黃德平

【摘要】 ?在電源輸出功率的最大值的教學(xué)中有多種數(shù)學(xué)方法，本文作者從自身體驗(yàn)出發(fā)，比較了各種數(shù)學(xué)方法的推導(dǎo)過程和學(xué)生掌握情況，以此說明，數(shù)學(xué)功底對(duì)物理教學(xué)有較大影響，物理教師也不能忽視數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提高。

【關(guān)鍵詞】 ?電源 輸出功率 數(shù)學(xué)功底

【中圖分類號(hào)】 ?G633.7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）13-098-01

物理離不開數(shù)學(xué)。許多物理問題涉及到數(shù)學(xué)運(yùn)算。因此，大學(xué)物理教育專業(yè)普遍開設(shè)《數(shù)學(xué)物理方法》這一課程，旨在提升物理教師應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力。然則，高中物理教學(xué)并不需要這么復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理（競(jìng)賽除外），一般的高中生也難以接受物理題中繁雜的數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算。在高中物理教學(xué)中，如何將復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)清晰展現(xiàn)——用高中生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，這既體現(xiàn)物理老師的匠心，更考驗(yàn)物理教師的數(shù)學(xué)功底。

在筆者多年的物理教學(xué)中，一直認(rèn)為電源的輸出功率的最值問題的教學(xué)涉及的數(shù)學(xué)推理過程很具有代表性。物理教師對(duì)數(shù)學(xué)基本不等式的認(rèn)識(shí)和體會(huì)是否到位，直接影響其推導(dǎo)方式，進(jìn)而影響學(xué)生的思維模式。

我們先來看這個(gè)問題：電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，對(duì)于外電阻是純電阻的情況，若外電阻為R，試證明：當(dāng)R=r時(shí)，電源的輸出功率最大。在筆者早年教學(xué)中，往往是這樣推導(dǎo)的：

P=I2R=■，將分母按完全平方公式展開，而后分子、分母同除以R，則有

P=■=■，其中，R+■依據(jù)數(shù)學(xué)基本不等式可知

R+■≥2■=2r，則P≤■，當(dāng)且僅當(dāng)R=r時(shí)取“=”。

這個(gè)推導(dǎo)過程，相信大多數(shù)高二學(xué)生能比較順利的接受。但是筆者發(fā)現(xiàn)，在應(yīng)用類似方法解決滑動(dòng)變阻器最大功率時(shí)，部分學(xué)生遇到了比較大的的障礙。我們來看一下這道題：如圖所示，E=6V，r=4Ω，R1=2Ω，R2的變化范圍是0～10Ω.求：①電源的最大輸出功率;②R1上消耗的最大功率;③R2上消耗的最大功率。

這道題比較經(jīng)典，相信大家都見過。筆者這里只討論第三問中學(xué)生存在的問題，而且拋開等效電源這一思路，單純從數(shù)學(xué)推導(dǎo)的角度來考慮這個(gè)問題。用類似的方法，其推導(dǎo)過程如下：

P=I2R=■=■=■≤■當(dāng)且僅當(dāng)R2=R1+r時(shí)取“=”。

這個(gè)推導(dǎo)表達(dá)式，看起來很龐大，學(xué)生較容易產(chǎn)生畏難情緒，其次這里涉及到一個(gè)整體代換的問題，即把R1+r看成一個(gè)整體，這無疑又加大了難度。還有部分學(xué)生將其分母整理為（R2+R1+r）2=（R2+r）2+R21+2（R2+r）R1或（R2+R1+r）2=（R2+R1）2+r2+2（R2+R1）r

這樣的形式，進(jìn)而無法利用基本不等式來求解。

正是筆者作為物理教師，沒有掌握更為簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，使得學(xué)生也用較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來計(jì)算。老師認(rèn)為麻煩的，學(xué)生也一定這么認(rèn)為，這就使電源輸出功率的教學(xué)變成了難點(diǎn)。

筆者在與同事討論交流時(shí)，發(fā)現(xiàn)了新的證明方法。P=I2R=■，將分子分母同乘以4r則有P=■·■，其中（R+r）2≥4Rr，則■≤1，所以P≤■。這個(gè)推導(dǎo)并不算嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)橹豢紤]了（R+r）2的最值，而沒考慮到4Rr也是變量，但這個(gè)推導(dǎo)明顯比較簡(jiǎn)潔，學(xué)生更容易接受，從這個(gè)角度來說，這個(gè)證明方法更合理。不過這個(gè)推導(dǎo)在用來解決滑動(dòng)變阻器最大功率時(shí)依然會(huì)碰到一些數(shù)學(xué)障礙。這個(gè)證明方法讓筆者拓寬了思路，即物理問題涉及到數(shù)學(xué)推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)想辦法將數(shù)學(xué)推導(dǎo)適當(dāng)簡(jiǎn)化，以便于學(xué)生接受和應(yīng)用。其實(shí)，高中物理涉及的很多公式，應(yīng)該是在積分或微分的基礎(chǔ)上運(yùn)算推導(dǎo)出來的，但最終展現(xiàn)時(shí)，數(shù)學(xué)上都作了一定的簡(jiǎn)化，以便讓高中生更好的掌握。

受此啟發(fā)，筆者發(fā)現(xiàn)P=I2R=■，分母中本身已含（R+r）2，沒必要再將表達(dá)式變形，根據(jù)（R+r）2≥4Rr，直接可得P=I2R=■≤■=■，這種證明過程雖不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但最簡(jiǎn)單，最容易被學(xué)生接受，起到了化繁為簡(jiǎn)的作用。這種證明方法用來求解滑動(dòng)變阻器最大功率也相對(duì)比較簡(jiǎn)潔。

P=I2R=■≤■，其中（R2+R1+r）2≥4R2（R1+r）

自從用了這種證明方法，電源的輸出功率的最值問題學(xué)生比較輕松就能掌握。由此可見，物理教師必須具備一定的數(shù)學(xué)功底，在一些重要知識(shí)教學(xué)中，簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)推導(dǎo)會(huì)起到事半功倍的效果。

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法，北京大學(xué)出版社，2003.

[2]王應(yīng)生.電路分析教材.電子工業(yè)出版社，2008.