杜凱繁，郝 鵬，董曼紅，王 博

(1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室 工程力學(xué)系，大連 116023；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

運(yùn)載火箭地面實驗加載系統(tǒng)通常采用均勻剛度的彈性邊界將軸壓彎矩等載荷加載至主承力筒殼結(jié)構(gòu)中。然而，主承力筒殼結(jié)構(gòu)在真實服役狀態(tài)下載荷邊界通常是剛度非均勻的。同一載荷作用下，非均勻剛度彈性邊界使得主承力筒殼結(jié)構(gòu)受到非均勻載荷作用，局部載荷較大，而傳統(tǒng)的均勻剛度彈性邊界使得主承力筒殼結(jié)構(gòu)受到均勻載荷作用，局部載荷較小。因此，傳統(tǒng)的均勻剛度彈性邊界過低地估計了實驗載荷，需要提出一種非均勻剛度彈性邊界的結(jié)構(gòu)設(shè)計。

面向運(yùn)載火箭主承力筒殼結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外學(xué)者開展大量關(guān)于筒殼軸壓實驗研究[1-6]。王博等[7-8]面向運(yùn)載火箭主承力筒殼結(jié)構(gòu)開展軸壓屈曲實驗，驗證實驗系統(tǒng)的可靠性和數(shù)值預(yù)測方法的準(zhǔn)確性。Bisagni[9]針對筒殼結(jié)構(gòu)軸壓失穩(wěn)實驗開展加載方式研究，定量地分析了靜態(tài)加載與動態(tài)加載對軸壓筒殼結(jié)構(gòu)的影響程度，該研究對數(shù)值仿真具有指導(dǎo)意義。王棟[10]通過研究彈性邊界試驗方法，即對待測結(jié)構(gòu)施加彈性支撐，在分別獲得整體與支撐結(jié)構(gòu)頻響后，通過頻域子結(jié)構(gòu)解耦方法，去除支撐結(jié)構(gòu)對待測結(jié)構(gòu)的影響，以得到待測結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)頻響，進(jìn)而解決自由懸吊方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)頻響測試難以滿足要求的難題。

對于航天領(lǐng)域主承力筒殼結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外學(xué)者開展大量優(yōu)化設(shè)計工作[11-20]。郝鵬等[21]針對箭體中典型的網(wǎng)格加筋柱殼結(jié)構(gòu)，提出自適應(yīng)代理模型優(yōu)化設(shè)計方法，顯著提升優(yōu)化設(shè)計效率。王博和郝鵬等[22]提出了針對多級加筋殼的自適應(yīng)等效策略分層次優(yōu)化設(shè)計方法。該方法的基本思想是將復(fù)雜的優(yōu)化設(shè)計問題分解成多個簡單的優(yōu)化設(shè)計問題，從而有效降低結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計維度，根本上保證了筒殼結(jié)構(gòu)性能分析的準(zhǔn)確性和優(yōu)化算法的穩(wěn)定性。針對非均勻軸壓載荷，郝鵬等[23]提出網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)的布局優(yōu)化設(shè)計方法，實現(xiàn)了筒殼結(jié)構(gòu)的同步失效，大幅提高筒殼結(jié)構(gòu)承載效率。

為解決非均勻剛度彈性邊界的設(shè)計問題，本文開展如下工作：(1)剛度等效指標(biāo)選取研究，通過對比真實彈性邊界與均勻剛度彈性邊界情況下主承力筒殼結(jié)構(gòu)的邊界響應(yīng)，獲得剛度等效指標(biāo)；(2)考慮剛度等效指標(biāo)的非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計，以剛度等效指標(biāo)為設(shè)計目標(biāo)，均勻剛度彈性邊界桁條分布角度為設(shè)計變量，獲得非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)設(shè)計；(3)非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)原理性實驗，通過對比真實彈性邊界與均勻剛度彈性邊界情況下主承力筒殼結(jié)構(gòu)的邊界響應(yīng)，驗證該優(yōu)化設(shè)計方法的有效性。

1 剛度等效指標(biāo)選取

為了使得真實彈性邊界的剛度與非均勻剛度彈性邊界的剛度一致，需要等效剛度指標(biāo)來定量化描述兩者的剛度分布。因此，以主承力筒殼結(jié)構(gòu)邊緣處的位移響應(yīng)來描述兩種邊界的剛度分布情況。

為獲得等效剛度指標(biāo)，對比分析真實彈性邊界與均勻剛度彈性邊界的剛度分布情況，算例設(shè)置如表1所示。算例筒殼結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)：直徑D=500 mm，高度H=510 mm。材料屬性：鋁合金2024，T62狀態(tài)，彈性模量E=72 GPa，泊松比0.31，屈服強(qiáng)度363 MPa，強(qiáng)度極限463 MPa，密度2.8×10-9t/mm3，延伸率0.12。單元采用ABAQUS提供的S4單元(4節(jié)點全積分殼單元)。模型節(jié)點數(shù)為9120，單元數(shù)為8968；真實邊界部段節(jié)點數(shù)為9552，單元數(shù)為9284。軸壓工況載荷F=5.0 kN，彎曲工況載荷M=6250.0 kN·mm，組合工況載荷F=5.0 kN。有限元分析之后，提取主承力筒殼結(jié)構(gòu)距離50 mm上邊緣處的節(jié)點位移作為主承力筒殼結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。如圖1所示。

表1 彈性邊界設(shè)計算例

圖1 主承力筒殼結(jié)構(gòu)邊緣處的位移響應(yīng)

通過數(shù)值算例分析，得到主承力筒殼結(jié)構(gòu)邊緣處的位移響應(yīng)如圖2所示。對于軸壓工況，均勻剛度彈性邊界對應(yīng)的軸向位移為一條直線，剛度分布均勻，而真實彈性邊界的軸向位移近似為正弦曲線，剛度分布非均勻，故選擇軸向位移為剛度等效指標(biāo)，如圖2(a)所示。對于彎曲剛度工況，均勻剛度彈性邊界的徑向位移呈近似正弦曲線，而真實彈性邊界的徑向位移較均勻剛度彈性邊界有顯著的波動，故選擇徑向位移為剛度等效指標(biāo)，如圖2(b)所示。對于組合載荷工況(軸壓+彎曲)，均勻剛度彈性邊界與真實彈性邊界的軸向位移和徑向位移均有顯著的不同，故選擇軸向位移和徑向位移為剛度等效指標(biāo)，如圖2(c)、(d)所示。

綜上所述，軸壓工況剛度的等效指標(biāo)為軸向位移；彎曲工況的剛度等效指標(biāo)為徑向位移；組合工況的剛度等效指標(biāo)為軸向位移、徑向位移。

(a)軸壓工況軸向位移 (b)彎曲工況徑向位移

(c)組合工況徑向位移 (d)組合工況軸向位移

2 非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計

基于以上等效剛度指標(biāo)，建立了非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計列式。以均勻剛度邊界的縱向桁條的分布角度為設(shè)計變量，以等效剛度指標(biāo)的均方差最小為設(shè)計目標(biāo)，開展優(yōu)化設(shè)計。當(dāng)設(shè)計目標(biāo)值趨近于零時，認(rèn)為非均勻剛度彈性邊界與真實的結(jié)構(gòu)邊界相一致。此外，根據(jù)所得到的等效指標(biāo)，建立了不同設(shè)計目標(biāo)。優(yōu)化列式如下：

(1)

式中αi為桁條分布角度；σi為各節(jié)點的剛度等效指標(biāo)的均方差；σ為各節(jié)點的剛度等效指標(biāo)的均方差之和；N為節(jié)點數(shù)目；n為桁條數(shù)目。

為了減少設(shè)計變量，提高優(yōu)化效率，引入式(2)來描述桁條分布角度函數(shù)。

(2)

式中L為桁條分布角度之和；nj為桁條數(shù)目；λi為分布指數(shù)。

因此，設(shè)計變量轉(zhuǎn)化λi和nj。為考慮到結(jié)構(gòu)的對稱性，L=45°。當(dāng)λi=1的時候，桁條均勻分布；當(dāng)λi≠1的時候，桁條呈指數(shù)分布，在[0，L]的區(qū)間由稀疏到密集。

表2給出了優(yōu)化設(shè)計空間及最優(yōu)設(shè)計。圖3給出了均勻剛度邊界及設(shè)計變量分布。

(a)均勻剛度邊界 (b)設(shè)計變量分布

軸壓工況、彎曲工況和組合工況下，優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)(軸向位移的均方差)最優(yōu)解分別為0.000 6、0.038 4、0.078 9，說明該優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)與真實彈性邊界吻合較好。此外，軸壓工況、彎曲工況和組合工況下，優(yōu)化設(shè)計的剛度等效指標(biāo)的曲線與真實彈性邊界的曲線吻合較好(如圖4～圖6)，說明了提出的優(yōu)化設(shè)計方法及剛度等效指標(biāo)的有效性。

表2 優(yōu)化設(shè)計空間及最優(yōu)解

(a)軸壓工況迭代曲線 (b)軸壓工況軸壓位移曲線對比

(a)彎曲工況迭代曲線 (b)彎曲工況徑向位移曲線對比

3 非均勻剛度彈性邊界原理性實驗

為進(jìn)一步驗證非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法的有效性，開展非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計原理性實驗。實驗思路：通過對比真實邊界結(jié)構(gòu)與優(yōu)化設(shè)計得到非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平，驗證該設(shè)計方法的可行性。

等效剛度邊界設(shè)計方法原理性實驗的實驗試件如圖7所示。實驗方案由試件，工裝和加載器組成。等效剛度邊界設(shè)計方法原理性實驗的實驗方案圖8所示。實驗試件及工裝等均采用鋼Q235，這是為了便于結(jié)構(gòu)加工制造?？紤]到軸壓載荷便于實驗加載，因此僅驗證軸壓載荷工況下等效剛度邊界工裝的傳力路徑。原理性實驗中的軸壓載荷為50 kN。

試件A為主承力筒殼結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)為H=510 mm，R=250 mm，t2=1.0 mm，h1=20 mm，b1=40 mm，t1=3 mm；試件B為真實彈性邊界結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)為H=510 mm，R=250 mm，t2=2.0 mm，h1=20 mm，b1=40 mm，t1=3 mm，開孔尺寸為250 mm×150 mm；試件C為傳統(tǒng)的均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)，試件D為優(yōu)化設(shè)計的非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)，參數(shù)見表2軸壓工況算例初值和優(yōu)化值。

(a)組合工況軸向位移曲線對比 (b)組合工況徑向位移曲線對比

(c)組合工況迭代曲線 (d)軸向位移及徑向位移分布

圖7 試件結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖9給出了數(shù)值預(yù)測及實驗結(jié)果對比，均勻剛度彈性邊界(實驗1)觀測的應(yīng)力分布較均勻(如Test-1-Single)，而真實彈性邊界(實驗2)和優(yōu)化設(shè)計彈性邊界(實驗3)的應(yīng)力分布相同(如Test-2-Combined和Test-3-Opt)。實驗1和實驗2的應(yīng)力分布不相同說明均勻工裝和真實邊界工裝的傳力效果不同，應(yīng)變的平均誤差為-22.29%。實驗2和實驗3的應(yīng)力分布相同，且平均誤差為-13.70%，說明等效剛度邊界可以模擬真實邊界工裝的傳力效果。

圖8 實驗方案

圖9(b)給出了數(shù)值預(yù)測應(yīng)力分布，該數(shù)值預(yù)測是模擬真實邊界工裝的傳力路徑算例的應(yīng)力分布。數(shù)值預(yù)測與實驗2的應(yīng)力分布相同，平均誤差為-16.88%，略高于實驗2和實驗3的平均誤差。數(shù)值預(yù)測與實驗結(jié)果不同的原因是實驗過程中存在不可避免的實驗誤差，主要為實驗蒙皮與端框的焊點不均導(dǎo)致應(yīng)力分布不均勻，采樣點處受到更大的應(yīng)力值。這也是實驗1的應(yīng)力分布非絕對均勻的原因。

(a)應(yīng)變片位置 (b)結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

4 結(jié)論

(1)通過開展剛度等效指標(biāo)研究、考慮剛度等效指標(biāo)的非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計研究以及原理性實驗研究，提出了非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計流程，解決了傳統(tǒng)均勻剛度彈性邊界造成的載荷分配不均勻的問題。

(2)對于航天領(lǐng)域常見的三種工況(軸壓工況、彎曲工況和組合工況)，提出了剛度等效指標(biāo)來描述不同工況下非均勻彈性邊界結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，為進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計流程提供優(yōu)化目標(biāo)。

(3)對于非均勻彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，提出了基于剛度等效指標(biāo)的非均勻彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化列式。該優(yōu)化設(shè)計列式可以考慮不同載荷工況下的剛度等效指標(biāo)，實現(xiàn)非均勻剛度彈性邊界的優(yōu)化設(shè)計。為提高優(yōu)化設(shè)計效率，提出了引入指數(shù)函數(shù)來描述桁條分布規(guī)律，簡化了設(shè)計變量，大幅提高了優(yōu)化設(shè)計效率。

(4)為進(jìn)一步驗證非均勻剛度彈性邊界結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法的有效性，開展了非均勻剛度彈性邊界優(yōu)化設(shè)計原理性實驗。實驗結(jié)果顯示，優(yōu)化設(shè)計結(jié)果與真實彈性邊界結(jié)果基本一致，驗證了等效剛度邊界設(shè)計方法的有效性。