王垂趁

轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)四大思想方法之一，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位。運(yùn)用得當(dāng)能使得問題的解決大大降低難度。在高中數(shù)學(xué)各個(gè)章節(jié)中有普遍的應(yīng)用，如函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，正與反的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，等等。本文僅在立體幾何方面就該思想的應(yīng)用作些嘗試，旨在學(xué)習(xí)該思想的應(yīng)用，所有問題均不考慮空間向量的解法。

一、利用轉(zhuǎn)化思想求空間距離。

例1、如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面

ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=∠A1AC=60°，點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影為O。

（1）證明：A1O//平面CB1D1。（本文略）

（2）求點(diǎn)B1到平面A1BC的距離。

分析：直接過點(diǎn)B1作平面A1BC的垂線明顯不甚理想，容易想到對(duì)四面體B1-A1BC變換頂點(diǎn)和底面用等體積法來求解，但是四面體B1-A1BC中無論哪個(gè)面作底面也都是不甚理想。這時(shí)應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變思路。思路一：在計(jì)算四面體B1-A1BC的體積時(shí)不再局限在四面體B1-A1BC本身，而是考慮利用等底等高等手段變換為其它四面體。如圖1.

簡(jiǎn)解如下：A1O=3，，從而，而，故所求為。（注：轉(zhuǎn)變?yōu)?、等亦可。）思路二：在?jì)算四面體B1-A1BC的體積時(shí)，也可以利用割補(bǔ)法，避開四面體B1-A1BC本身，探求其與柱體體積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求柱體體，如圖2。

二、利用轉(zhuǎn)化思想求空間角

當(dāng)直線m//n時(shí)，若m與其它線、面所成的角較為難以求解時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為n與其它線、面所成的角。當(dāng)平面α//β時(shí)同理。

例2、平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α平行于平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為_______（圖3）

該題參考答案是在原正方體上方補(bǔ)一個(gè)同樣的正方體，

再去尋找m，n的平行線。此法比較抽象，而且平面α與直線m也未出現(xiàn)，需要再借助平行面、平行線。

優(yōu)化：拋開α，只看平面CB1D1，轉(zhuǎn)化為平行線來處理。

根據(jù)α//平面CB1D1，可知m//B1D1，n//CD1，則轉(zhuǎn)化

為求B1D1與CD1所成角的正弦，易知它們所成角為60°

例3、長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，

CC1=1，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，B1C1中點(diǎn)，

求直線BG與平面A1EF所成的角的余弦值。（圖4）

思路一：尋找線的平行線。（作圖略，N，H，M為所在棱中點(diǎn)），轉(zhuǎn)化為BG的平行線EH與平面A1EF所成的角。在小正方體AENF-A1E1HM中，利用AH⊥平面A1EF，用常規(guī)方法不難得所求為。思路二：尋找面的平行平面。如圖6，將長(zhǎng)方體補(bǔ)成正方體，轉(zhuǎn)化為平面A1EF的平行平面A2BD與直線BC2所成的角，同思路一解答即可。

文末提供一個(gè)習(xí)題供大家練習(xí)，解答思路與上例相同：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2AC⊥BC，D為AB中點(diǎn)，求C1D與平面A1BC所成的角。

思路二，轉(zhuǎn)化為OE與平面A1BC所成的角（作圖略）。其中E到平面A1BC的距離可以用等體積法等方法求得，設(shè)所求角為，由可知。

思路三：轉(zhuǎn)化為C1D與平面DFG所成的角（作圖略）。不難證明AC1⊥平面DFG，則∠C1DH即為所求角。

總的來說，轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)常能夠把困難的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。在立體幾何中除了前面所述的兩個(gè)方面的應(yīng)用，還有其它方面的廣泛應(yīng)用，比如在折疊問題中抓住變化中的不變量，進(jìn)行動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化;在最短路徑問題中利用展開圖進(jìn)行空間與平面的轉(zhuǎn)化，等等，使用得當(dāng)往往頗有奇效，