南二七

我們經(jīng)常會困惑，為什么老師在解決問題時往往如行云流水一樣自然，到了自己就變得磕磕絆絆、步履維艱;為什么身邊的同學在解題時總會有一些奇思妙想、有如神助，而我們卻總感力不從心.要說我們不會思考吧，數(shù)學中常用的思考方法我們也能頭頭是道說上若干，比如觀察法、歸納法、逆向法、演繹法等等，可是一旦用它們“上陣殺敵”，卻又覺得“無用武之地”，

實際上這是一種假象，一種心理作用，數(shù)學的思考確實有很多規(guī)律可循，基本方法也有很多，但是我們該怎樣做才能牽住數(shù)學思考的“鼻子”，讓這些規(guī)律、方法為己所用呢？今天就讓我們一起在問題的思考中學習如何思考吧.

一、打鐵先要自身硬

其實如何解題，如何思考，這項研究由來已久，目前最受推崇的做法是來自美國的數(shù)學家波利亞，其經(jīng)典的做法是當我們拿到一個問題，常問自己以下幾個問題：

“已知是什么？”

“要證（求）什么？”

“見過類似的問題嗎？”

“可否將問題換一種說法？”

我們通常使用這些問題來啟發(fā)自己尋找到解題的思路.可能有些同學也曾做過類似的嘗試，不過效果卻因人而異，因時而異.有時這樣做成功了，有時卻一籌莫展，有時別人成功了，能看到我們看不到的條件，想到我們想不到的方法.這時好時壞的，問題的關(guān)鍵在哪里呢？

實際上，要想取得好的效果，我們就必須在平時的練習中做好積累工作，盡可能地將問題歸類，并將解決問題的方法用圖式進行整理記憶，形成固定的基本模式，這就是我所指的“硬功夫”.當我們遇到一個問題時，如果我們已經(jīng)有了解決問題的這個圖式，就會有很大的成功率，那么這是一個怎樣的圖式？又怎樣才能形成這樣的圖式？我們來看以下做法.

例1 求函數(shù)f（x）=x²-2ax-1在區(qū)間[1，3]上的最小值，

此題對同學們來說不算太難，這是因為我們已經(jīng)在頭腦中形成了一個圖式，即依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可分三種情況進行討論求解，

解二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=a.

（l）當a≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x） min=f（1）=-2a;

（2）當a≥3時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以f（x）min=f（3）=8-6a;

（3）當l2.

變式1 求函數(shù)f（x）=x²-2x-1在區(qū)間[a，3a -2]上的最大值.

如果再用上述方法解決這一問題就會遇到大麻煩了，事實上，畫出圖形，發(fā)現(xiàn)圖象開口向上，則區(qū)間端點誰離對稱軸遠誰的函數(shù)值兢大，因此要根據(jù)區(qū)間的中點分為兩種情況討論，

解二次函數(shù)開口向上，對稱軸x =l.

可見我們一開始認識的圖式并不是計算二次函數(shù)最值的圖式，而只是計算開口向上的二次函數(shù)的最小值的一個圖式.而且，上述問題還只是開口向上的一類，開口向下的二次函數(shù)又怎么辦？這就需要我們將此問題歸類，通過練習不斷積累，最后形成如下的圖式，從而利用這一圖式來解決二次函數(shù)的最值問題，

有了這種圖式在解題思考中作為思考的平臺，就好像站在巨人的肩膀上，自然比別人看得遠，想得深.如果我們平時的學習中能夠形成若干個這樣的圖式，相信一定會對解題起到巨大的作用，而這一工作從高一就開始做最好，長此以往，到高三之后，同學們一定會成為解題的高手，

二、廣交朋友千里行

俗話說，“一個籬笆三個樁，一個好漢三個幫”.同學們，不要以為我們在解題時一直是孤軍奮戰(zhàn)的，實際上我們有很多好朋友在等待著提供幫助.在此我要給大家隆重介紹兩個重要的幫助思考的朋友，它們是“圖象”和“特殊化”.當我們在解題遇到困難時，一定不要忘記呼喚它們來協(xié)助我們戰(zhàn)勝困難.除了自身強大，一身“硬功夫”，再有個好人緣，解題想不順利都難.

可見利用數(shù)形結(jié)合可以讓解題變得直觀形象，多了幾分“靈氣”，因為運用數(shù)形結(jié)合解題往往能直接揭示問題的本質(zhì)，正如我國著名數(shù)學家華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難人微.”

相比數(shù)形結(jié)合，特殊化也是我們解題時的一盞阿拉丁神燈，有著巨大的作用.數(shù)學大師希爾伯特曾說過，“在討論數(shù)學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用，這種方法是克服數(shù)學困難的最重要的杠桿之一.”

同學們，通過以上的學習和思考，相信你對數(shù)學有了更為透徹的認識，也有了更系統(tǒng)、科學的方法，那么讓我們從現(xiàn)在開始，不斷嘗試、不斷積累，爭做一個敢思考、會思考、樂思考的達人吧！