曾純一 魏剛

少數(shù)民族預(yù)科數(shù)學(xué)教育是一項(xiàng)任重道遠(yuǎn)而意義深遠(yuǎn)的長(zhǎng)期工作，預(yù)科階段對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅僅是高中知識(shí)到本科知識(shí)的轉(zhuǎn)折和過(guò)渡，更是在思想、意志、人生觀形成、轉(zhuǎn)變的一個(gè)重要環(huán)節(jié)；特別是對(duì)于預(yù)科文科生及新疆兩年制學(xué)生來(lái)說(shuō)學(xué)好高數(shù)首先要作好心態(tài)的調(diào)整，考慮到部分雙語(yǔ)學(xué)生漢語(yǔ)語(yǔ)言基礎(chǔ)較差和對(duì)數(shù)學(xué)定理定義的理解能力較弱的真實(shí)現(xiàn)狀，我們以新編教材和教學(xué)大綱為依托，立足于促進(jìn)預(yù)科學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展的基本出發(fā)點(diǎn)，處處體現(xiàn)出預(yù)科數(shù)學(xué)課程的設(shè)置的基本目的不只是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和方法，而是有著更為寬廣的內(nèi)涵：讓學(xué)生愿意親近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)；發(fā)展學(xué)生的理性精神、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；所以我們要深度挖掘教材內(nèi)涵，精妙設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，通過(guò)橫向縱向新舊知識(shí)的類(lèi)比，肩負(fù)起讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得成功的體驗(yàn)，磨練克服困難的意志，建立自信的重要使命，我們要試圖找到預(yù)科學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)個(gè)思維激活點(diǎn)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，力求在高中三年教學(xué)內(nèi)容及高考命題研究的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)形結(jié)合為基礎(chǔ)循序漸進(jìn)地完成從靜態(tài)的初等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)到動(dòng)態(tài)的高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的過(guò)渡，同時(shí)做好在預(yù)科已有的知識(shí)框架下的查漏補(bǔ)缺工作和數(shù)學(xué)思維模式的轉(zhuǎn)變，淡化他們對(duì)高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)這門(mén)基礎(chǔ)課程的陌生感。眾所周知，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，克萊因反復(fù)強(qiáng)調(diào)的一個(gè)教育原則：即是一定要按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)。具體說(shuō)來(lái)，要由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，由感性到理性等。所以接下來(lái)我們重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)幾何的形象問(wèn)題對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義及作用。特別針對(duì)一些預(yù)科學(xué)生感覺(jué)抽象的無(wú)限分化和無(wú)限動(dòng)態(tài)逼近的過(guò)程，利用GeoGebra動(dòng)態(tài)幾何軟件的形象、直觀、生動(dòng)的感官優(yōu)勢(shì)，可以通過(guò)拖動(dòng)滑動(dòng)條，設(shè)置參數(shù)的不同區(qū)間值以及精準(zhǔn)地控制趨近速度把一個(gè)個(gè)動(dòng)態(tài)無(wú)限逼近過(guò)程體現(xiàn)得淋漓盡致，同時(shí)還可以橫向比較出不同函數(shù)的趨近速度以及快捷地通過(guò)改變參數(shù)正負(fù)取值清楚地演示出雙側(cè)趨近或單側(cè)趨近的動(dòng)態(tài)結(jié)果并進(jìn)行分析對(duì)比。接下面我們就結(jié)合新教材中極限和導(dǎo)數(shù)部分相關(guān)知識(shí)做進(jìn)一步的研究和教學(xué)探討：

（1）由于GeoGebra是一款界面為中文菜單的動(dòng)態(tài)圖形軟件，能方便快捷地生成交互式的動(dòng)態(tài)圖形模式，并且有專(zhuān)門(mén)的微積分工具欄，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)理解微積分中的動(dòng)態(tài)無(wú)限逼近或一些抽象定理結(jié)論有更加直觀、形象的感受，由于不用編代碼就可以直接使用，GeoGebra也具有很強(qiáng)的可操作性，但我們不能在本文中直接呈現(xiàn)其優(yōu)良的動(dòng)態(tài)交互式形態(tài)，接下來(lái)我們就盡量用通俗易懂的描述性語(yǔ)言和GeoGebra動(dòng)態(tài)交互模式下的截圖，探究在函數(shù)極限這部分課程中運(yùn)用GeoGebra圖形軟件呈現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程。

例如 在GeoGebra動(dòng)態(tài)交互模式下探究函數(shù) 在 處的單側(cè)及雙側(cè)極限是否存在？

分析：指令欄中輸入：if[x=0，0，x^2 sin（1/x）]

系統(tǒng)在繪圖區(qū)立刻生成為紅色曲線的圖像，默認(rèn)為函數(shù) ，然后生成滑動(dòng)條a（其中a的范圍0～0.3，增量0.005，x軸y軸是由向量u，v表示的）當(dāng)取a=0.15的截圖如下圖所示；

再?gòu)幕瑒?dòng)條分別取a=0.07，a=0.025，a=0.01，…的變化中，可以讓學(xué)生很直觀形象地觀察得出此函數(shù)當(dāng)自變量從右側(cè)單向趨于0時(shí)的極限變化過(guò)程（如果讓滑動(dòng)條a連續(xù)變化，讓滑動(dòng)條a自動(dòng)交互式變換效果會(huì)更好）。同理通過(guò)生成不同的滑動(dòng)條類(lèi)似可以讓同學(xué)們真切觀察出當(dāng)自變量從左側(cè)單向或雙向趨于0時(shí)的極限值的變化趨勢(shì)，還可以通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的局部拉伸和放大縮小來(lái)觀察它的左極限和右極限確實(shí)都在無(wú)限逼近（越來(lái)越靠近原點(diǎn)）。

（2）教材中凹凸性的判定定理的推導(dǎo)可以利用函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的聯(lián)系，借助圖形讓學(xué)生對(duì)二階導(dǎo)數(shù)與凹凸性的關(guān)系先有一個(gè)具體直觀的認(rèn)識(shí)，這樣比先直接用中值定理證明更易讓學(xué)生接受，并且所用推導(dǎo)工具又和前面一節(jié)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)密切相關(guān)，既起到承上啟下的作用，又作到新舊知識(shí)的自然過(guò)渡。

同學(xué)們通過(guò)這種親身參與的這個(gè)探究數(shù)學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，獲得了愉悅的成功體驗(yàn)，把找到的導(dǎo)數(shù)隨角度的增加而增大或減小規(guī)律提煉成對(duì)應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)的結(jié)論后也便于記憶和理解。

（3）對(duì)于學(xué)生普遍覺(jué)得較難的不等式證明部分，除了利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，凹凸性外，例如新教材中的例題 ：當(dāng) 時(shí)，證明不等式 成立。還可以形象巧妙地用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)理解，即不等式的左邊函數(shù)對(duì)應(yīng)于的這條直線可以看成在原點(diǎn)處右邊這個(gè)函數(shù)的切線。

而且進(jìn)一步推廣上述結(jié)論，利用這種導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理不等式的方法還可以類(lèi)似解決不等式 和求出滿足不等式 的 最小值（考查參變分離法的2013年高考?jí)狠S題）。

雖然數(shù)學(xué)是一門(mén)依托嚴(yán)密的邏輯推理能力得到精準(zhǔn)結(jié)果的抽象學(xué)科，但每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探討和解決過(guò)程的體驗(yàn)對(duì)于培養(yǎng)預(yù)科學(xué)生的意志力有很好的幫助，但應(yīng)注意的是當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知水平與所作題目不平衡時(shí)，不經(jīng)意間做錯(cuò)或不會(huì)做的幾道題又最容易讓學(xué)生滋生挫敗感，因此，在定理概念的講解時(shí)，在情景問(wèn)題設(shè)置中，在例題、習(xí)題的挑選中，必須把握好“深”與“廣”的尺度。從事預(yù)科數(shù)學(xué)教育工作，需要很多的技巧，使用靈活多樣方法，充分考慮少數(shù)民族預(yù)科學(xué)生的實(shí)際情況，把握形成較大個(gè)體差異的因素（外在、內(nèi)在、情感、態(tài)度、方法），針對(duì)這個(gè)過(guò)渡階段的教學(xué)特點(diǎn)，多思考，想辦法，幫助學(xué)生調(diào)整到一個(gè)積極求知的心態(tài)，建立學(xué)習(xí)高數(shù)的熱情與自信，在高中初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)化簡(jiǎn)理解初等數(shù)學(xué)方法，做到新舊知識(shí)自然過(guò)渡，補(bǔ)預(yù)結(jié)合，使學(xué)生有向往新知識(shí)的學(xué)習(xí)動(dòng)力，及學(xué)習(xí)能力的全面提高。

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項(xiàng)目編號(hào)：2013zc77。

作者簡(jiǎn)介：

曾純一，女，1980-01-12出生，四川自貢人，研究方向：函數(shù)論，講師，單位：西南民族大學(xué)。

魏剛，男，1978-3-31出生，四川崇州人，中學(xué)教育，中學(xué)一級(jí)，單位：四川師范大學(xué)附中。