徐建中　莫嘉琪

摘要：利用廣義變分迭代方法討論了一類非線性強(qiáng)迫擾動(dòng)Klein-Gordon方程.首先，用雙曲函數(shù)待定系數(shù)法求得了無擾動(dòng)方程孤子波.其次，利用泛函變分迭代原理得到了強(qiáng)迫擾動(dòng)Klein-Gordon方程的一個(gè)攝動(dòng)近似解.最后，論述了解的一致有效性.得到的近似解是解析式，它可對(duì)近似解進(jìn)行解析運(yùn)算，這對(duì)用簡單的模擬方法得到的近似解是達(dá)不到的.

關(guān)鍵詞：攝動(dòng)解;孤子波;變分迭代

中圖分類號(hào)：0157.29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641. 2019.06.003

0 引言

非線性孤子波理論在地球物理、光學(xué)、力學(xué)、理論物理學(xué)等學(xué)科中有很重要的應(yīng)用.例如在地理科學(xué)、海洋物理、散射波、燃燒理論等方面，許多學(xué)者作了多方面的研究，如Salathiel等利用Riccati方程映射方法研究了電晶格孤子行波[1]，Yu等研究了Bose-Einstein冷凝體的孤子波[2]、 Chow等研究了K-折疊松散的Ricci孤子波[3]，等等[4-9].非線性孤子波理論的定量和定性方法已有很多的改進(jìn)，非線性孤子波解的一種研究方法是擾動(dòng)理論的近似方法，主要是用擾動(dòng)理論的近似展開式將非線性孤子波方程轉(zhuǎn)化為易求解的方程來求解，這樣就擺脫了對(duì)于模擬數(shù)值方法的依賴.此方法的優(yōu)點(diǎn)在于思路直接明了，計(jì)算簡單，可得到解的較高近似度.且求得的近似解具有解析性態(tài)，故不但能進(jìn)行定量方面的分析，而且還能進(jìn)行定性方面的分析.此方法使用面廣，具有較廣的研究前景，

作者等人利用廣義變分迭代、同倫映射、微分不等式和不動(dòng)點(diǎn)理論等方法也研究了一些孤立波理論及有關(guān)的非線性問題[10-15].本文就是研究一類非線性高維擾動(dòng)KG（Klein-Gordon）方程.對(duì)于一般較典型的KG方程已有許多研究，它代表的是許多自然現(xiàn)象的簡化情形.但此類方程已經(jīng)不完全能滿足當(dāng)前科學(xué)發(fā)展的要求，所以需要研究更能反映自然現(xiàn)象的廣義非線性高維強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程.

1 非線性高維擾動(dòng)KG方程

考慮如下廣義非線性擾動(dòng)KG方程：其中a，m，k為正的常數(shù)，f為非線性強(qiáng)迫擾動(dòng)項(xiàng)，它是關(guān)于其變量為足夠光滑的函數(shù).

近年來，關(guān)于非線性KG方程解的研究大體集中在兩個(gè)方面.一方面是利用分析方法求出各種方程的精確解，如He等[16]利用推廣的F展開方法求得了某類發(fā)展方程的精確解，Zhang等[17]利用變形映射方法給出了方程的精確解;另一方面是定性地研究解的性態(tài)，如Zhang等[18]對(duì)KG方程給出波函數(shù)和能量方程.Teman[19]證明了一類KG方程整體吸引子的存在性.近來，典型的非線性KG方程還有許多研究，例如文獻(xiàn)[20-22]等，但一般的典型KG方程代表的是各種自然現(xiàn)象的精簡和濃縮，它不能滿足當(dāng)前科學(xué)發(fā)展的需要，故有必要來研究更能表示真實(shí)自然現(xiàn)象的廣義擾動(dòng)KG方程.顯然，復(fù)雜的非線性方程一般不能求出其精確解.本文提出了一類更一般的帶有非線性高維擾動(dòng)KG方程（1）的求近似解方法，得到的這種近似解又可以繼續(xù)進(jìn)行解析分析，進(jìn)而能得到更深入的物理性態(tài)。

首先作行波變換：

不失一般性.上述所列出的孤子波行波解（II）、（12），在泛函變分迭代方法下，都可作為擾動(dòng)KG方程的泛函迭代式的初始近似，本文是利用式（9）作為初始近似.即u0（z）=v1（z），并以此來求出對(duì)應(yīng)的各次近似解.

2 強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程解的變分迭代

為了求得非線性強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程（3）具有較好精度的近似解，現(xiàn)采用泛函分析變分迭代方法[16].作泛函F：

取ε= 0.5，由式（23）、（24）得到非線性擾動(dòng)KG方程（21）的孤子波解的一次微擾方程近似解ulapp （w）與模擬精確解的曲線比較，如圖2所示.

4 強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程近似行波解的意義

本文選取的初始近似u0。是采用典型KG方程的孤子波解.它能較快求出對(duì)應(yīng)于有擾動(dòng)項(xiàng)情形下的KG方程在所要求精度范圍內(nèi)的近似解.

由泛函變分迭代方法得到的非線性強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程的孤子波近似解uapp（t，x，y，z）是近似的解析關(guān)系式，還可通過解析運(yùn)算，譬如進(jìn)行微分、積分等運(yùn)算，繼續(xù)對(duì)非線性強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程的孤子波解作進(jìn)一步研究而得到其他相關(guān)的物理性態(tài).例如，可以通過解析式uapp（t，x，y，z）用微分運(yùn)算計(jì)算出非線性擾動(dòng)KG方程的孤子波解uapp（t，x，y，z）的關(guān)于x，y，z或t的變化率的分布情況，以此了解對(duì)應(yīng)孤子波的相關(guān)特性.再如，由近似函數(shù)u app算出強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程的孤子波解的波峰值、波谷值、拐點(diǎn)等.還可得到有關(guān)非線性強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程在大氣、海洋物理、散射波、量子力學(xué)、燃燒理論等等的其他物理量的預(yù)測.而且還可采取適當(dāng)措施，改變強(qiáng)迫擾動(dòng)KG方程的非線性擾動(dòng)項(xiàng)，以得到所要求的大氣、物理、地理等方面的性狀。

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（責(zé)任編輯：林磊）

收稿日期：2018-08-14

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（41275062）;安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2017A704，KJ2019A1303）;安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（gxyq2018116）;安徽省優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)基金（2016jytd080）;毫州學(xué)院自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（BY22018803）

第一作者：徐建中，男，副教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)、生態(tài)數(shù)學(xué).E-mail： xujianzhongok@163.com.

通信作者：莫嘉琪，男，教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)、生態(tài)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、工程數(shù)學(xué).E-mail： mojiaqi@mail.ahnu.edu.cn.