邱思逸，程澤鵬，向陽，劉洪

上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240

翼尖渦是飛機(jī)尾跡中一種典型的大尺度渦結(jié)構(gòu)，大型客機(jī)的翼尖渦可以在100倍機(jī)翼弦長的尾跡區(qū)域內(nèi)維持，從而對(duì)后續(xù)飛機(jī)的安全飛行產(chǎn)生威脅，限制了機(jī)場起降頻率[1]。此外，由翼尖渦誘導(dǎo)下洗產(chǎn)生的誘導(dǎo)阻力是飛機(jī)阻力的主要來源之一[2]。Gerz等在2002年總結(jié)提出了控制飛機(jī)尾跡渦影響的兩大策略：① 減弱翼尖渦強(qiáng)度；② 使翼尖渦快速衰減[1]。目前通過加裝翼梢小翼等流動(dòng)控制方法可以有效地減少翼尖渦強(qiáng)度，然而針對(duì)第2種策略卻缺乏有效的流動(dòng)控制原理及方法。事實(shí)上，已有研究表明，渦的破碎和耗散與其不穩(wěn)定性特征密切相關(guān)[3]，而翼尖渦在演化過程中包含明顯的不穩(wěn)定性特征，其在一定條件下表現(xiàn)為低頻的搖擺運(yùn)動(dòng)(Vortex Wandering)[4-5]，這種現(xiàn)象目前被認(rèn)為主要由翼尖渦內(nèi)在的不穩(wěn)定性導(dǎo)致[6]，且在整個(gè)尾跡區(qū)內(nèi)其不穩(wěn)定性存在主導(dǎo)頻率[7-9]。通過施加與此頻率相匹配的流動(dòng)控制，或者利用渦系間的相互作用，增大翼尖渦不穩(wěn)定性的放大率[1，10]，使流動(dòng)提前進(jìn)入由短波或長波不穩(wěn)定性[11]主導(dǎo)的快速耗散狀態(tài)，可以實(shí)現(xiàn)翼尖渦的快速衰減；此外，已有研究者利用流動(dòng)不穩(wěn)定性的響應(yīng)頻率實(shí)現(xiàn)了有效的非定常推進(jìn)[12]，表明不穩(wěn)定性是一種值得深入研究并加以利用的流動(dòng)內(nèi)在特性。因此，研究翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)，可以明確不穩(wěn)定性特征對(duì)翼尖渦流動(dòng)的影響機(jī)制；在此基礎(chǔ)上，有助于進(jìn)一步利用流動(dòng)不穩(wěn)定性的頻率或模態(tài)特征激發(fā)翼尖渦發(fā)生失穩(wěn)，通過非定常的流動(dòng)控制策略對(duì)翼尖渦實(shí)施控制。

搖擺運(yùn)動(dòng)是翼尖渦在其不穩(wěn)定性特征作用下所呈現(xiàn)的具體現(xiàn)象之一，表現(xiàn)為翼尖渦在流向截面內(nèi)擬序的低頻振蕩，最初由Baker等在水槽試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)[4]。由于搖擺運(yùn)動(dòng)使翼尖渦物理參數(shù)的測量與求解產(chǎn)生誤差，消除搖擺運(yùn)動(dòng)對(duì)實(shí)際流場測量的影響以及探尋其內(nèi)在的物理機(jī)制一直是研究者的重點(diǎn)關(guān)注所在。Devenport等首次對(duì)翼尖渦搖擺現(xiàn)象予以修正，通過聯(lián)合概率密度函數(shù)近似表征瞬時(shí)渦核位置分布，并使用反卷積修正法消除翼尖渦搖擺對(duì)測量的影響，在此基礎(chǔ)上得到了清晰的遠(yuǎn)場翼尖渦湍流相干結(jié)構(gòu)[5]；同時(shí)在較小斯特勞哈爾數(shù)的條件下，觀察到了翼尖渦搖擺的各向異性現(xiàn)象。對(duì)于粒子圖像測速(PIV)試驗(yàn)測量得到的翼尖渦流場，可以使用渦核重新定位的方法進(jìn)行修正[6,13]。Deem等比較了上述兩種方法對(duì)翼尖渦搖擺的修正效果，結(jié)果表明瞬時(shí)渦核位置分布滿足高斯分布，且搖擺運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出各向異性的特點(diǎn)[14]。試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，翼尖渦搖擺幅值隨流向增長[13]，且隨迎角[15-16]與渦強(qiáng)度[13]的增大而減小。薛棟使用單點(diǎn)譜分析和動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解技術(shù)得到在雷諾數(shù)103量級(jí)下，翼尖渦搖擺的主頻率約為1 Hz[8]，也表明了搖擺運(yùn)動(dòng)存在主導(dǎo)頻率。在此基礎(chǔ)上，Edstrand等比較了理論Q渦模型的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果和翼尖渦試驗(yàn)數(shù)據(jù)的本征正交分解模態(tài)，證明了翼尖渦搖擺來源于其內(nèi)在不穩(wěn)定性特征[6]。由此可見，對(duì)于翼尖渦搖擺現(xiàn)象已經(jīng)有相對(duì)成熟的修正方法，但是在穩(wěn)定性作為翼尖渦搖擺主要原因的基礎(chǔ)上，翼尖渦搖擺現(xiàn)象自身的演化規(guī)律和機(jī)理仍沒有明確的闡釋，穩(wěn)定性對(duì)翼尖渦流動(dòng)具體的影響機(jī)制也需要進(jìn)一步分析。

通過線性穩(wěn)定性分析(Linear Stability Analysis,LSA)可以計(jì)算得到翼尖渦流動(dòng)的不穩(wěn)定性放大率、擾動(dòng)頻率和擾動(dòng)模態(tài)，從而對(duì)翼尖渦的不穩(wěn)定性特征進(jìn)行定量的分析研究[17-20]。最初，一些研究者使用線性穩(wěn)定性分析對(duì)不同翼尖渦理論模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了參數(shù)化的研究。Mayer和Fabre等使用線性穩(wěn)定性分析對(duì)翼尖渦的理論Batchelor渦模型[21]的研究結(jié)果表明，翼尖渦的不穩(wěn)定性受其旋擰度(Swirl Parameter)、擾動(dòng)周向波數(shù)n、雷諾數(shù)Re和黏性影響，增大旋擰度對(duì)翼尖渦具有穩(wěn)定作用，而增大雷諾數(shù)會(huì)減弱旋擰度的穩(wěn)定效果[22-23]。同時(shí)，研究發(fā)現(xiàn)擾動(dòng)周向波數(shù)n=-1的螺旋模態(tài)是最不穩(wěn)定的[22-24]，不穩(wěn)定性隨周向波數(shù)n增加而遞減；并且有黏流動(dòng)相比無黏流動(dòng)更穩(wěn)定[24]。然而以上研究都是基于翼尖渦理論模型，較難反映實(shí)際流動(dòng)的穩(wěn)定性。因此，有研究者對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的流動(dòng)解析解或直接數(shù)值模擬(DNS)結(jié)果進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，從而得到更接近真實(shí)的流動(dòng)穩(wěn)定性特征。Oberleithner等對(duì)試驗(yàn)測得的旋轉(zhuǎn)射流的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果表明，這種流動(dòng)存在一種自激勵(lì)的全局模態(tài)，且該模態(tài)存在主導(dǎo)頻率，并通過LSA和POD分析分別重構(gòu)了這種流動(dòng)的三維擾動(dòng)速度場[7]；Edstrand等使用Bi-Global LSA分析了DNS(Re=1 000)得到的近場尾跡區(qū)的翼尖渦流動(dòng)，探討了后緣尾跡對(duì)翼尖渦穩(wěn)定性的影響[25]。然而，目前對(duì)于翼尖渦不穩(wěn)定性放大率、擾動(dòng)頻率等不穩(wěn)定性參數(shù)隨流向的變化過程缺乏明確的定量化研究，在一定程度上限制了對(duì)于不穩(wěn)定性對(duì)翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)作用機(jī)制更深入的理解。

綜上所述，對(duì)于翼尖渦搖擺現(xiàn)象的研究主要集中于對(duì)其進(jìn)行修正以獲取更準(zhǔn)確的翼尖渦流場；雖然穩(wěn)定性作為翼尖渦搖擺的內(nèi)在原因已得到初步證實(shí)，但是翼尖渦搖擺現(xiàn)象自身的演化規(guī)律和機(jī)理尚需更深入的研究，其演化特性與不穩(wěn)定性的關(guān)系也仍需進(jìn)一步明確，從而進(jìn)一步闡釋不穩(wěn)定性特征對(duì)翼尖渦流動(dòng)的作用機(jī)制。因此，本文通過SPIV(Stereo Particle Image Velocimetry)試驗(yàn)技術(shù)測量不同雷諾數(shù)、迎角下的翼尖渦流場，得到了翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)的特征及演化過程；進(jìn)一步地，通過線性穩(wěn)定性分析研究了雷諾數(shù)和迎角對(duì)翼尖渦不穩(wěn)定性的影響，并求解其不穩(wěn)定性隨流向的演化過程和擾動(dòng)模態(tài)。在此基礎(chǔ)上，分析了翼尖渦的不穩(wěn)定性特征與搖擺運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，闡釋了翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生機(jī)制，從而為這類流動(dòng)的非定常流控策略提供參考。

1 試驗(yàn)方法與后處理計(jì)算

1.1 SPIV試驗(yàn)方法

試驗(yàn)在低速回流式風(fēng)洞中進(jìn)行，最大風(fēng)速為70 m/s，試驗(yàn)段尺寸為1.2 m×0.9 m。收縮段前安裝蜂窩網(wǎng)以降低試驗(yàn)段的湍流度，試驗(yàn)中的湍流度為0.2%。使用NACA0015等直翼產(chǎn)生翼尖渦，機(jī)翼弦長c= 0.203 m，展弦比AR=5。試驗(yàn)過程中，機(jī)翼安裝在一個(gè)與風(fēng)洞內(nèi)壁面底部固定的轉(zhuǎn)盤上以實(shí)現(xiàn)迎角的調(diào)節(jié)。測試迎角為α=4°,8°,10°；來流速度U∞=15,20,25 m/s，對(duì)應(yīng)基于弦長c的雷諾數(shù)分別為Re=2.1×105,2.8×105,3.5×105；尾跡區(qū)內(nèi)翼尖渦流場的測量范圍x/c=0.6～6.0，等距離分布共計(jì)10個(gè)截面，其中x為流向坐標(biāo)。

翼尖渦流場通過SPIV獲得，通過大小為1～5 μm 的乙二醇小油滴對(duì)流動(dòng)進(jìn)行示蹤。激光光源選用Nd:YAG雙脈沖激光發(fā)射器，對(duì)流場進(jìn)行顯示。試驗(yàn)所用激光的雙脈沖能量為2×380 mJ，雙脈沖頻率為1 Hz，激光波長為532 nm，兩次脈沖間隔為10 μs，片光源的厚度為2 mm并垂直于來流方向。使用2臺(tái)型號(hào)為Imager-Pco的高分辨率CCD相機(jī)對(duì)激光片光源照射的流場截面進(jìn)行拍攝，相機(jī)夾角為90°，如圖1所示。試驗(yàn)中圖像采集的分辨率為2 048 pixel×2 048 pixel，采樣頻率同步為1 Hz，通過532 nm波長帶通濾光鏡來提高圖像信噪比。為了得到翼尖尾跡區(qū)內(nèi)不同截面的翼尖渦結(jié)構(gòu)，可通過導(dǎo)光臂調(diào)節(jié)激光器所發(fā)射片光源在流向的位置。對(duì)每個(gè)截面采集200 s流場數(shù)據(jù)，并通過TSI INSIGHT 4G軟件對(duì)圖像進(jìn)行配對(duì)和解算，其解調(diào)范圍為24 pixel×24 pixel，有效重疊率為50%，得到翼尖渦流場在x、y、z這3個(gè) 方向的速度，并計(jì)算得到渦量場。

圖1 SPIV試驗(yàn)設(shè)置示意圖Fig.1 Schematic of SPIV experimental setup

1.2 試驗(yàn)后處理計(jì)算

通過瞬時(shí)渦核位置表征翼尖渦在搖擺過程中各個(gè)時(shí)刻的位置。由于翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)的影響，以切向和徑向速度最小位置確定的渦核位置不準(zhǔn)確，因此本研究中以渦量一階原點(diǎn)矩的方法確定翼尖渦的瞬時(shí)渦核位置：

(1)

(2)

2 翼尖渦搖擺特征

計(jì)算各截面的SPIV流場瞬時(shí)渦核位置，獲得翼尖渦在不同截面的瞬時(shí)渦核分布，如圖2所示。由圖2可知，α=8°,U∞=25 m/s條件下近場(x/c= 1.2)瞬時(shí)渦核的分布近似各向同性，隨著翼尖渦向下游傳輸，搖擺幅值逐漸放大，且渦核分布逐漸呈現(xiàn)出各向異性特征，相關(guān)系數(shù)e也反映了各向異性特征隨流向逐漸增強(qiáng)的趨勢。比較試驗(yàn)測得的瞬時(shí)渦核在y、z方向的分布與根據(jù)平均渦核位置和σy、σz確定的高斯分布，可見兩者精確符合。高斯分布描述的瞬時(shí)渦核分布定量地反映了以上翼尖渦搖擺規(guī)律，即搖擺幅值隨流向逐漸增大，并且σy>σz。

圖2 α=8°,U∞ = 25 m/s工況下的瞬時(shí)渦核分布和其概率密度函數(shù)(PDF)分布Fig.2 Distribution of instant vortex core at α=8°,U∞ = 25 m/s and corresponding probability density function distribution

2.1 翼尖渦搖擺幅值變化

計(jì)算各工況下翼尖渦搖擺幅值沿流向x的變化，使用當(dāng)量渦核半徑rc對(duì)其無量綱化，如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)搖擺幅值在各種條件下均隨流向有逐漸放大的趨勢。此外，4°迎角下翼尖渦搖擺幅值顯著大于8°和10°迎角；并且8°和10°迎角下?lián)u擺幅值隨流向增長相對(duì)于4°迎角明顯更為迅速。造成這種現(xiàn)象的原因是不同流動(dòng)狀態(tài)的翼尖渦穩(wěn)定性存在差異，外界擾動(dòng)在4°迎角條件下不易發(fā)展，因此搖擺幅值增長較為緩慢，進(jìn)一步的定量化解釋可參見第4節(jié)中的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果。比較雷諾數(shù)對(duì)翼尖渦搖擺幅值的影響，可以發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)中在Re=2.1×105,2.8×105,3.5×105條件下各迎角的翼尖渦搖擺幅值基本處在同一范圍。

圖3 翼尖渦搖擺幅值σ隨流向x的演化Fig.3 Streamwise evolution of wingtip vortex wandering amplitude σ along x

需要指出的是，翼尖渦搖擺幅值雖然沿流向總體表現(xiàn)出放大趨勢，但其過程中可能存在波動(dòng)，如在Re=2.8×105和Re=3.5×105條件下，x/c=2.4截面的翼尖渦搖擺半徑存在局部減小的情況。因此，取單一截面研究翼尖渦搖擺幅值隨迎角、雷諾數(shù)變化得到的結(jié)果可能不準(zhǔn)確[26]，應(yīng)當(dāng)從翼尖渦在尾跡區(qū)內(nèi)演化的整體角度對(duì)翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究。

2.2 翼尖渦瞬時(shí)渦核分布

在2.1節(jié)中已對(duì)翼尖渦搖擺的特征及其搖擺幅值隨流向演化進(jìn)行了闡述，為了更直觀地描述翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)隨流向的變化規(guī)律，并顯示翼尖渦隨流向運(yùn)動(dòng)軌跡，計(jì)算x/c= 1.2,3.6,6.0的瞬時(shí)渦核分布在各迎角和來流速度條件下的聯(lián)合概率密度(JPDF)分布。圖4清晰地顯示了渦核由近場的集中分布，沿流向逐漸發(fā)展為十分離散的分布，并且在機(jī)翼法向搖擺幅值更大，即具有明顯的各向異性特征，搖擺運(yùn)動(dòng)的方向與Iungo等的試驗(yàn)結(jié)果[16]一致。

圖5顯示了各個(gè)雷諾數(shù)和迎角下渦核位置聯(lián)合概率密度分布沿流向的演化過程。從圖5(a)可以觀察到，在4°迎角下翼尖渦搖擺的幅度基本隨流向保持一致，表現(xiàn)為較緩慢的增長；而在8°迎角和10°迎角條件下，翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)幅值顯著增大。此外，翼尖渦在沿流向演化過程中逐漸表現(xiàn)出明顯的各向異性，并且在大迎角條件下更為顯著。由圖5(b)和圖5(c)中的x/c=6.0截面可觀察到，在8°和10°迎角下機(jī)翼法向的搖擺運(yùn)動(dòng)明顯相比于展向的運(yùn)動(dòng)更為劇烈，而在4°迎角下這種各向異性并不十分明顯。

綜上所述，試驗(yàn)結(jié)果表明，翼尖渦在各試驗(yàn)工況下均存在搖擺運(yùn)動(dòng)，其搖擺幅值隨迎角增大而減??；但是在8°與10°迎角條件下，搖擺幅值隨流向x的增長率相比于4°則明顯更大，即在大迎角條件下，搖擺幅值的流向增長率更大；同時(shí)，翼尖渦搖擺的各向異性特征隨流向x方向逐漸增強(qiáng)。

圖4 渦核位置聯(lián)合概率密度分布(α= 10°,U∞ = 25 m/s)Fig.4 JPDF distribution of vortex core at α = 10°,U∞ = 25 m/s

3 線性穩(wěn)定性分析方法

3.1 擾動(dòng)方程

為了對(duì)翼尖渦搖擺產(chǎn)生機(jī)制進(jìn)行更深入的研究，使用線性穩(wěn)定性分析求解翼尖渦的不穩(wěn)定性演化過程和不穩(wěn)定模態(tài)。通過求解線性化的小擾動(dòng)Navier-Stokes方程，可以定量地得到反映流動(dòng)不穩(wěn)定性特征的相應(yīng)參數(shù)。本研究中使用柱坐標(biāo)系(r,θ,x)下的擾動(dòng)方程形式，其中各瞬時(shí)流動(dòng)變量可寫為

q=[ur,uθ,ux,p]T

(3)

(4)

q′(r,θ,x,t)=[ur′,uθ′,ux′,p′]T=

(5)

(6)

圖5 不同雷諾數(shù)和迎角條件下渦核聯(lián)合概率密度分布隨流向演化(云圖范圍為[0.5×105,7.5×105])Fig.5 Streamwise evolution of joint probability density distribution of vortex cores at different Re and α (Contour range:[0.5×105,7.5×105])

3.2 程序驗(yàn)證

在求解試驗(yàn)測量的翼尖渦流場的穩(wěn)定性特征之前，分別通過3個(gè)時(shí)間不穩(wěn)定性算例和2個(gè)空間不穩(wěn)定性算例對(duì)本文所使用的求解流動(dòng)穩(wěn)定性的方法和程序的準(zhǔn)確性予以驗(yàn)證，算例包含圓管中的Poiseuille流和Batchelor渦等典型流動(dòng)。

3.2.1 時(shí)間不穩(wěn)定性

對(duì)圓管中Poiseuille流分別計(jì)算了Re=200和Re=2 200條件下的時(shí)間不穩(wěn)定性，周向波數(shù)n=1，流向波數(shù)β= 1；在此基礎(chǔ)上對(duì)角速度Ω為0.1的管壁旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)予以驗(yàn)證，計(jì)算條件為：Re=100，β=0.5,1.0，n=0，Ω、β、n均為無量綱量。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)比較如表1和表2所示。從表1和表2中的對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，文中方法對(duì)Poiseuille流的時(shí)間不穩(wěn)定模態(tài)的特征值能夠?qū)崿F(xiàn)準(zhǔn)確求解。

進(jìn)一步計(jì)算Re=141.4，β= 1.34條件下旋擰度在0.1～1.4范圍內(nèi)的尾跡渦穩(wěn)定性，其中包含兩個(gè)較不穩(wěn)定的模態(tài)，與文獻(xiàn)[20]比較如圖6所示。從圖中可以看出對(duì)于一階不穩(wěn)定模態(tài)和二階不穩(wěn)定模態(tài)，本文中使用的方法與文獻(xiàn)結(jié)果符合較好。

表1 圓管Poiseuille流時(shí)間不穩(wěn)定性結(jié)果(n = 1,β = 1)與文獻(xiàn)[20]比較Table 1 Comparison of temporal instability results of Poiseuille flow (n=1,β=1)in a pipe with Ref.[20]

表2 旋轉(zhuǎn)圓管Poiseuille流時(shí)間不穩(wěn)定性結(jié)果與文獻(xiàn)[20]比較(Re=100,n=0)Table 2 Comparison of temporal instability result of Poiseuille flow in a rotating pipe with Ref.[20](Re=100,n=0)

圖6 尾跡渦時(shí)間不穩(wěn)定性與文獻(xiàn)[20]比較Fig.6 Comparison of temporal instability of trailing vortex with Ref.[20]

3.2.2 空間不穩(wěn)定性

對(duì)圓管中的Poiseuille流進(jìn)行空間不穩(wěn)定性計(jì)算，計(jì)算條件為：雷諾數(shù)Re=10 000，頻率ω= 0.5，周向波數(shù)n分別為0和1，與文獻(xiàn)結(jié)果比較如表3所示。進(jìn)一步計(jì)算Batchelor渦的空間不穩(wěn)定性以對(duì)程序進(jìn)行驗(yàn)證，條件分別為Re=667、n=-1、ω=-0.15,旋擰度為0.7和Re=108、n=-1、ω=-2.75，旋擰度為3，與文獻(xiàn)結(jié)果比較如表4所示。

表3和表4的結(jié)果表明，研究使用的方法可以精確計(jì)算求解大范圍雷諾數(shù)條件下的Poiseuille流和Batchelor渦的空間不穩(wěn)定性，為之后的研究奠定了基礎(chǔ)。

表3 圓管Poiseuille流空間不穩(wěn)定性結(jié)果與文獻(xiàn)[20]比較Table 3 Comparison of spatial instability results of Poiseuille flow in a pipe with Ref.[20]

表4 Batchelor渦空間不穩(wěn)定性結(jié)果與文獻(xiàn)[20]比較Table 4 Comparison of spatial instability result of Batchelor vortex with Ref.[20]

4 翼尖渦不穩(wěn)定性對(duì)搖擺運(yùn)動(dòng)作用機(jī)制

4.1 翼尖渦線性穩(wěn)定性分析

由于流場的擾動(dòng)是不同頻率、波數(shù)的擾動(dòng)分量的疊加[12]，因此需要尋找在何種頻率、波數(shù)下，由特征值譜得到的擾動(dòng)主模態(tài)隨空間或時(shí)間的放大率最大，由此確定翼尖渦的空間與時(shí)間不穩(wěn)定性。圖8顯示了x/c=4.8,α=10°,U∞=25 m/s條件下，不同擾動(dòng)波數(shù)β的擾動(dòng)主模態(tài)的時(shí)間放大率ωi關(guān)于β的變化曲線。ωi-β曲線的每一個(gè)點(diǎn)均反映了時(shí)間不穩(wěn)定性特征值譜的擾動(dòng)主模態(tài)在對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)波數(shù)β下的時(shí)間放大率，例如圖8的插圖即為β=0.3的時(shí)間不穩(wěn)定性特征值譜，擾動(dòng)主模態(tài)的特征值由方框標(biāo)出。由ωi-β曲線的極值點(diǎn)可得，波數(shù)β=0.295的擾動(dòng)主模態(tài)的時(shí)間放大率最大，因此該極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的就是該截面與工況下翼尖渦的時(shí)間不穩(wěn)定性模態(tài)，放大率為ωi= 5.71×10-5。對(duì)于空間不穩(wěn)定性分析，計(jì)算具有不同頻率ω的擾動(dòng)主模態(tài)的空間放大率-βi關(guān)于ω的變化曲線，-βi的極大值和其對(duì)應(yīng)的ω即為翼尖渦在該工況、該截面的空間不穩(wěn)定性放大率和擾動(dòng)頻率。

對(duì)其他截面的流場作相同的處理，可以得到不同流動(dòng)條件與流向截面的翼尖渦的空間與時(shí)間不穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性放大率以及對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)頻率的演化過程。

圖8 x/c=4.8、α=10°、U∞=25 m/s條件下，時(shí)間不穩(wěn)定性擾動(dòng)主模態(tài)的放大率ωi與其擾動(dòng)波數(shù)β的變化曲線(插圖為β=0.3的時(shí)間不穩(wěn)定性特征值譜，小方框中為其擾動(dòng)主模態(tài)的特征值)Fig.8 Variation of growth rate ωi of temporal primary mode with its streamwise wavenumber β at x/c=4.8，α=10°，U∞=25 m/s (the inset being the eigenvalue spectrum of temporal instability at β= 0.3,with eigenvalue in the box corresponding to its primary mode)

4.2 翼尖渦不穩(wěn)定性特征演化

對(duì)各個(gè)工況下翼尖渦時(shí)間和空間不穩(wěn)定性放大率進(jìn)行計(jì)算，得到不穩(wěn)定性放大率關(guān)于流向x的變化規(guī)律，如圖9所示。結(jié)果表明，在試驗(yàn)測量的各工況下，翼尖渦在所測量的尾跡區(qū)范圍內(nèi)(x/c=0.6～6.0)的時(shí)間/空間不穩(wěn)定性放大率ωi和-βi均小于0，意味著翼尖渦在所測量的條件下均處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此在試驗(yàn)觀察中，翼尖渦沒有發(fā)生失穩(wěn)和破碎現(xiàn)象。但是，翼尖渦不穩(wěn)定性放大率沿流向均呈現(xiàn)出放大趨勢，隨著翼尖渦在遠(yuǎn)場(10倍展長以外的區(qū)域)的衰減，不穩(wěn)定性將占據(jù)主導(dǎo)作用[1]，從而導(dǎo)致翼尖渦在遠(yuǎn)場發(fā)生失穩(wěn)甚至破碎現(xiàn)象。受試驗(yàn)段長度的限制，后續(xù)研究中需對(duì)更遠(yuǎn)處的尾跡截面進(jìn)行測量，以對(duì)此予以驗(yàn)證。

進(jìn)一步分析雷諾數(shù)與迎角對(duì)翼尖渦空間不穩(wěn)定性的影響，如圖10所示，其中灰色區(qū)域示意了各工況下不穩(wěn)定性放大率在流向x上的變化范圍?？砂l(fā)現(xiàn)隨著雷諾數(shù)的增加，不穩(wěn)定性放大率逐漸增大，并且在迎角為8°和10°條件下的翼尖渦不穩(wěn)定性明顯大于4°條件下的情況。圖9中雖然4°迎角下翼尖渦不穩(wěn)定增大率隨流向增長較快，但幾乎始終小于8°與10°迎角下的增長率。

圖9 不同雷諾數(shù)條件下空間不穩(wěn)定性放大率與迎角關(guān)系Fig.9 Spatial instability amplification ratio via angles of attack at different Reynolds numbers

圖10 空間/時(shí)間不穩(wěn)定性放大率隨流向變化Fig.10 Streamwise evolution of spatial/temporalinstability amplification ratio

以上線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果解釋了2.1節(jié)中圖3所顯示的大迎角條件下?lián)u擺幅值隨流向增長更迅速的現(xiàn)象。由于真實(shí)流動(dòng)中的微小擾動(dòng)客觀存在(其來源可能是風(fēng)洞壁面或大氣環(huán)境等)，當(dāng)翼尖渦受到擾動(dòng)后，在小迎角條件下(4°)，因其自身空間不穩(wěn)定性較弱，擾動(dòng)不易隨流向放大，因此表現(xiàn)為渦搖擺幅值隨流向的緩慢增長；而在大迎角條件下(8°,10°)，翼尖渦自身空間不穩(wěn)定性較強(qiáng)，擾動(dòng)在空間上相對(duì)于小迎角條件更容易被放大，因此翼尖渦搖擺的幅度隨流向增大趨勢更為明顯。而由于各流向截面x的ωi<0，由流動(dòng)上游傳輸?shù)臄_動(dòng)將隨時(shí)間t不斷衰減，因此試驗(yàn)中各截面的翼尖渦未發(fā)生破碎，而是僅表現(xiàn)出包含有主導(dǎo)頻率的搖擺運(yùn)動(dòng)。

4.3 翼尖渦搖擺波數(shù)與頻率

通過線性穩(wěn)定性分析還可以得到翼尖渦不穩(wěn)定模態(tài)在空間與時(shí)間上的無量綱波數(shù)βr和頻率ωr，如圖11所示。在沿流向發(fā)展過程中，擾動(dòng)的無量綱擾動(dòng)波數(shù)βr與頻率ωr均有所減小，并且相同雷諾數(shù)條件下8°與10°迎角的擾動(dòng)頻率基本小于4°迎角；當(dāng)雷諾數(shù)增加時(shí)，擾動(dòng)頻率有所增加，薛棟[8]通過水槽試驗(yàn)也得到了相似的規(guī)律。

此外，在測量范圍內(nèi)的各尾跡截面下，翼尖渦擾動(dòng)無量綱波數(shù)βr與頻率ωr均十分接近。由此可知，在試驗(yàn)測量的流動(dòng)條件下，翼尖渦擾動(dòng)的無量綱相位速度接近于1，即擾動(dòng)的相位速度和自由來流速度U∞基本一致，Edstrand等使用Bi-Global LSA對(duì)翼尖渦的穩(wěn)定性分析也得到了相似的結(jié)果[25]。這與平面Poiseuille流中擾動(dòng)的無量綱相位速度小于2/3的結(jié)果截然不同[29]，其原因是試驗(yàn)測量的翼尖渦并不包含任何類似Poiseuille流中的邊界層結(jié)構(gòu)而限制擾動(dòng)的傳遞。與Poiseuille流不同，翼尖渦流向速度基本接近自由來流速度，基于臨界層理論[30]，其擾動(dòng)相位速度也因此明顯大于Poiseuille流。此外根據(jù)Gaster變換-ωi/βi=?ωr/?βr=vg[31]，還可以得到擾動(dòng)的群速度vg，即擾動(dòng)波包的傳輸速度。由圖9中翼尖渦在各尾跡截面的時(shí)間與空間不穩(wěn)定性放大率較為接近的結(jié)果，可以得出擾動(dòng)群速度vg≈1，這也與圖11所示ωr和βr的結(jié)果一致。擾動(dòng)群速度近似為1的結(jié)果意味著擾動(dòng)的波包將向下游傳輸，因而試驗(yàn)中翼尖渦的不穩(wěn)定性特征是對(duì)流的而非絕對(duì)的[30,32]：隨著擾動(dòng)向下游的發(fā)展，翼尖渦會(huì)在遠(yuǎn)場的某一截面位置發(fā)生失穩(wěn)；但擾動(dòng)不會(huì)同時(shí)向上游傳輸而使翼尖渦隨時(shí)間發(fā)生全局的破碎，這與試驗(yàn)中x/c=0.6～6.0的范圍內(nèi)翼尖渦在200 s的觀測時(shí)間內(nèi)均未發(fā)生破碎的現(xiàn)象相符合。

圖11 不同工況下擾動(dòng)波數(shù)與頻率隨流向變化Fig.11 Streamwise variation of perturbation wavenumber and frequency at different conditions

進(jìn)一步由無量綱頻率ωr可得，各試驗(yàn)工況下翼尖渦擾動(dòng)的斯特勞哈爾數(shù)Sr均在0.045附近，根據(jù)無量綱參數(shù)c=0.203和來流速度U∞，可得到翼尖渦在U∞=15,20,25 m/s下的擾動(dòng)頻率f分別為3.3、4.4、5.5 Hz，這與Devenport[5]和Bailey[9]等試驗(yàn)測得的翼尖渦搖擺主導(dǎo)頻率可比。受限于試驗(yàn)激光脈沖頻率為1 Hz，對(duì)于采集得到的翼尖渦渦核位置時(shí)間序列無法通過傅里葉變換得到其主頻率，因此后續(xù)需要提高試驗(yàn)激光脈沖頻率以對(duì)計(jì)算得到的頻率進(jìn)行驗(yàn)證。

4.4 翼尖渦搖擺機(jī)制

(7)

式中：Ω=βx+nθ-ωt，轉(zhuǎn)換到笛卡兒坐標(biāo)系后可以得到速度擾動(dòng)在x、y、z方向的分量u′、v′、w′的分布。

圖12 α=10°,U∞=20 m/s，x/c=6.0時(shí)翼尖渦空間的不穩(wěn)定性擾動(dòng)解(虛豎線為最大切向速度位置)Fig.12 Disturbance of spatial instability of wingtip vortex at α=10°,U∞=20 m/s，x/c=6.0(dashed vertical line indicating location of maximum tangential velocity)

進(jìn)一步計(jì)算翼尖渦最不穩(wěn)定模態(tài)的橫向合速度u′tr=[v′,w′]T，并考慮擾動(dòng)隨時(shí)間t的相位變化。圖14顯示了在相位t= 0,T/4,T/2,3T/4下的u′tr分布與試驗(yàn)測量的翼尖渦瞬時(shí)渦核分布的比較情況，其中T為擾動(dòng)的時(shí)間周期，根據(jù)4.3節(jié)中計(jì)算的擾動(dòng)頻率，在α=10°,U∞=20 m/s,x/c=6.0條件下，T=0.24 s。從圖14(b)和圖14(c)可以觀察到，橫向擾動(dòng)速度u′tr在其各個(gè)相位都具有明顯的方向性，并且集中于渦核位置，圖中箭頭示意了u′tr在渦核附近速度矢量的連線；由u′tr在各相位的分布可以發(fā)現(xiàn)，橫向擾動(dòng)速度u′tr隨時(shí)間t呈現(xiàn)周期性的旋轉(zhuǎn)。不穩(wěn)定性特征引起的橫向速度擾動(dòng)u′tr的方向性以及周期性旋轉(zhuǎn)共同導(dǎo)致了翼尖渦的搖擺運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)為圖14(a)中試驗(yàn)測量的渦核在兩個(gè)方向上均存在搖擺運(yùn)動(dòng)分量，并且搖擺運(yùn)動(dòng)含有主導(dǎo)頻率，是翼尖渦產(chǎn)生搖擺運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在原因。圖14(a)中箭頭示意了搖擺運(yùn)動(dòng)的主軸，其長度表征了搖擺幅值，雖然由LSA得到的擾動(dòng)模態(tài)隨時(shí)間t僅僅表現(xiàn)為周期性旋轉(zhuǎn)，但由兩個(gè)主軸方向的搖擺幅值可得，該條件下的翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)仍具有各向異性特征，其原因可能有以下幾種。首先，作為擾動(dòng)的外在來源之一，自由來流中的湍流在各方向非均勻[9]，使特定相位的不穩(wěn)定模態(tài)速度擾動(dòng)受到放大或抑制，引起搖擺運(yùn)動(dòng)在不同方向的幅值產(chǎn)生偏差；其次，渦核區(qū)域的湍流小渦結(jié)構(gòu)受到翼尖渦自身的拉伸作用會(huì)產(chǎn)生各向異性的雷諾正應(yīng)力[33-34]，進(jìn)一步誘導(dǎo)翼尖渦搖擺發(fā)生各向異性。然而，作為翼尖渦搖擺的內(nèi)在原因，橫向擾動(dòng)速度在各相位所具有的方向性特征仍是搖擺運(yùn)動(dòng)發(fā)生各向異性的前提，其具體成因則還有待更進(jìn)一步的分析與研究。

圖13 α=10°,U∞=20 m/s，x/c=6.0時(shí)翼尖渦最不穩(wěn)定模態(tài)的u′、v′、w′云圖(v′、w′的云圖范圍為[-0.3,0.3]，u′的云圖范圍為[-0.1,0.1])Fig.13 Contours of u′,v′,w′ of the most unstable mode of wingtip vortex at α=10°,U∞=20 m/s，x/c=6.0 (range of v′,w′ :[-0.3,0.3],and range of u′:[-0.1,0.1])

圖14 試驗(yàn)測量的瞬時(shí)渦核分布與LSA計(jì)算的擾動(dòng)模態(tài)比較Fig.14 Comparison between experimental instantaneous vortex core distribution and disturbance mode by LSA

由此，根據(jù)翼尖渦最不穩(wěn)定擾動(dòng)模態(tài)及其相位變化與試驗(yàn)測量得到的翼尖渦搖擺運(yùn)動(dòng)方向的匹配關(guān)系，可以進(jìn)一步證明翼尖渦的穩(wěn)定性特征是其搖擺運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在原因，其擾動(dòng)模態(tài)決定了所呈現(xiàn)出的搖擺運(yùn)動(dòng)特征：渦核區(qū)域的橫向擾動(dòng)速度u′tr具有明顯的方向性，誘導(dǎo)翼尖渦發(fā)生搖擺運(yùn)動(dòng)；u′tr的方向隨相位的周期性變化則使翼尖渦搖擺有別于一維的隨機(jī)振蕩，而是表現(xiàn)為在各方向均含有分量且具有主頻的搖擺運(yùn)動(dòng)。

5 結(jié) 論

通過SPIV試驗(yàn)觀察翼尖渦的搖擺現(xiàn)象，得到了其搖擺幅值隨流向放大并且具有各向異性的特征，進(jìn)而使用線性穩(wěn)定性分析對(duì)搖擺運(yùn)動(dòng)修正后的翼尖渦進(jìn)行研究，定量得到其穩(wěn)定性、搖擺頻率和時(shí)間/空間的不穩(wěn)定性放大率隨流向變化，以及這些特征與雷諾數(shù)和迎角的關(guān)系，揭示了翼尖渦不穩(wěn)定性的演化規(guī)律，并闡釋翼尖渦搖擺機(jī)理以及穩(wěn)定性對(duì)翼尖渦流動(dòng)的影響機(jī)制。

1)各工況下翼尖渦搖擺幅值均沿流向放大，且搖擺運(yùn)動(dòng)在大迎角條件下在遠(yuǎn)場具有明顯的各向異性，由近場的各向同性特征隨流向逐漸發(fā)展為機(jī)翼法向的搖擺幅值明顯大于展向搖擺幅值的各向異性特征。

2)翼尖渦受到擾動(dòng)后，其不穩(wěn)定性模態(tài)決定所表現(xiàn)出的搖擺運(yùn)動(dòng)特征，而其不穩(wěn)定性決定擾動(dòng)隨時(shí)間/空間的放大速率。翼尖渦在4°迎角下的不穩(wěn)定性放大率明顯小于8°和10°迎角，即翼尖渦在大迎角條件下更不穩(wěn)定，這是導(dǎo)致大迎角時(shí)搖擺幅值隨流向迅速增長的原因。

3)各試驗(yàn)工況下翼尖渦擾動(dòng)的斯特勞哈爾數(shù)在0.045附近，擾動(dòng)頻率約為3～5 Hz。由時(shí)間與空間不穩(wěn)定性分析結(jié)果得出擾動(dòng)的群速度約為1，擾動(dòng)將向下游發(fā)展，因此試驗(yàn)中的翼尖渦表現(xiàn)出對(duì)流不穩(wěn)定性特征。

4)由線性穩(wěn)定性分析得到的翼尖渦不穩(wěn)定模態(tài)，發(fā)現(xiàn)翼尖渦的速度擾動(dòng)局限在渦核區(qū)域內(nèi)，其在渦核處的橫向速度擾動(dòng)具有明確的方向性，并且隨相位變化作周期性旋轉(zhuǎn)，這是導(dǎo)致翼尖渦發(fā)生搖擺運(yùn)動(dòng)的原因所在。

致 謝

感謝王笑、秦蘇洋、王煜凱和李林穎在試驗(yàn)和論文撰寫過程中提供的幫助與寶貴意見。