黃海新 劉丙勇 程壽山

摘要 針對傳統(tǒng)復(fù)雜截面結(jié)構(gòu)壽命期優(yōu)化效率低及未考慮結(jié)構(gòu)劣化效應(yīng)的問題，將傳統(tǒng)的直接以結(jié)構(gòu)基本尺寸為優(yōu)化變量的計(jì)算方案改為分3步優(yōu)化：首先選取與截面造型無關(guān)的構(gòu)件截面面積、抗彎慣矩、上下邊緣距橫截面中性軸的距離為中間變量，分別獲得可靠度約束下的最優(yōu)值，繼而基于第一步優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化達(dá)到壽命期時所需的與構(gòu)件造型有關(guān)的基本設(shè)計(jì)尺寸，最后考慮壽命期劣化效應(yīng)的影響，逆向推算得結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)尺寸。新型優(yōu)化方案通過以構(gòu)件共有的幾何參數(shù)為中間變量，減少了復(fù)雜截面優(yōu)化過程中直接以設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代的工作量，提高了優(yōu)化效率及優(yōu)化模式的適用性。壽命期劣化效應(yīng)的考慮兼顧了優(yōu)化模型的耐久性.通過算例與傳統(tǒng)優(yōu)化模式進(jìn)行對比，驗(yàn)證了新型整體分步優(yōu)化模式的精度與效率。

關(guān) 鍵 詞 橋梁工程；可靠度；壽命期；分步優(yōu)化；復(fù)雜截面

中圖分類號 U441 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)，由于能考慮結(jié)構(gòu)材料、外部荷載等客觀存在的不確定性，并在結(jié)構(gòu)安全性和經(jīng)濟(jì)性之間能達(dá)到一種最佳的平衡，正被越來越多的工程技術(shù)和科研人員所關(guān)注[1-6]。許林、唐承、Adamantios M等[7-9]以結(jié)構(gòu)體系可靠度為約束條件，以結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成本為目標(biāo)函數(shù)，獲得了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化值，促進(jìn)了確定性優(yōu)化向不確定性優(yōu)化的發(fā)展，但結(jié)構(gòu)在壽命周期內(nèi)的劣化性能并未考慮。王茜、陸春華、章金橋等[10-12]計(jì)入了結(jié)構(gòu)性能的時變特性，但整體優(yōu)化求解過程中，當(dāng)截面造型復(fù)雜時則變量眾多，求解效率不高，且難以反映構(gòu)件可靠度在體系中的分布情況，對結(jié)構(gòu)后期維護(hù)工作難以提供有效指導(dǎo)。針對傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)壽命期優(yōu)化未考慮結(jié)構(gòu)劣化效應(yīng)及復(fù)雜截面整體優(yōu)化效率低的問題，引入與構(gòu)件造型無關(guān)的中間設(shè)計(jì)變量，采用分步的求解思路，結(jié)合逆向反演的處理方式，以可靠度等為評價條件，最終獲得計(jì)入結(jié)構(gòu)劣化效應(yīng)的與構(gòu)件造型有關(guān)的初始基本設(shè)計(jì)尺寸，通過靜定和超靜定結(jié)構(gòu)算例進(jìn)行分析，檢驗(yàn)了所提優(yōu)化方案的計(jì)算效率及廣泛適用性。

1 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方案探析

1.1 傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案

由結(jié)構(gòu)的整體可靠度，基于最優(yōu)化理論，考慮實(shí)際的財(cái)力、物力、結(jié)構(gòu)自重、尺寸等限制條件構(gòu)造優(yōu)化方程[13-15]，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)尺寸。數(shù)學(xué)優(yōu)化模型為

目標(biāo)函數(shù) [minC=C（X）]， （1）

邊界方程 [ βT（X，ρCC）≥βd]， （2）

[X=[xij] i=1，n； j=1，m]， （3）

式中：[C]為結(jié)構(gòu)的初始建造費(fèi)用；[X]為結(jié)構(gòu)體系的設(shè)計(jì)變量；[xij]為構(gòu)件[i]的第[j]個設(shè)計(jì)變量；[βT]為結(jié)構(gòu)體系達(dá)到設(shè)計(jì)年限[T]時的可靠度值；[βd]為設(shè)計(jì)規(guī)定的體系可靠度最低值；[ρCC]為構(gòu)件間的相關(guān)系數(shù)。

顯然，上述模型的優(yōu)化方案在整個優(yōu)化過程中是直接以構(gòu)件截面設(shè)計(jì)尺寸為變量進(jìn)行迭代求解。但橋梁結(jié)構(gòu)往往由諸多構(gòu)件組成，而每一構(gòu)件又由多個截面尺寸變量決定，尤其是復(fù)雜的I型、箱型等不規(guī)則截面（見圖1），使得優(yōu)化模型中變量數(shù)目眾多，導(dǎo)致上述模型在實(shí)際優(yōu)化過程中整體優(yōu)化效率較低。

1.2 新型優(yōu)化設(shè)計(jì)方案

針對傳統(tǒng)方案優(yōu)化復(fù)雜截面存在的不足，這里針對平面結(jié)構(gòu)，引入與截面類型無關(guān)的截面面積[A]、抗彎慣矩[I]以及中性軸距離截面下邊緣最大距離[hx]距上邊緣最大距離[hs]作為中間優(yōu)化變量，同時考慮構(gòu)件劣化效應(yīng)的影響并將其獨(dú)立計(jì)入，將原有的據(jù)體系可靠度直接優(yōu)化構(gòu)件設(shè)計(jì)尺寸分為3步優(yōu)化。第1步：基于造價最低原則優(yōu)化分配可靠度值，求解中間變量；第2步：根據(jù)第1步結(jié)果優(yōu)化各構(gòu)件達(dá)到壽命期時的設(shè)計(jì)尺寸；第3步考慮壽命期劣化效應(yīng)的影響，由壽命期時的設(shè)計(jì)尺寸疊加劣化損失量求得初始設(shè)計(jì)尺寸。新型優(yōu)化設(shè)計(jì)方案流程圖（見圖2）。

圖2中，將結(jié)構(gòu)尺寸為設(shè)計(jì)變量的直接優(yōu)化轉(zhuǎn)為有中間變量的分布優(yōu)化，有

[X=[xij]→[Ai，Ii，hxi，hsi]]。 （4）

優(yōu)化過程中通過將設(shè)計(jì)變量的個數(shù)由[m×n]變?yōu)閇4n]，每一構(gòu)件[i]僅保留4個變量[Ai]，[Ii]，[hxi]和[hsi]，使得優(yōu)化方案初期成為一個具有通用性的設(shè)計(jì)平臺。

1.2.1 與構(gòu)件造型無關(guān)的中間設(shè)計(jì)變量優(yōu)化模型

1）模型的建立

在可靠度約束條件下，以造價最低為目標(biāo)函數(shù)，基于中間設(shè)計(jì)變量可構(gòu)建如下優(yōu)化模型

目標(biāo)函數(shù) [minC=i=1nCi（Ai）]， （5）

邊界條件 [βT（βm， ρmm）≥βd]， （6）

[IiA2i>bl]， （7）

[IiA2i

[Ai，Ii，hxi，hsi>0]， （9）

其中 [βm=ψ（βci，ρcc）]， （10）

[βci=h（Ai，Ii，hxi，hsi）]， （11）

式中：[Ci]為構(gòu)件[i]的花費(fèi)值；[Ai]為構(gòu)件的截面面積；[βT]為達(dá)到設(shè)計(jì)年限T時體系可靠度值；[βd]為規(guī)定的壽命期體系可靠度最低容許值；[βm]為失效模式的可靠度值；[ρmm]為失效模式間的相關(guān)系數(shù)；[βci]構(gòu)件[i]的可靠度值；[ρcc]構(gòu)件間的相關(guān)系數(shù)。

需要說明的是，式（7）和（8）是為使變量值與工程實(shí)際相符而構(gòu)建的抗彎慣矩與截面面積之間的約束條件。常量參數(shù)[bi]和[bu]在實(shí)際計(jì)算過程中的取值可根據(jù)工程需求加以調(diào)整。

對平面結(jié)構(gòu)，結(jié)合可靠度理論和相關(guān)力學(xué)知識。

[βci=mRi-mSiσ2Ri+σ2Si]， （12）

式中：[mRi]為構(gòu)件[i]的抗力均值；[mSi]為構(gòu)件[i]的效應(yīng)均值；[σRi]為構(gòu)件[i]的抗力方差；[σSi]為構(gòu)件[i]的效應(yīng)方差。

2）模型的求解

對靜定結(jié)構(gòu)而言，各構(gòu)件內(nèi)力分布不受體系內(nèi)構(gòu)件剛度分布的影響，可直接根據(jù)作用求得構(gòu)件效應(yīng)值。對串聯(lián)結(jié)構(gòu)，有

[βm=iβci]。 （13）

同時，為便于求解結(jié)構(gòu)可靠度值，對抗力和效應(yīng)同時乘以[AiIi]，則式（12）變?yōu)?/p>

[βci=m*Ri-m*Si（σ*Ri）2+（σ*Si）2]， （14）

式中，帶*變量為原變量與[AiIi]的乘積。

對超靜定結(jié)構(gòu)而言，其內(nèi)力分布除與外部荷載有關(guān)外，還與體系內(nèi)構(gòu)件的剛度分布有關(guān)，所以需采用迭代的方法進(jìn)行求解。

結(jié)合上述各式，利用MATLAB編制程序即可優(yōu)化求解各構(gòu)件達(dá)到設(shè)計(jì)年限T時的最優(yōu)中間變量值。

1.2.2 與構(gòu)件造型有關(guān)的壽命期基本設(shè)計(jì)變量優(yōu)化模型

基于第1步優(yōu)化出的與構(gòu)件截面造型無關(guān)的中間設(shè)計(jì)變量，據(jù)此可建立第2步與截面造型有關(guān)的達(dá)到壽命期T時的關(guān)于基本設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型?？紤]到壽命期內(nèi)劣化效應(yīng)的影響與構(gòu)件在空氣中裸露的面積有直接的關(guān)系，這里以橫截面周長最小為目標(biāo)函數(shù)，以此來優(yōu)化截面基本設(shè)計(jì)尺寸，達(dá)到減小壽命劣化效應(yīng)，提升結(jié)構(gòu)耐久性的目標(biāo)。

目標(biāo)函數(shù) [minL=Φ（Xi）]， （15）

邊界條件 [f1（Xi）=A*if2（Xi）=I*if3（Xi）=h*xif4（Xi）=h*si]， （16）

式中，[A*i]，[I*i]，[h*xi]，[h*si]為基于第1步優(yōu)化模型獲得的構(gòu)件i的中間變量優(yōu)化值。

需要說明的是，要完全嚴(yán)格達(dá)到上述邊界條件，有時是非常困難的，甚至難以獲得有效解。實(shí)際使用中將等式約束稍加放松，以差值最小為目標(biāo)更為現(xiàn)實(shí)。為此，這是通過構(gòu)造泛函來重新建立優(yōu)化模型。

[II=β1Δε2A+β2Δε2I+β3Δε2hx+β4Δε2hS]， （17）

其中 [ΔεA=f1（Xi）-A*i]， （18）

[ΔεI=f2（Xi）-I*i]， （19）

[Δεhx=f3（Xi）-h*xi]， （20）

[Δεhs=f4（Xi）-h*si]， （21）

式中：[βi]為懲罰因子；[Δε]為計(jì)算誤差；[fi]為關(guān)于構(gòu)件i的基本設(shè)計(jì)尺寸[Xi]的函數(shù)。

基于上述構(gòu)建的與構(gòu)件截面造型有關(guān)的優(yōu)化模型，即可優(yōu)化獲得達(dá)到壽命期T時構(gòu)件的基本設(shè)計(jì)尺寸。

1.2.3 計(jì)入壽命期劣化效應(yīng)的初始基本設(shè)計(jì)尺寸

根據(jù)第2步優(yōu)化得出的達(dá)到壽命期時結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計(jì)尺寸，考慮劣化效應(yīng)帶來的影響，反向推演疊加劣化量，得出結(jié)構(gòu)初始基本設(shè)計(jì)尺寸值，有

[X0=XT+ΔX]， （22）

式中：[X0]為結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)尺寸；[XT]為第2步優(yōu)化得出的結(jié)構(gòu)達(dá)到壽命期時最優(yōu)設(shè)計(jì)尺寸；[ΔX]為壽命期內(nèi)結(jié)構(gòu)劣化效應(yīng)尺寸量。

2 優(yōu)化模型探析

2.1 非正態(tài)分布時構(gòu)件可靠度的求解

正態(tài)分布時構(gòu)件可靠度的數(shù)值可采用式（11）求解。而對于非正態(tài)的情況，可以采用當(dāng)量正態(tài)化的方法，求得結(jié)構(gòu)的可靠度值。正態(tài)化的條件是：1）正態(tài)化前后在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處的均值、方差和分布函數(shù)值相同；2）正態(tài)化前后在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處的概率密度函數(shù)值相等，見圖3所示。

關(guān)于混凝土的劣化問題人們很早就有察覺并做了相應(yīng)的研究?；炷恋哪途眯院艽蟪潭热Q于其自身的多孔性和滲透性，從而引發(fā)凍融破壞、堿骨料反應(yīng)、中性化、氯鹽腐蝕等等一系列問題，并得到了相應(yīng)的劣化函數(shù)[17-18]。

3 算例測試

3.1 準(zhǔn)確性與高效性驗(yàn)證

3.1.1 靜定結(jié)構(gòu)算例

圖4給出一受隨機(jī)荷載作用的靜定結(jié)構(gòu)。其中，構(gòu)件①為桁架單元，構(gòu)件②～④為梁單元。假設(shè)隨機(jī)荷載呈正態(tài)分布，荷載均值分別為P1=20 kN，P2=20 kN，P3=2 kN，L=1 m。使用材料為鋼材，強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為235 MPa，彈性模量為2.06×105 MPa，荷載和材料強(qiáng)度的變異系數(shù)均取0.1。為模擬橋梁中活載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力正反效應(yīng)，這里將P3分向下和向上2個作用方向分別進(jìn)行工況分析。圖4僅給出了向下作用載荷工況。

經(jīng)系統(tǒng)可靠度分析，2種工況下，結(jié)構(gòu)第1種失效模式為②、③、④構(gòu)件彎剪組合失效，第2種失效模式為①構(gòu)件受壓失效。2種失效模式間等效為串聯(lián)。

取結(jié)構(gòu)體系可靠度界限指標(biāo)為2，以造價最低為目標(biāo)，針對I型截面分別采用傳統(tǒng)優(yōu)化方案和新型分步優(yōu)化方案進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，迭代過程見圖5、圖6和圖7。

由圖5和圖6可知，新型方案和傳統(tǒng)方案的在獲得最優(yōu)解（☆標(biāo)注）的過程中均經(jīng)過了多次迭代。優(yōu)化初期，基于相同的截面初值，因構(gòu)件②、③的截面彎矩大于構(gòu)件④，可靠度指標(biāo)很小，為滿足目標(biāo)可靠度指標(biāo)的約束條件，截面尺寸需加大，可靠指標(biāo)度初期提升明顯，而構(gòu)件④由于彎矩較小，初始可靠度指標(biāo)較高，為獲得整體造價最低，可靠度指標(biāo)初期迅速降低，構(gòu)件①僅受軸力，截面需求不高，故初期亦下降明顯。新方案第1步優(yōu)化模型最優(yōu)結(jié)果與老方案優(yōu)化結(jié)果十分接近，說明新型方案的計(jì)算精度是有保障的；同時，從各構(gòu)件最優(yōu)結(jié)果對比可發(fā)現(xiàn)，②構(gòu)件可靠度值最小，究其原因，其作用效應(yīng)最大，單位可靠度花費(fèi)自然最高，為滿足總體結(jié)構(gòu)造價最低，截面尺寸必然最小，而構(gòu)件④恰好與其相反。顯然，結(jié)構(gòu)體系最終失效模式表現(xiàn)為構(gòu)件②的彎剪組合失效。

圖7以構(gòu)件③為例，選取與傳統(tǒng)優(yōu)化方案相同的I型截面，給出了利用第2步模型基于第1步優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行與截面造型有關(guān)的基本尺寸變量的優(yōu)化曲線。最優(yōu)設(shè)計(jì)尺寸對應(yīng)的可靠度指標(biāo)為2.62，與第1步優(yōu)化結(jié)果可靠度指標(biāo)2.58吻合很好。

從計(jì)算效率看，圖5中傳統(tǒng)優(yōu)化方案直接以截面設(shè)計(jì)尺寸為優(yōu)化變量，耗時300 s時搜索過程結(jié)束，從中獲得最優(yōu)解。根據(jù)圖6和圖7可知，新型優(yōu)化方案結(jié)構(gòu)整體第1步優(yōu)化時長30 s，第2步優(yōu)化時長50 s，2步總計(jì)80 s時搜索過程結(jié)束，從中得出最優(yōu)解?？梢娦滦蛢?yōu)化方案運(yùn)算效率還是較高的。

3.1.2 超靜定結(jié)構(gòu)算例

圖8為一帶系桿的兩鉸拱，跨徑[L=2 m]，荷載P = 10 kN。主拱和系桿均為復(fù)雜截面。系桿、主拱橫截面面積分別為[A1]和[A2]，主拱抗彎慣矩為[I2]，中性軸距離截面上下緣的最大距離分別為[hs2]和[hx2]。材料為鋼材，強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為235 MPa，彈性模量為2.06×105 MPa，拱頂處受集中荷載P作用。荷載和材料特性變異系數(shù)均取0.1，結(jié)構(gòu)體系最低可靠度界限指標(biāo)為2。

圖9、圖10和圖11給出了體系中主拱和系桿新老方案優(yōu)化過程中的可靠度變化情況。結(jié)構(gòu)體系可靠度界限指標(biāo)為2，構(gòu)件為I型截面。

由圖9和圖10可見，傳統(tǒng)方案和新型方案優(yōu)化過程中的變化趨勢基本相同。在構(gòu)件初值相同的條件下，主拱彎矩、軸力作用效應(yīng)遠(yuǎn)大于系桿，使得系桿初始可靠度值大大高于主拱，在滿足可靠度約束的條件下，為獲得最低的造價，系桿可靠度指標(biāo)迅速下降。由于主拱造價占結(jié)構(gòu)體系總造價的比例較高，在達(dá)到最優(yōu)結(jié)果時（☆標(biāo)注），其可靠度值相對于系桿較低，這也充分體現(xiàn)了系桿拱橋中系桿的重要性，確保體系在拱腳處不出現(xiàn)無水平推力。

圖11以主拱為例，同樣選取I型截面，給出了利用第2步模型基于第1步優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行與截面造型有關(guān)的基本尺寸變量的優(yōu)化曲線，最優(yōu)解對應(yīng)的可靠度指標(biāo)為2.09，與第1步優(yōu)化結(jié)果可靠度指標(biāo)2.10十分接近，滿足可靠度邊界條件。

從計(jì)算效率看，圖9中傳統(tǒng)優(yōu)化方案達(dá)到2 200 s時停止優(yōu)化搜索，從中得出直接以截面設(shè)計(jì)尺寸為優(yōu)化變量的最優(yōu)解。而從圖10和圖11可知，新型優(yōu)化方案第1步優(yōu)化時長130 s，第2步時長470 s，總計(jì)600 s時搜索過程結(jié)束，從中得出最優(yōu)解?？梢?，對本超靜定結(jié)構(gòu)算例來說，新型優(yōu)化方案高效性亦十分明顯。

需要指出的是，由于橋梁結(jié)構(gòu)在實(shí)際實(shí)施中，梁寬與梁高受到橋面寬度以及橋下凈空等諸多條件的限制，第2步優(yōu)化模型可根據(jù)實(shí)際工程情況適當(dāng)增加邊界條件，以使優(yōu)化出的截面基本尺寸更加合理符合現(xiàn)實(shí)需求。如對I型截面，可設(shè)定邊界條件[b1>b2]，[b3>b2]，避免出現(xiàn)“中”型截面；對箱型截面，可增設(shè)[b3>2b2]，[h2>h3]邊界條件，防止優(yōu)化截面出現(xiàn)異常。同時，第2步優(yōu)化中應(yīng)突出對關(guān)乎造價的截面面積差值的懲罰，以與第1步的優(yōu)化目標(biāo)相協(xié)調(diào)。

3.2 考慮壽命期劣化效應(yīng)的影響

為確保結(jié)構(gòu)具有足夠的耐久性，結(jié)構(gòu)最終初始設(shè)計(jì)尺寸應(yīng)計(jì)入結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)的劣化效應(yīng)，即有必要實(shí)施新型方案的第3步。這里選取Kayser等人給出的鋼材劣化函數(shù)

[C=AtB]， （23）式中：[C]為鋼材的平均銹蝕厚度，單位μm；[t]為時間，單位a；[A]和[B]為影響腐蝕的系數(shù)，與環(huán)境及鋼材種類有關(guān)。

以I型截面為例，根據(jù)式（23）可獲得100 a壽命期內(nèi)結(jié)構(gòu)劣化效應(yīng)尺寸量[ΔX]，利用式（22）反向累加得到結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)尺寸。表1給出了靜定結(jié)構(gòu)算例考慮劣化效應(yīng)后I型截面設(shè)計(jì)尺寸初值。

4 結(jié)論

1）通過引入與截面造型無關(guān)的中間設(shè)計(jì)變量，構(gòu)建了基于可靠性約束的分步優(yōu)化模型，改善了傳統(tǒng)直接以構(gòu)件截面尺寸為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行迭代優(yōu)化，對截面造型復(fù)雜且構(gòu)件數(shù)量眾多結(jié)構(gòu)效率較低的問題。

2）基于分步優(yōu)化模型，通過分別對靜定和超靜定結(jié)構(gòu)算例進(jìn)行測試，檢驗(yàn)了模型的精度與效率。且優(yōu)化模型無需提前獲知結(jié)構(gòu)大致尺寸，一定程度上降低了設(shè)計(jì)人員的工作強(qiáng)度。

3）基于劣化函數(shù)，采用反演累加的方式，考慮了結(jié)構(gòu)劣化對結(jié)構(gòu)基本設(shè)計(jì)尺寸帶來的影響，獲得了壽命期內(nèi)具有足夠耐久性的橋梁設(shè)計(jì)方案，方法簡單、便于操作。

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯 楊 屹]