張亞蕾

摘要：從定義出發(fā)去判斷集合A上的二元關系是否是自反、反自反、對稱、反對稱、傳遞比較困難?；诖?，本文從二元關系的關系矩陣出發(fā)，總結了一種二元關系性質判斷的矩陣判別法，并給出了相應的證明。

關鍵詞：有限集合? ?二元關系? ?等價關系? ?關系矩陣

關系是我們日常生活中經常聽到的一個詞語，在平時的工作、學習和生活中，我們不可避免地要遇到和處理許多關系?？梢哉f，人的一生從出生到死亡，身邊都有許多關系，如生活中的父母關系、兄弟關系、夫妻關系，工作中的同事關系、上下級關系，學習中的師生關系、同學關系等。

不管在社會現象中還是在自然現象中，幾乎沒有孤立存在的獨立體，而是各種事物相互影響、相互依存、相互制約、相互促進，從而構成了有序鏈環(huán)。人類社會的文明就是在不斷地提示這些有序鏈環(huán)的進程中形成和發(fā)展的。抽象地看，這些“有序鏈環(huán)”就是多元關系。在數學中，關系可抽象為表達集合中元素之間的關系。在離散數學中，關系是刻畫元素之間相互聯系的一個重要概念，離散數學中最基本的關系就是二元關系。所謂二元關系，就是兩個事物之間相互關系的數學抽象，它是一個十分基本而有用的數學工具。

二元關系不管在自然科學，還是在社會科學中都有著非常廣泛的應用，它在模糊分析、數字電路設計、數據結構、數據庫分析、數據挖掘等發(fā)面也有著廣泛的應用。在模糊數學中，模糊數的二元關系、數據結構就是一個二元組，計算機科學技術中的計算機程序的輸入、輸出關系和數據庫的數據特性關系等都是二元關系的應用。其中，關系數據庫就是以關系及其運算作為理論基礎。離散數學還在數學的許多分支學科上有著重要應用，如近世代數利用等價關系將代數系統進行分類，進而加以研究。關系也是點集拓撲中的一個重要概念，通過關系分類來研究集合元素之間的某種聯系。熟練掌握關系的定義和性質，是學好近世代數和點集拓撲的基礎。

常見的二元關系有等價關系、偏序關系、擬序關系等，二元關系的性質有自反性、反自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性等，二元關系的閉包常見的有自反閉包、對稱閉包、傳遞閉包。二元關系性質和閉包的理論在整個離散數學中占據著舉足輕重的地位。

所謂等價關系，就是同時具有自反性、對稱性、傳遞性的二元關系。人們常常只關注二元關系的性質，忽略了對二元關系性質判定的研究。判斷一個關系是否為二元關系的方法，常見的有定義法、集合法、關系圖法、關系矩陣法。關系圖法直觀易懂，但是當關系比較復雜時，圖形畫起來就不容易了。關系矩陣法、集合法、定義法比較直觀，但當二元關系里的有序對較多時，用這些方法判定性質就比較困難，因為它們無法或不容易在計算機上實現。因此，筆者在判斷等價關系的理論基礎上給出了一種矩陣判別法，這種方法可以編制程序，有利于在計算機上的實現。

四、結語

筆者總結了利用關系矩陣判斷二元關系性質的矩陣判別法，尤其當二元關系的有序對較多時此方法比較簡單、好用，上述所有判別方法還可以借助計算機編程來實現。

參考文獻：

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（作者單位：仰恩大學數學系）