楊曉麗 許 雷
(1 內(nèi)江師范學(xué)院生命科學(xué)學(xué)院;2 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 四川內(nèi)江 641199)
分?jǐn)?shù)階微積分是常微分和積分到任意階的推廣。與整數(shù)階相比,分?jǐn)?shù)階微分方程在物理現(xiàn)象的模擬上有許多優(yōu)勢(shì)[1]。近幾十年來(lái),分?jǐn)?shù)偏微分方程被廣泛用于描述工程過(guò)程和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。越來(lái)越多的研究人員致力于研究求解分?jǐn)?shù)微分方程以及解的存在性和唯一性。由于分?jǐn)?shù)階微分算子具有全局性以及對(duì)偶算子不是其負(fù)算子的性質(zhì),很難對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行求解,因此很多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階問(wèn)題的數(shù)值方法進(jìn)行了研究。針對(duì)不同類型的方程提出了不同數(shù)值方法。常用的方法包括有限差分方法[2],有限元方法[3],譜Galerkin方法[4]以及正交多項(xiàng)式的方法。常用的多項(xiàng)式方法有Legendre多項(xiàng)式[5]、Chebyshev多項(xiàng)式[6]、Bernstein多項(xiàng)式[7],以及Bernoulli多項(xiàng)式[8]。目前用Bernoulli多項(xiàng)式求解分?jǐn)?shù)階微分方程的文獻(xiàn)很少,且運(yùn)算較為復(fù)雜,因此基于分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣的方法,引入Chebyshev多項(xiàng)式,結(jié)合tau法和配方法將分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為線性或者非線性方程組,以降低問(wèn)題的復(fù)雜性。
(一)Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階微分[9]
定義1:Caputo類型的分?jǐn)?shù)階微分定義
其中,α>0,n是比α大的最小的整數(shù),對(duì)于Caputo微分有DαC=0,C為常數(shù)
其中,γ和δ為常數(shù)。
(二)Chebyshev多項(xiàng)式的性質(zhì)[10]
定義2:定義在[-1,1]上的Chebyshev 多項(xiàng)式為可由如下遞推公式得到:
移位Chebyshev多項(xiàng)式的解析解表示為:
滿足如下正交性:
(三)Chebyshev 多項(xiàng)式函數(shù)逼近。設(shè)H=L2([0,1])Chebyshev多項(xiàng)式集合,γ=則對(duì)于H空間中的任意函數(shù)存在唯一的最佳近似g(t)∈γ:
式(7)等價(jià)于
其中,系數(shù)可以由如下公式得到,
在實(shí)踐中,只用前N+1項(xiàng),即
利用公式(12)得到,
引理1:設(shè)Chebyshev多項(xiàng)式,則
引理1 利用Caputo 微分的定義和公式(5)很容易證明,在此略。
定理1:設(shè)為移位Chebyshev向量,v>0,
其中,D(v)為維的在caputo 意義上的分?jǐn)?shù)階微分的運(yùn)算矩陣,定義如下:
證明:
利用N+1項(xiàng)Chebyshev多項(xiàng)式逼近tk-v,得到
整理公式(18)(19)就可以得到證明的結(jié)果
(一)線性分?jǐn)?shù)階微分方程的求解??紤]Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階微分方程具有如下的形式:
初始條件滿足:
利用Chebyshev多項(xiàng)式可以將y(t)和ɡ(t)近似為:
其中,向量G可以由公式(10)求得,為未知向量,根據(jù)定理1,分?jǐn)?shù)階微分可以做如下近似:
因此,公式(14)的殘差R(t)可以表示為:
利用經(jīng)典的Tau方法,我們可以利用如下公式產(chǎn)生維的N-m+1線性方程組:
利用初始條件可以得到,
(二)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的求解。對(duì)于如下的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程:
初始條件如(21)式,0<q1<…<qk<μ,則y(t),Dμy(t),以及Dq jy(t)的近似處理和線性方程一樣,因此可以得到,
在配置點(diǎn)上,上述公式是完全相等的,因此選擇為N-m+1移位勒讓德多項(xiàng)式的根為配置點(diǎn)聯(lián)合初始條件得到N+1維的非線性方程組,利用典型的迭代方法,如牛頓迭代方法就能得到的近似解。
例1:考慮如下非線性初值問(wèn)題[11],
精確解為y(t)=t2
假設(shè)N=2,則方程的解可近似為:
因此可以得到線性方程組:
解得CT=[0.375 0.5 0.125]
例2:考慮如下邊界Bagely-Torvik問(wèn)題[12],
上述方程有精確解y(t)=t2
假設(shè)N=2,則方程的解可近似為:
對(duì)邊界條件進(jìn)行處理得:
因此,利用3.1節(jié)的方法,同樣可以得到
文本提出了解決一類分?jǐn)?shù)階微分方程的Chebyshev矩陣方法?;贚2空間下,任意函數(shù)可由Chebyshev 多項(xiàng)式張開(kāi),將分?jǐn)?shù)階的微分方法轉(zhuǎn)化為線性或者非線性方程組進(jìn)行求解,降低了方程的計(jì)算復(fù)雜性,并通過(guò)實(shí)例分析證明了算法的有效性。