崔穎

摘要：研究了一類(lèi)切換時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，其中估計(jì)器的增益矩陣具有不確定性.首先，通過(guò)構(gòu)造模態(tài)依賴(lài)的Lyapunov泛函，并利用Jensen不等式和平均駐留時(shí)間技巧建立了非脆弱估計(jì)器存在的充分條件.接著，應(yīng)用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計(jì)器的增益矩陣.

關(guān)鍵詞：切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);混合時(shí)滯;狀態(tài)估計(jì);線性矩陣不等式

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.14? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）09-0004-04

1 引言

近年來(lái)，遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已被廣泛用于信號(hào)處理、優(yōu)化、模型識(shí)別、聯(lián)想記憶等方面[1-2].由于在生物網(wǎng)絡(luò)中信號(hào)傳播時(shí)間的有限性，或電子網(wǎng)絡(luò)中放大器切換速度的有限性等原因，各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯現(xiàn)象.目前，時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的動(dòng)力學(xué)行為得到了廣泛的研究，尤其是穩(wěn)定性分析.例如，文獻(xiàn)[3]運(yùn)用Lyapunov泛函方法分析了混合時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[4]針對(duì)具有時(shí)變離散時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)構(gòu)造增廣的Lyapunov泛函，并結(jié)合參數(shù)依賴(lài)的矩陣不等式，建立了時(shí)滯依賴(lài)的穩(wěn)定性條件.

另一方面，神經(jīng)元的狀態(tài)難以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)輸出獲得，所以，為了獲取神經(jīng)元的狀態(tài)，我們可以利用獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)神經(jīng)元的狀態(tài).由此而形成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題已經(jīng)引起了人們的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[5]研究了具有模式依賴(lài)混合時(shí)滯的Markov切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]針對(duì)時(shí)變時(shí)滯的離散切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了非脆弱的濾波器，使得濾波器在參數(shù)不確定的情況下仍能保證狀態(tài)估計(jì)結(jié)果的精確性.

此外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)常會(huì)呈現(xiàn)切換現(xiàn)象.近來(lái)，平均駐留時(shí)間方法已被用于分析切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性.例如，文獻(xiàn)[7]應(yīng)用比較原理和平均駐留時(shí)間方法建立了切換基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù).文獻(xiàn)[8]研究了具有無(wú)窮分布時(shí)滯的切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在任意切換信號(hào)下的魯棒指數(shù)穩(wěn)定性.然而，具有時(shí)變混合時(shí)滯的切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題還有待進(jìn)一步研究.

綜上所述，本文將考慮一類(lèi)切換時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.所研究的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題中，估計(jì)器的參數(shù)具有不確定性.首先，我們將運(yùn)用平均駐留時(shí)間方法得到非脆弱估計(jì)器存在的充分條件.接著，應(yīng)用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計(jì)器的增益矩陣.

2 模型的刻畫(huà)

我們考慮時(shí)滯切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如下：

x（k+1）=Ak）x（k）+Bk）f（x（k））+Ck）g（x（k-1（k）））

+Dk）h（x（k-i）），? （1a）

y（k）=Ek）x（k），? （1b）

x（l）=（l），k0-r≤l<k0，? （1c）

其中x（k）∈Rn，y（k）∈Rq分別表示狀態(tài)向量和輸出向量，1（k）和2（k）分別表示時(shí)變的離散時(shí)滯和分布時(shí)滯.記r=max{1，M，2，M}，其中1，m≤1（k）≤1，M，2，m≤2（k）≤2，M.矩陣Ak）x（k）=diag{a1，k），a2，k），…，an，k），}（|ai，k）|<1）表示神經(jīng)元的自反饋矩陣，矩陣Bk），Ck）和Dk）是連接加權(quán)矩陣.

f（x（k））=[f1（x1（k）），f2（x2（k）），…，fn（xn（k））]T，

g（x（k））=[g1（x1（k）），g2（x2（k）），…，gn（xn（k））]T，

和h（x（k））=[h1（x1（k）），h2（x2（k）），…，hn（xn（k））]T，表示神經(jīng)元的激勵(lì)函數(shù).

在系統(tǒng)（1）中，？滓.Z≥0→∏={1，2，…，m0}表示切換信號(hào)，其中m0為正整數(shù).記切換序列為

{（k0），k0），（k1），k1），…，（kt），kt），…，}.

假設(shè)1[3] 系統(tǒng)（1）中激勵(lì)函數(shù)f，g，h滿足

i-=≤i+，i-=≤i+

i-=≤i+，

其中i-，i+，i-，i+，i-，i+是常數(shù)，i∈{1，2，…，n}.

對(duì)于切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1），我們考慮如下的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器

（k+1）=Ak）（k）+Bk）f（（k））+Ck）g（（k-1（k）））

+Dk）h（（k-i））+（Kk）+Kk）（k））（y（k）-Ek）（k）），? （2）

其中Kk）為估計(jì)器的增益矩陣，增益矩陣的變化Kk）（k）滿足

Kk）（k）=Mk）F（k）Nk），? （3）

其中FT（k）F（k）≤I，？坌k∈N+.

定義誤差向量e（t）=（k）-x（k），再由（1）式與（2）式得到狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)

e（k+1）=（Ak）-Kk）Ek）-Kk）（k）Ek））e（k）+Bk）（e（k））

+Ck）（e（k-1（k）））+Dk）（e（k-i）），? （4）

其中

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=f（（k））-f（x（t））

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=g（（k））-g（x（t））

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=h（（k））-h（x（t））

定義1 若存在常數(shù)∈（0，1）和K>0，當(dāng)增益矩陣的變化滿足條件（3）時(shí)，狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)（4）的解都滿足

||e（k）||≤K||？漬（l）||（？坌k∈Z），

我們稱(chēng)系統(tǒng)（4）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

定義2 如果狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)（4）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的，那么稱(chēng)系統(tǒng)（2）是切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器.

定義3 在區(qū)間[k0，k）上，切換信號(hào)？滓的切換次數(shù)記為Nk，k0）.如果存在常數(shù)N0≥0和T0>0，使得Nk，k0）.≤+N0成立，我們稱(chēng)T0為平均駐留時(shí)間，N0為抖振界.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文假設(shè)N0=0.

本文的目的是設(shè)計(jì)切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器（2）.我們將通過(guò)構(gòu)造模式依賴(lài)的Lyapunov泛函，并應(yīng)用線性矩陣不等性方法得到非脆弱估計(jì)器（2）存在的充分條件，進(jìn)而求解狀態(tài)估計(jì)器的增益矩陣.

3 主要結(jié)果和證明

在這部分，我們將首先基于切換系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析方法得到非脆弱估計(jì)器（2）存在的充分條件.為此，我們給出下面一些引理.

引理1[9] 設(shè)，和F是具有恰當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，且F滿足FTF≤I，則對(duì)？坌？著>0，有

F+（F）T≤？著-1T+？著T

為了方便后面的表示，我們記

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

我們先考慮下面具有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)

e（k+1）=（A-（K+K）E）e（k）+Bf（e（k））

+Cg（e（k-1（k）））+Dh（e（k-i）），

其中K（k）滿足K（k）=MF（k）N和FT（k）F（k）≤I，？坌k∈N+.

引理2 在假設(shè)1之下，若存在正定矩陣Q，R，S，對(duì)角矩陣∑，r，，和正常數(shù)？著使得對(duì)任給的∈（0，1），下面的線性矩陣不等式（5）成立，

=

<0， （5）

其中

Ak=A-KE，

11=-Q-∑1-r1-1，

33=（1+1，M-1，m）R-r，

55=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]S-，

則系統(tǒng)（4）是魯棒全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 為表示方便，我們引入以下記號(hào)

Xk=[eT（k） eT（k-1） … eT（k-r）]T，

（k）=[eT（k） T（x（k）） T（x（k）） T（e（k-1（k）））

T（e（k））T（e（k-i））]T，

=[AK B 0 C 0 D}，

（k）=[-K（k）E 0 0 0 0 0}，

（k）=[AK-K（k）E B 0 C 0 D}，

我們構(gòu)造如下的Lyapunov泛函：

V（Xk，k）=Vj（xk，k），? （6）

其中

V1（xk，k）=eT（k）Qe（k），

V1（xk，k）=k-1-iT（e（i））R（e（i）），

V3（Xk，k）=k-1-iT（e（i））R（e（i）），

V4（Xk，k）=k-1-iT（e（i））S（e（i）），

V5（Xk，k）=k-1-iT（e（i））S（e（i））.

沿著系統(tǒng)（3），可計(jì)算V（Xk，k）的差分，

V1（k+1）-V1（k）=T（k）T（k）Q（k）（k）-eT（k）Qe（k）? （7）

V2（k+1）-V2（k）≤T（e（k））R（e（k））-T（e（k-1（k）））

×R（e（k-1（k）））+k-iT（e（i））R（e（i））

-k-iT（e（i））R（e（i）），?? （8）

V3（k+1）-V3（k）=（1，M-1，m）T（e（k））R（e（k））

-dT（e（k-d））R（e（k-d）），? （9）

V4（k+1）-V4（k）≤2，MT（e（k））S（e（k））

-T（e（k-d））S（e（k-d）），? （10）

V5（k+1）-V5（k）≤（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）（T（e（k））

×S（e（k））-dT（e（k-d））S（e（k-d））.? （11）

由假設(shè)1并應(yīng)用文獻(xiàn)[5]中引理3得

T（e（k））∑（e（k））+eT（k）∑1e（k）-2eT（k）∑2（e（k））≤0， （12）

T（e（k））r（e（k））+eT（k）r1e（k）-2eT（k）r2（e（k））≤0， （13）

T（e（k））（e（k））+eT（k）1e（k）-2eT（k）2（e（k））≤0. （14）

同時(shí)，根據(jù)離散型Jensen不等式得

-T（e（k-d））S（e（k-d））

≤-T（e（k-d））×ST（e（k-d））. （15）

于是，由（7）-（15）式得到

V（Xk+1，k+1）-V（Xk，k）≤T（k）（1+T（k）Q（k））（k）， （16）

其中

1=

事實(shí)上，根據(jù)Schur complement引理知，

（k）=

<0. （17）

1+T（k）Q（k）<0成立當(dāng)且僅當(dāng)（17）式成立.

由于（k）+0+（k），其中

0= ，

（k）=.

記=[0 0 0 0 0 0 Q]T，

=[N 0 0 0 0 0 0].

由條件（3）式得到

（k）≤？著ETTE+？著-1MMTT.

于是，（k）≤0+？著ETTE+？著-1MMTT.故由Schur complement引理知，當(dāng)<0時(shí)，1+T（k）Q（k）<0成立.因此，V（Xk+1，k+1）≤V（Xk，k），進(jìn)而得到

V（Xk，k）≤V（X，k0），？坌k∈Z≥k0，? （18）

故由定義1知，系統(tǒng)（4）是魯棒全局指數(shù)穩(wěn)定.證畢.

基于引理2，我們將應(yīng)用平均駐留時(shí)間方法得到狀態(tài)誤差系統(tǒng)（4）的魯棒穩(wěn)定性.

定理1 在假設(shè)1之下，若存在常數(shù)？著i>0，正定矩陣Qi，Ri，Si，（i∈∏），和對(duì)角矩陣∑，r，，使得對(duì)任給的？滋≥1，∈（0，1），下面的線性矩陣不等式成立

T0≥T0*=-，? （19）

Qi≤？滋Qj，Ri≤？滋Rj，Si≤？滋Sj，? （20）

i=

<0， （21）

其中

A=Ai-KiEi

11，i=-Qi-∑1-r1-1，

33，i=（1+1，M-1，m）R1-r，

55，i=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]Si-，

則狀態(tài)誤差系統(tǒng)（4）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 構(gòu)造如下的模式依賴(lài)Lyapunov泛函：

Vk）（k）：=Vk）（Xk，k）=Vj（Xk，k），

其中

V1，k）（Xk，k）=eT（k）Qk）e（k），

V2，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Rk）（e（i）），

V3，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Rk）（e（i）），

V4，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Sk）（e（i）），

V5，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Sk）（e（i））.

當(dāng)k∈[kt，kt+1）時(shí)，由條件（21）并應(yīng)用引理2中（18）式，及條件（20）式得，

Vk）（Xk，k）≤？滋V≤（？滋）V（k0）.

再由（19）式得0<？滋<1，故根據(jù)定義1得，狀態(tài)誤差系統(tǒng)（1）是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

定理1建立了非脆弱狀態(tài)估計(jì)器（2）存在的充分條件. 接下來(lái)，我們將應(yīng)用線性矩陣不等式技巧得到估計(jì)器的增益矩陣.

定理2 在假設(shè)1之下，若存在常數(shù)？著i>0，正定矩陣Qi，Ri，Si（i∈∏），矩陣Pi和對(duì)角矩陣∑，r，，使得對(duì)任給的？滋≥1，∈（0，1），下面的線性矩陣不等式成立

T0≥T0*=-，? （22）

Qi≤？滋Qj，Ri≤？滋Rj，Si≤？滋Sj，? （23）

i=

其中

11，i=-Qi-∑1-r1-1，

33，i=（1+1，M-1，m）R1-r，

55，i=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]Si-，

則系統(tǒng)（1）是切換時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器，其中Ki=Qi-1Pi，i∈∏.

證明 令Pi=QiKi，由（24）式可得（21）式成立，故由定理1知此定理成立.證畢.

4 數(shù)值舉例

考慮具有兩種模式的切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1），系統(tǒng)參數(shù)如下：

A1=，B1=，C1=，

D1=，E1=[1 0]，E2=[0 1]，

A2=，B2=，C2=，

D2=，

Mi=diag{0.1，0.1}，Ni=[0.1 0.1]T，i=1，2.

6≤1（k）≤8，1≤2（k）≤2，？滋=1.2.

取激勵(lì)函數(shù)為

f（u）=g（u）=h（u）=

由上面的參數(shù)，我們可得

1=1=1=0，2=2=2=.

應(yīng)用Matlab軟件，我們得到線性矩陣不等式（22）-（24）的一組可行解

Q1=，R1=，

S1=，？著1=0.5569，？著2=0.5593，

Q2=，R2=，

S2=，∑=diag{0.6886，1.1149}，

r=diag{1.9342，2.4710}，=diag{1.6072，2.0936}，

P1=[0.0279 -0.0890]T，P2=[0.0814 0.1471]T，

K1=[0.0125 -0.0874]T，K2=[0.0863 0.1608]T.

于是，由定理2可知，具有上述參數(shù)的系統(tǒng)（2）是切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器.

5 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)時(shí)滯切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，其中估計(jì)器的增益矩陣具有不確定性.我們通過(guò)構(gòu)造模式依賴(lài)的Lyapunov泛函，并利用Jensen不等式和平均駐留時(shí)間技巧建立了非脆弱估計(jì)器存在的充分條件.接著，應(yīng)用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計(jì)器的增益矩陣.

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕Q. Yu， R. Yan， H. J. Tang， K. C. Tan and H. Z. Li， A spiking neural network system for robust sequence recognition [J]. IEEE Trans. on Neural Networks Learning Systems， 2016， 27 （3）： 621—635.

〔2〕S. H. Lee， C. S. Chan and P. Remagnino， Multi-organ plant classification based on convolutional and recurrent neural networks [J]. IEEE Trans. on Image Processing， 2018， 27 （9）： 4287—4301.

〔3〕Y. R. Liu， Z. D. Wang and X. H. Liu， Global exponential stability of generalized recurrent neural networks with discrete and distributed delays [J]. Neural Networks， 2006， 19 （5）： 667—675.

〔4〕Y. J. Liu， J. H. Park and F. Fang， Global exponential stability of delayed neural networks based on a new integral inequality [J]. IEEE Trans. on Systems， Man， and Cybernetics： Systems， 2018， doi： 10.1109/tsmc. 2018. 2815560.

〔5〕Y. R. Liu， Z. D. Wang and X. H. Liu， State estimation for discrete-time Markovian jumping neural networks with mixed mode-dependent delays[J]. Physics Letters A， 2008， 372： 7147-7155.

〔6〕蘇子漪，陳友榮，任條娟，時(shí)滯切換離散遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱性濾波器設(shè)計(jì)[J].浙江樹(shù)人大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，17（3）：1-6.

〔7〕W. B. Zhang， Y. Tang， X. T. Wu and J. A. Fang， Stochastic stability of switched genetic regulatory networks with time-varying delays， IEEE Trans. On Nano Bioscience， 2014， 13 （3）： 336-342.

〔8〕薛煥斌，張繼業(yè).時(shí)滯切換不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2018，16（1）：65-71.

〔9〕將國(guó)民，劉玉榮，基于線性矩陣不等式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒穩(wěn)定性[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，9（4）：7-11.