邱紅英 吳海軍

歷年來，高考應(yīng)用題讓考生們既愛又恨，由于難易適中，得之，可以滿載而歸，不得，甚至顆粒無收。那么，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題究竟難在什么地方呢？經(jīng)筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)很多不會(huì)解應(yīng)用題的學(xué)生遇到的主要困難是讀不懂題，他們因?yàn)槿狈υ囶}背景的那種生活經(jīng)驗(yàn)，弄不懂那些比較復(fù)雜的實(shí)際背景，最后不得不放棄。那么如何幫助學(xué)生克服上述困難，正確的解答應(yīng)用題呢？顯然，讓學(xué)生去一一具備試題背景中的生活經(jīng)驗(yàn)是根本不現(xiàn)實(shí)的，在這種情況下應(yīng)通過什么樣的方式讓學(xué)生克服這個(gè)困難呢？要解決這個(gè)問題得從高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題本身具有的特征來進(jìn)行分析，筆者通過對(duì)歷年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的分析，總結(jié)出可以用以下三句話來避開難點(diǎn)，對(duì)高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題建模：1.算什么？2.他有哪些部分組成？3.如何用已知條件表示？

下面，我們以2018年江蘇高考第17題為例來具體分析。

真題再現(xiàn)：某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.

（1）用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍;

（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

分析：本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.第（1）問很明確，求矩形ABCD的面積和等腰△CDP的面積，要表示出面積，離不開對(duì)長度的計(jì)算，此時(shí)，我們可以考慮對(duì)圖形進(jìn)行分割，尋找特殊三角形，沒有特殊三角形時(shí)可以考慮正、余弦定理或者建系求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)以上分析，筆者整理了以下三種求面積的方法，大家可以比較優(yōu)劣，最終找到通性通法.

解：（1）

解法一：如圖，連結(jié)PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10.

過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，

（或過O作OE∥MN，則∠COE=θ，OE⊥BC）

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）.

過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10.

令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）.

當(dāng)θ∈[θ0，）時(shí)，才能作出滿足條件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范圍是[，1）.

答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為

1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范圍是[，1）.

注意，第（1）問的難點(diǎn)是準(zhǔn)確求出sin的取值范圍，判斷sinθ的取值范圍時(shí)，下列方法也是可以的：

a.利用極限位置來處理，當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)N重合時(shí)，sinθ=

b.sinθ0=

c.因?yàn)?，，即，?/p>

d.因?yàn)?，?/p>

e.圖中作出輔助線NG

解法二：

OE⊥BCOE∥MN（或OE∥MNOE⊥BC）

故

所以

設(shè)DC中點(diǎn)為Q，因?yàn)?/p>

所以

故矩形ABCD的面積為

=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面積為

（下同解法一）

解法三：（建系）

過O作OE⊥OP，則OE∥MN，

（或過O作OE∥MN，則∠COE=θ，OE⊥OP）

所以∠COE=θ

以O(shè)為原點(diǎn)，OE所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則直線OC的方程為

圓O的方程為：

聯(lián)立方程組，解得

故矩形ABCD的面積為

=800（4sinθcosθ+cosθ）

△CDP的面積為

=1600（cosθ–sinθcosθ）

（下同解法一）

注：建立坐標(biāo)系后也可以得到

矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為

分析：本題第（2）問只要合理利用比例關(guān)系表示甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值，就可以利用導(dǎo)數(shù)來求最值.常規(guī)解法如下：

（2）因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，

設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），

則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）.

設(shè)f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），

則

.

令，得，即θ=，

當(dāng)θ∈（θ0，）時(shí)，>0，所以f（θ）為增函數(shù);

當(dāng)θ∈（，）時(shí)，<0，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當(dāng)θ=時(shí)，f（θ）取到最大值.

答：當(dāng)θ=時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

注意，除了以上設(shè)法，以下三種設(shè)法都可以：

a.設(shè)甲的單位面積產(chǎn)值為a，則乙的單位面積產(chǎn)值為a

得

b.設(shè)乙的單位面積產(chǎn)值為b，則甲的單位面積產(chǎn)值為b

得

c.設(shè)甲的單位面積產(chǎn)值為，則乙的單位面積產(chǎn)值為

得

以上，是筆者對(duì)2018年江蘇高考應(yīng)用題的解構(gòu)，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的明確，對(duì)數(shù)學(xué)建模能力的要求愈發(fā)提高，如今，很多省份都在嘗試高考改革，降低所學(xué)內(nèi)容難度的同時(shí)，對(duì)思考應(yīng)用的要求會(huì)提高，我們要提升學(xué)生自主發(fā)展的能力和動(dòng)力，就要在教學(xué)生解決問題的同時(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析問題，思維不僵化，才能實(shí)踐創(chuàng)新，最終實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)“終生發(fā)展的人”的最終教育目標(biāo)。所以，在以后的教學(xué)過程中，我們不妨給學(xué)生多指幾條路，多一點(diǎn)探索的時(shí)間和機(jī)會(huì)，因?yàn)?，只有老師學(xué)會(huì)放手了，學(xué)生才會(huì)有展翅的可能。