李志亮，肖文磊，趙 罡

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100191)

0 引言

直線超聲電機(jī)是一種新型的微特電機(jī)，它利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，激發(fā)壓電振子在超聲頻段內(nèi)產(chǎn)生微小振動，并通過摩擦作用將壓電振子的微觀振動直接轉(zhuǎn)換為動子的直線運(yùn)動，驅(qū)動負(fù)載[1]。與傳統(tǒng)電磁電機(jī)相比，直線超聲電機(jī)具有體積小、響應(yīng)速度快、不受電磁干擾、控制精度高等優(yōu)點(diǎn)，同時直線超聲電機(jī)驅(qū)動平臺不需要傳動機(jī)構(gòu)便可直接驅(qū)動負(fù)載，斷電后保持自鎖，無回程誤差，因此直線超聲電機(jī)在微型機(jī)械、精密定位等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[2]。

直線超聲電機(jī)壓電材料的能量轉(zhuǎn)換過程、機(jī)械能的摩擦傳遞過程以及驅(qū)動電路中的電量變化過程都使得其具有明顯的非線性，同時溫度的變化也會導(dǎo)致諧振頻率的漂移。由于諸多能量轉(zhuǎn)換過程中的非線性以及使用環(huán)境中的不確定性，造成了難以對直線超聲電機(jī)進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)建模[3-4]。因此，目前常用的直線超聲電機(jī)控制多采用無模型的控制方法，例如PID控制、模糊控制、自適應(yīng)控制、非線性補(bǔ)償控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等。其中，節(jié)德剛等采用模糊PID控制法，使超聲電機(jī)達(dá)到較高的定位精度[5]；Mo J S等使用自適應(yīng)控制算法進(jìn)行位置控制，補(bǔ)償非線性的同時解決了時變問題[6]；Liang W等使用PID結(jié)合非線性補(bǔ)償?shù)姆椒?，提高了位置控制精度[7]；王壽健等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法提高了超聲電機(jī)的控制精度和響應(yīng)速度[8]。但是由于缺少數(shù)學(xué)模型的約束，這些控制方法難以針對直線超聲電機(jī)的特點(diǎn)進(jìn)行針對性的優(yōu)化，不能充分發(fā)揮直線超聲電機(jī)的性能，限制了其精度的進(jìn)一步提高。因此，一直以來都有人不斷嘗試對直線超聲電機(jī)進(jìn)行建模，主要包括等效電路模型和機(jī)理模型。其中，史敬灼等建立了超聲電機(jī)壓電振子的等效電路模型，并且辨識出壓電振子的等效參數(shù)值[9]，Zhang X L等基于哈默斯坦模型建立了帶死區(qū)的直線超聲電機(jī)模型[10]，但是機(jī)理模型參數(shù)較多，模型復(fù)雜，難以直接用于直線超聲電機(jī)的控制。

上述學(xué)者的研究均采用無模型的控制方法對超聲電機(jī)進(jìn)行控制，取得了不錯的控制效果，但是由于沒有數(shù)學(xué)模型的約束，控制精度難以進(jìn)一步提高；部分學(xué)者也對超聲電機(jī)進(jìn)行了建模，其中等效電路模型的等效參數(shù)辨識可用于指導(dǎo)超聲電機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計以及工作特性分析，卻難以直接應(yīng)用于超聲電機(jī)的控制，機(jī)理模型由于模型參數(shù)多，同樣難以直接應(yīng)用于控制。針對以上問題，本文嘗試建立一種簡單實(shí)用的直線超聲電機(jī)非線性模型，在該數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計非線性補(bǔ)償PID算法，對直線超聲電機(jī)進(jìn)行定位控制，最后通過實(shí)驗(yàn)對該定位控制算法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 直線超聲電機(jī)的非線性建模

建立精確的數(shù)學(xué)模型是對直線超聲電機(jī)進(jìn)行高精度控制的基礎(chǔ)，近年來，國內(nèi)外許多研究人員在直線超聲電機(jī)的建模上做了很多工作，建立的直線超聲電機(jī)數(shù)學(xué)模型包括等效電路模型和機(jī)理模型，其中等效電路模型結(jié)構(gòu)簡單，模型參數(shù)少，易于實(shí)現(xiàn)，是研究直線超聲電機(jī)機(jī)電耦合特性的一種簡單有效的方式。

直線超聲電機(jī)的等效電路模型，即將直線超聲電機(jī)定子的質(zhì)量、阻尼等效為合適的電子元件，利用電學(xué)網(wǎng)絡(luò)來分析直線超聲電機(jī)特性，從而使用電學(xué)中的非線性理論來對電機(jī)的非線性進(jìn)行研究，為電機(jī)控制方法提供參考。目前確定直線超聲電機(jī)等效電學(xué)參數(shù)有兩種方法：參數(shù)辨識法[11]和直接測量法[12]。參數(shù)辨識法是通過測量可測參數(shù)，根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)測量辨識出未知等效參數(shù)，這種方法實(shí)驗(yàn)簡單，參數(shù)辨識結(jié)果準(zhǔn)確。直接測量法，如導(dǎo)納圓測量法，該種方法實(shí)驗(yàn)復(fù)雜，誤差較大。本文采用參數(shù)辨識法來辨識直線超聲電機(jī)等效電路模型的參數(shù)。直線超聲電機(jī)為容性負(fù)載，為簡化計算，將直線超聲電機(jī)等效為電容進(jìn)行分析。圖1所示為直線超聲電機(jī)及驅(qū)動電路模型，其中R為驅(qū)動電路的等效電阻，L為驅(qū)動電路的匹配電感，C為驅(qū)動電路的匹配電容。驅(qū)動電路輸入為占空比可調(diào)的功率方波，功率方波在LC匹配電路和電機(jī)等效電容共同作用下產(chǎn)生具有一定電壓增益的正弦波，輸出正弦波驅(qū)動電壓。

圖1 直線超聲電機(jī)及驅(qū)動電路模型

直線超聲電機(jī)的功率主要由功率方波的一次諧波控制，因此對功率方波進(jìn)行傅里葉變換，提取一次諧波作為輸入，示波器采集的輸出電壓作為輸出。

已知驅(qū)動電路中功率方波電壓峰值U=±48V，方波頻率f=48500Hz，匹配電感L=5.7×10-4H，匹配電容C=1.57×10-8F。式(1)為提取方波信號的一次諧波峰峰值，其中μ為功率方波占空比，式(2)為電路模型的增益，式(1)與式(2)相乘可得理論輸出正弦波電壓的峰峰值UO，如式(3)所示。通過實(shí)驗(yàn)測得驅(qū)動電壓峰峰值為UO′。

(1)

(2)

UO=A·|G(s)|

(3)

結(jié)合理論電壓UO與實(shí)測電壓UO′，使用最小二乘法辨識參數(shù)CM和R。等效電路模型辨識擬合曲線如圖2所示。

圖2 等效電路模型辨識擬合曲線

在電壓值為610V～640V時，速度變化存在明顯的拐點(diǎn)，因此采取分段多項式擬合電壓—速度曲線。設(shè)正、負(fù)向目標(biāo)多項式函數(shù)分別為y1和y2，如式(4)和式(5)所示，其中x為驅(qū)動電壓峰峰值，y1和y2為平均速度。

(4)

(5)

結(jié)合實(shí)驗(yàn)測量的電壓峰峰值數(shù)據(jù)UO′與平均速度數(shù)據(jù)V，使用最小二乘法辨識分段多項式系數(shù)。擬合結(jié)果如圖3所示，圖3a為驅(qū)動電壓峰峰值與正向平均速度的擬合曲線，圖3b為驅(qū)動電壓峰峰值與負(fù)向平均速度的擬合曲線。

(a) 正向運(yùn)動

(b) 負(fù)向運(yùn)動 圖3 驅(qū)動電壓峰峰值與平均速度擬合曲線

圖4所示為建立的直線超聲電機(jī)非線性模型，其中μ為占空比，fNL1為占空比μ與PWM功率方波一次諧波峰峰值的非線性關(guān)系，Uin為PWM功率方波一次諧波峰峰值，Uout為驅(qū)動電路輸出電壓峰峰值，fNL2為驅(qū)動電壓峰峰值與平均速度的非線性關(guān)系，V為直線超聲電機(jī)的平均速度。

圖4 直線超聲電機(jī)非線性模型

2 定位控制算法及仿真

針對超聲電機(jī)的非線性問題，史敬灼等基于建立的哈默斯坦非線性模型采用多步預(yù)測自校正控制方法控制超聲電機(jī)的轉(zhuǎn)速[13]；肖瑩等基于辨識模型采用內(nèi)膜控制PID算法，補(bǔ)償了超聲電機(jī)的非線性，對外界干擾有良好的適應(yīng)性[14]；黃魯江采用基于逆系統(tǒng)的非線性預(yù)測控制，取得了良好的控制效果[15]。這些非線性補(bǔ)償控制方法中，自校正控制、非線性預(yù)測控制算法較為復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)難度較大，而通過逆模型補(bǔ)償非線性是一種簡單有效的非線性補(bǔ)償算法，結(jié)合PID控制，可以很好補(bǔ)償直線超聲電機(jī)的非線性。因此本文根據(jù)直線超聲電機(jī)的非線性模型，采用求逆模型的方法進(jìn)行非線性補(bǔ)償，然后進(jìn)行PID定位控制，由于不同誤差下要求控制器具有不同的性能，因此采用分段PID進(jìn)行控制，當(dāng)誤差小于1μm時，PID控制器輸出為0，停止控制。

(a) 非線性補(bǔ)償PID控制方法框圖

(b) 非線性補(bǔ)償PID控制方法仿真框圖圖5 定位控制算法框圖及仿真框圖

仿真系統(tǒng)中設(shè)定目標(biāo)位置為2mm，在0.1s時產(chǎn)生斜坡位置信號，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 定位控制仿真結(jié)果

3 定位控制實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺簡介

非線性補(bǔ)償PID定位算法通過Simulink仿真驗(yàn)證后，還需通過定位實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證，因此搭建支持EtherCAT協(xié)議的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。EtherCAT協(xié)議是一種基于以太網(wǎng)的實(shí)時工業(yè)現(xiàn)場總線通信協(xié)議，它具有通信效率高，時鐘精度高的優(yōu)點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)很小的同步周期，非常適合高性能直線超聲電機(jī)的控制。該實(shí)驗(yàn)平臺包括以下主要設(shè)備：筆記本電腦，伺服驅(qū)動器，直線超聲電機(jī)定位平臺。其中筆記本電腦運(yùn)行TwinCAT 3軟件作為主站；直線超聲電機(jī)伺服驅(qū)動器作為從站，通過EtherCAT協(xié)議與主站通信；精密定位平臺作為控制對象，平臺采用海德星HF1直線超聲電機(jī)驅(qū)動，安裝有光柵尺用于反饋位置信息。控制系統(tǒng)示例圖如圖7a所示，實(shí)物圖如圖7b所示。

(a) 控制系統(tǒng)示例圖

(b) 控制系統(tǒng)實(shí)物圖 圖7 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與實(shí)物圖

3.2 定位控制實(shí)驗(yàn)

在以上實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行定位實(shí)驗(yàn)，設(shè)定目標(biāo)位置為20mm，以10mm/s的定位速度執(zhí)行定位過程，實(shí)測位置、速度、占空比曲線如圖8所示。由曲線可知，速度波動較小，定位過程較為順暢，最終定位精度較高。

圖8 定位過程位置、速度、占空比曲線

設(shè)定不同目標(biāo)位置，以不同的定位速度進(jìn)行定位控制，定位誤差絕對值如表1所示。多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，均可達(dá)到同樣的控制效果，定位誤差絕對值小于1μm。

表1 定位誤差表

4 結(jié)論

本文基于建立的直線超聲電機(jī)非線性模型，設(shè)計非線性補(bǔ)償PID算法，并對該算法進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)，證明了其有效性。重復(fù)定位實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該算法可以實(shí)現(xiàn)定位誤差小于1μm的控制效果，在微型機(jī)械、精密定位等領(lǐng)域有一定的實(shí)用價值。