一類含有單中值點的函數(shù)等式進行研究，利用一階線性微分方程的通解來構(gòu)造輔助函數(shù)，得到了輔助函數(shù)的構(gòu)造公式，并對輔助函數(shù)的構(gòu)造公式做了進一步的推廣，給出此類命題中輔助函數(shù)構(gòu)造的更一般的方法，希望對于微分中值定理研究能起到一定的推進作用。