梁載濤

摘 要：矩陣的分塊是處理高階矩陣運(yùn)算的一種非常有效的方法，但是大多數(shù)理工科線性代數(shù)教材只是簡(jiǎn)單地介紹分塊矩陣的概念和運(yùn)算，對(duì)其相關(guān)應(yīng)用介紹的并不多.本文主要針對(duì)高階矩陣逆的分塊計(jì)算進(jìn)行探究.

關(guān)鍵詞：高階矩陣;初等變換;分塊矩陣;逆矩陣

中圖分類號(hào)：O13? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）10-0010-03

1 引言

矩陣是線性代數(shù)課程中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用.矩陣是線性代數(shù)基本的研究對(duì)象和研究手段，矩陣?yán)碚撆c方法貫穿于行列式、線性方程組、線性變換、二次型等各個(gè)方面.同時(shí)矩陣?yán)碚撘彩窃S多其他數(shù)學(xué)分支和自然學(xué)科研究問(wèn)題的一個(gè)重要工具.逆矩陣作為矩陣教學(xué)的一個(gè)主要內(nèi)容，對(duì)研究其他線性結(jié)構(gòu)有著重要的作用.線性代數(shù)的許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為矩陣求逆相關(guān)問(wèn)題來(lái)研究.

對(duì)于低階矩陣來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)待定系數(shù)法、伴隨矩陣法以及初等變換法等計(jì)算其逆矩陣.但是對(duì)于求高階矩陣的逆運(yùn)算來(lái)說(shuō)，直接應(yīng)用這些方法就會(huì)相當(dāng)?shù)膹?fù)雜和繁瑣，且計(jì)算量非常大.但是高階矩陣的逆運(yùn)算又在許多自然科學(xué)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.如何得到高階矩陣逆的簡(jiǎn)單計(jì)算公式至今仍然困擾著許多高校教師和學(xué)子們.如果對(duì)其進(jìn)行分塊，把高階矩陣逆的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為若干個(gè)低階矩陣的運(yùn)算，那么計(jì)算起來(lái)就會(huì)簡(jiǎn)單得多，同時(shí)也使得原矩陣的結(jié)構(gòu)顯得簡(jiǎn)單且清晰.因此，矩陣的分塊是處理高階矩陣運(yùn)算的一種非常有效的方法，但是大多數(shù)理工科線性代數(shù)教材只是簡(jiǎn)單地介紹了分塊矩陣的概念和一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算，對(duì)其相關(guān)應(yīng)用介紹的并不多.受此啟發(fā)，本文主要針對(duì)高階矩陣逆的分塊計(jì)算進(jìn)行探究.希望本文的結(jié)果對(duì)矩陣相關(guān)領(lǐng)域的研究、教學(xué)以及考研等有所幫助.

2 分塊矩陣的初等變換

初等變換和初等矩陣是矩陣求逆運(yùn)算的一個(gè)非常簡(jiǎn)單且有效的工具.初等變換和初等矩陣同樣可以推廣到分塊矩陣，具體可參考文獻(xiàn)[1-3].下面簡(jiǎn)單地介紹分塊矩陣的初等變換和初等矩陣.

設(shè)M是一個(gè)由l行m列子矩陣Mij所構(gòu)成的分塊矩陣：

下列三種變換稱為分塊矩陣的初等變換：

（1）交換分塊矩陣M的兩行（列）;

（2）用一個(gè)可逆矩陣左（右）乘分塊矩陣M的某一行（列）;

（3）用某一矩陣左（右）乘分塊矩陣M的某一行（列）加到另一行（列）上去.

設(shè)E是一個(gè)由l行m列單位矩陣Eij所構(gòu)成的分塊單位矩陣：

則其經(jīng)過(guò)一次初等變換所得到的分塊矩陣稱為初等分塊矩陣.初等分塊矩陣有三種：

（1）交換E的第i，j兩行（列）得到初等分塊矩陣記作E（i，j）;

（2）用可逆矩陣Q左（右）乘E的第i行（列）得到初等分塊矩陣記作E（i（Q））;

（3）用矩陣Q左乘E的第j行加到第i行得到初等分塊矩陣記作E（j（Q），i）;它也可以表示矩陣Q右乘E的第i列加到第j列.

對(duì)分塊矩陣M作初等變換，有如下性質(zhì)：

（1）對(duì)分塊矩陣M作一次初等行變換，相當(dāng)于在M的左邊乘以相對(duì)應(yīng)的初等分塊矩陣;

（2）對(duì)分塊矩陣M作一次初等列變換，相當(dāng)于在M的右邊乘以相對(duì)應(yīng)的初等分塊矩陣.

3 高階矩陣逆的分塊計(jì)算法

對(duì)于分塊矩陣的運(yùn)算來(lái)說(shuō)，二階分塊矩陣的運(yùn)算是最簡(jiǎn)單的，所以本文主要考慮由四個(gè)子矩陣組成的二階分塊矩陣.如果一次二階分塊后，發(fā)現(xiàn)有子矩陣仍為高階矩陣，那么可以對(duì)其進(jìn)行多次二階分塊，最后達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.應(yīng)用分塊矩陣求矩陣的逆相關(guān)文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)[4-7].但上述專著和文獻(xiàn)給出求逆公式大都是根據(jù)待定系數(shù)法證明，或者只是簡(jiǎn)單地進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)公式的由來(lái)和證明不夠合理，而且還有部分文獻(xiàn)只是給出的是一些特殊分塊矩陣的逆公式[7]，對(duì)一般矩陣的逆并沒(méi)有給出.本節(jié)內(nèi)容將解決這一問(wèn)題.

4 總結(jié)

作者在線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的理工科線性代數(shù)教材以及習(xí)題往往只涉及一些低階矩陣逆的計(jì)算，對(duì)于高階矩陣逆的計(jì)算涉及很少.可能是因?yàn)楦唠A矩陣逆的計(jì)算復(fù)雜且計(jì)算量大的原因.但是高階矩陣逆運(yùn)算又在許多自然科學(xué)領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.如何得到高階矩陣逆的簡(jiǎn)單計(jì)算公式呢？受此啟發(fā)，本文主要應(yīng)用分塊矩陣的初等變換法探討高階矩陣的逆矩陣，并給出具體的計(jì)算公式.本文的結(jié)果對(duì)高校教師進(jìn)行線性代數(shù)矩陣方面的教學(xué)以及學(xué)生考研都有著一定的幫助，也進(jìn)一步補(bǔ)充和完善了這方面的教學(xué)內(nèi)容.如有不妥之處，請(qǐng)予指正.

參考文獻(xiàn)：

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〔2〕陳本美，林宗利，司馬詡.線性系統(tǒng)理論：結(jié)構(gòu)分解法[M].席斌，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

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〔4〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)[M].第3版.北京：高等教育出版社，1999.

〔5〕江蓉，王守中.分塊矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用及其教學(xué)方法探討[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，42（6）：167-171.

〔6〕陳本美，林宗利，司馬詡.線性系統(tǒng)理論：結(jié)構(gòu)分解法[M].席斌，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

〔7〕馬學(xué)玲，詹建明.淺談逆矩陣求解的方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，30（11）：3-5.