(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)(舞陽縣第一高級中學(xué)，河南 舞陽 462400)

閱讀是人類汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑，與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密不可分.數(shù)學(xué)閱讀作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項基本技能，被明確寫在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》與《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》中.“閱讀自學(xué)”是學(xué)生多樣化學(xué)習(xí)方式之一.近幾年來，數(shù)學(xué)閱讀在高考中得到了更大的重視，也被提出了更高的要求[1]，這在核心素養(yǎng)時代將會變得更為突出[2].但鮮有研究直接探討數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間的關(guān)系，而這或?qū)⒊蔀榧埞P測試背景下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評的一個理論與現(xiàn)實問題.在此方面，一項以2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題為例，分析高考中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查情況的研究[3]，從側(cè)面表明了高考數(shù)學(xué)試題的語言表述與情境描述會影響數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評結(jié)果，由此間接指出數(shù)學(xué)閱讀可能會對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評產(chǎn)生影響.為此，本研究在基于心理學(xué)的視角厘清數(shù)學(xué)閱讀內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，嘗試探討數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展與測評之間的關(guān)系.

1 數(shù)學(xué)閱讀的內(nèi)涵

國內(nèi)外學(xué)者分別從特征與心理過程等方面，對數(shù)學(xué)閱讀進行了深入的論述．貝爾指出了數(shù)學(xué)閱讀的一般性要求：精確、條理、靈活和精力集中[4]．邵光華進一步認為，數(shù)學(xué)閱讀需要較強的邏輯思維能力，其過程往往是讀寫相結(jié)合，并蘊含著頻繁的語意轉(zhuǎn)換與靈活的思維[5].喻平從心理學(xué)的角度認為，數(shù)學(xué)閱讀的心理過程包括內(nèi)化、理解、推理與反省這4個階段[6]．楊紅萍具體考察了數(shù)學(xué)文本閱讀，指出其包含3個基本的認知心理過程：對字符(文字、符號與圖形的總稱)進行正確編碼，對文字、符號、圖形3種語言進行正確轉(zhuǎn)譯，并且能夠?qū)ξ谋具M行綜合理解[7].

在學(xué)校數(shù)學(xué)背景下，依據(jù)閱讀內(nèi)容的不同，數(shù)學(xué)閱讀一般可分為對教材的閱讀，問題解決中對題目也即給定的問題情境的閱讀，以及對課外數(shù)學(xué)材料的閱讀.無論是哪一種類型，閱讀材料中的信息特征與性質(zhì)在一定程度上影響著數(shù)學(xué)閱讀的心理過程.具體而言，由于信息的顯現(xiàn)方式、飽和程度與呈現(xiàn)方式都可能會存在一些差異，或外顯或內(nèi)蘊，或冗余、適中抑或缺失，或表征為文字、圖表抑或符號，因而數(shù)學(xué)閱讀需要個體將內(nèi)蘊的信息變?yōu)橥怙@的，將冗余的信息篩選出來加以剔除，增添缺失的信息，進行表征之間的合理轉(zhuǎn)換，最終將信息轉(zhuǎn)化為最佳的心理表征.這一過程涉及到個體的選擇性編碼與語言轉(zhuǎn)譯兩個心理加工過程.當然，對閱讀材料的理解，要經(jīng)過從局部到整體的精加工過程.另外，由于閱讀材料包含大量的概念、命題、法則、數(shù)學(xué)思想方法，以及從已知到未知的困境，這些內(nèi)容都蘊含著大量的推理.要達到對閱讀材料的理解，就必須對推理的依據(jù)、方法和過程等有清楚的理解，因而，數(shù)學(xué)閱讀也是一個推理的過程.最后，在整個閱讀過程中，存在一種獨特的心理過程——元閱讀，它對整個過程進行必要的評估、監(jiān)控與調(diào)整.

據(jù)此可知，數(shù)學(xué)閱讀的心理過程具體包括選擇性編碼、語言轉(zhuǎn)譯、數(shù)學(xué)理解、邏輯推理與元閱讀共5個階段.數(shù)學(xué)閱讀能力則可看成是由編碼、轉(zhuǎn)譯、理解、推理與元閱讀等5個子能力復(fù)合而成的一種綜合能力.

2 數(shù)學(xué)閱讀指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學(xué)閱讀是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.這主要體現(xiàn)在學(xué)生通過對教科書的閱讀、問題解決中對題目的閱讀以及對課外數(shù)學(xué)材料的閱讀，不斷運用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，運用數(shù)學(xué)的思維思考世界，以及運用數(shù)學(xué)的語言表達世界.

首先，對教材的閱讀是這一培養(yǎng)途徑的基礎(chǔ).在學(xué)校數(shù)學(xué)中，教材是數(shù)學(xué)知識最為重要的來源與載體，對教材的閱讀,主要目的在于知識的建構(gòu).這不僅要求讀懂教材中的數(shù)學(xué)知識的字面意思，更要深入其中，明了這些知識產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，理解它們在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、體系中的地位和作用.這一過程自然會促使學(xué)生結(jié)合自己的生活、數(shù)學(xué)與經(jīng)驗世界，從不同的視角認識數(shù)學(xué)對象，在此基礎(chǔ)上不斷地進行假設(shè)、預(yù)測、檢驗、推理、想象,不斷地通過觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等數(shù)學(xué)活動[8]，從而形成出知識的發(fā)展脈絡(luò)，并借助數(shù)學(xué)的語言進行符號化的表述.由此可知，通過教材文本的閱讀獲得數(shù)學(xué)知識，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展夯實了基礎(chǔ).

其次，問題解決中對題目的閱讀是這一培養(yǎng)途徑的核心.在學(xué)校數(shù)學(xué)中，問題解決是數(shù)學(xué)的核心.對問題解決中題目的閱讀,重在知識的理解、掌握和應(yīng)用.它不僅要求能夠識別題目中的關(guān)鍵信息，準確把握其確切的含義，厘清題目蘊含的各種數(shù)量關(guān)系、圖表信息與空間形式，也需要尋找已知通向未知或未知回溯到已知的可能路徑，還需要將發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)模式應(yīng)用到現(xiàn)實世界中去解決實際問題.這一過程促進學(xué)生運用數(shù)學(xué)的語言準確刻畫現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界，借助數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的思維廓清關(guān)系、探明解題的方向與思路的核心.

再次，對課外數(shù)學(xué)材料的閱讀是這一培養(yǎng)途徑的有機補充.課外閱讀就是從生活和學(xué)生感興趣的角度出發(fā)，讓數(shù)學(xué)知識走進學(xué)生的視野，鞏固課內(nèi)知識，拓寬知識面，建立數(shù)學(xué)與其內(nèi)部、數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部之間的聯(lián)系.因此，適當?shù)恼n外數(shù)學(xué)材料的閱讀對于學(xué)生開闊數(shù)學(xué)視野、豐富數(shù)學(xué)語言、優(yōu)化數(shù)學(xué)思維都有積極的補充作用.

3 數(shù)學(xué)閱讀影響數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評

數(shù)學(xué)閱讀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評的重要影響因素.這不僅因為數(shù)學(xué)閱讀是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，還與核心素養(yǎng)的測評方式有關(guān).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評主要是基于問題解決的過程與結(jié)果，而問題的解決離不開個體從問題情境中提取與組織信息，也即割舍不掉數(shù)學(xué)閱讀.以下分別從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評特征進行闡述，輔以2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題加以說明．

3.1 數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)抽象測評

數(shù)學(xué)閱讀對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測評的影響，與數(shù)學(xué)抽象的類型有關(guān).數(shù)學(xué)抽象包含以下3種類型：第一種是指舍去事物的物理屬性，提取數(shù)學(xué)研究對象的思維過程；第二種是弱抽象，即從一個概念或命題本身出發(fā)，采用減小內(nèi)涵的方式得到概括程度更高的概念或命題，使前者成為后者的特例；第三種是強抽象，與第二種抽象方式正好相反[9].

這3種類型的數(shù)學(xué)抽象，所依據(jù)的數(shù)學(xué)閱讀心理過程各有偏重.第一種抽象類型的測評環(huán)境是蘊含事物現(xiàn)實原型的具體背景，個體需要從數(shù)量或圖形性質(zhì)角度進行選擇性編碼，運用邏輯推理抽象出一般規(guī)律或結(jié)構(gòu)，并且選用恰當?shù)臄?shù)學(xué)符號、術(shù)語進行描述.第二、三種抽象類型的測評環(huán)境是一個或多個概念或命題，個體需要在數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)上對選擇性編碼或語言轉(zhuǎn)譯的特定對象進行演繹推理(或合情推理)，減小(擴大)內(nèi)涵而得到概括性高(低)的概念或命題.接下來以第15題為例，具體分析和探討數(shù)學(xué)閱讀對第一種抽象素養(yǎng)測評的影響．

例1甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果互相獨立，則甲隊以4∶ 1獲勝的概率是______.

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第15題)

3.2 數(shù)學(xué)閱讀與邏輯推理測評

數(shù)學(xué)閱讀對邏輯推理素養(yǎng)測評的影響，是指數(shù)學(xué)閱讀是進行邏輯推理的前提條件和基礎(chǔ).具體而言，邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)[9]，對于推理起點的事實和命題的確定、理解，以及對于推理規(guī)則的把握和有效利用，都離不開數(shù)學(xué)閱讀的選擇性編碼、語言轉(zhuǎn)換和數(shù)學(xué)理解，甚至元閱讀等心理過程.由于邏輯推理主要包括合情推理(歸納推理和類比推理)和演繹推理兩類，前者是從特殊到一般，或者從特殊到特殊的推理；后者是從一般到特殊的推理．接下來，以第18題第1)小題為例，對數(shù)學(xué)閱讀對演繹推理素養(yǎng)測評的影響進行分析．

圖1

例2如圖1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底邊是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E,M,N分別是BC，BB1，A1D的中點.

1)證明：MN∥平面C1DE;

2)略.

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第18題)

這是一道關(guān)于線面平行的證明題.由線面平行的判定定理可知，需要在平面C1DE內(nèi)選出或做出一條與MN平行的直線.該直線可能是DE，為了確認，需要證明直線MN與DE確定的四邊形MNDE為平行四邊形，也即MEND.又因為點E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點，所以只需證明B1CA1D.上述推理過程依次對應(yīng)于選擇性編碼、數(shù)學(xué)理解和多次的語言轉(zhuǎn)譯等數(shù)學(xué)閱讀過程，這每一個心理過程的順利完成為演繹推理的有序進行提供了保障.

3.3 數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)運算測評

數(shù)學(xué)閱讀對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)測評的影響，不僅體現(xiàn)在對運算對象的理解與運算法則的把握上，也表現(xiàn)在通過邏輯推理和元閱讀方式對運算方向的探明和運算方法的選擇上，從而有利于運算呈現(xiàn)的設(shè)計.研究發(fā)現(xiàn)，2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題中的許多試題都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)閱讀對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)測評的影響，下面以第20題第1)小題為例進行分析．需要特別說明的是，該題作為一道綜合題，主要測試學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這里側(cè)重于對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)測評影響的闡述.

例3已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

2)略.

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第20題)

通過對解題目標進行數(shù)學(xué)理解和邏輯推理，可知該題屬于函數(shù)的極值點問題——極值點存在性與唯一性的判定.借助元閱讀可進一步確定：本題直接的運算對象是函數(shù)f′(x)，運算方向是對f′(x)的單調(diào)性——先增后減性質(zhì)的判斷，運算方法是求導(dǎo)法；實際上，間接的運算對象是f″(x)，運算方向是對f″(x)的取值符號進行判斷，運算方法是對函數(shù)f(x)進行二階求導(dǎo).

3.4 數(shù)學(xué)閱讀與直觀想象測評

數(shù)學(xué)閱讀對直觀想象素養(yǎng)測評的影響，主要作用于以數(shù)量關(guān)系為外在表征、而內(nèi)蘊幾何特征的對象之上，具體表現(xiàn)在對其數(shù)量關(guān)系的有效提取，并將這種關(guān)系合理轉(zhuǎn)換為空間形式的過程之中.直觀想象是指學(xué)習(xí)者能夠借助圖形、圖像或?qū)嵨飦砀兄獙ο蟮男螒B(tài)，由此理解問題和解決問題[9].這意味著直觀想象的初始對象雖然被描述成“數(shù)”的語言，但卻具有“形”的特性，可以在數(shù)與形之間實施有效的轉(zhuǎn)換.數(shù)學(xué)閱讀就是通過選擇性編碼，捕捉到數(shù)學(xué)問題中可被直觀想象的對象，圍繞這些對象將此數(shù)學(xué)問題描述成圖形語言，由此借助數(shù)與形的聯(lián)系來理解問題，從而幫助構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型去理解問題和探索解決問題的思路，實現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的測評.下面以第7題為例，例證數(shù)學(xué)閱讀對直觀想象素養(yǎng)測評的影響.

例4已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，則a與b的夾角為

( )

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第7題)

圖2

本題涉及的運算對象是向量，兼具數(shù)與形雙重特征.無論是已知條件中向量的長度關(guān)系與位置關(guān)系，還是未知向量的夾角，都可從這兩個方面加以考量.為此，可將已知條件中的向量語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，如圖2,在Rt△ABO中，OA=2OB，從而∠OAB=30°，于是a與b的夾角∠AOB=60°.由此可知，能否將本題中的向量語言轉(zhuǎn)譯為圖形語言，進而建構(gòu)問題的直觀模型，會影響到本題的解答速度和直觀想象素養(yǎng)的測評.

3.5 數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的測評

首先，數(shù)學(xué)閱讀對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測評的影響，具體體現(xiàn)在建模過程的各個階段.首先，選擇性編碼、語言轉(zhuǎn)譯、數(shù)學(xué)理解與元閱讀等心理過程會影響學(xué)習(xí)者從實際情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析問題與建立數(shù)學(xué)模型.其次，邏輯推理和語言轉(zhuǎn)譯會影響運算求解和數(shù)學(xué)答案的獲得.最后，語言轉(zhuǎn)譯、數(shù)學(xué)理解與元閱讀等會影響到模型的檢驗與改進、實際問題的解決.數(shù)學(xué)閱讀對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)測評的影響，與數(shù)據(jù)分析的對象及其過程的特性有關(guān).在數(shù)據(jù)分析過程中，個體需要從收集到的數(shù)據(jù)中獲得信息，也即對數(shù)據(jù)進行選擇性編碼，然后對文字、圖形或表格中的數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)譯描述，并選用恰當?shù)哪Ｐ蛯?shù)據(jù)進行分析，選用恰當?shù)姆椒ń獯疬@個模型，從而解釋數(shù)據(jù)的現(xiàn)實意義.這一個過程還會涉及數(shù)學(xué)理解，甚至邏輯推理和元閱讀的參與.下面以第21題第2)小題為例，綜合分析數(shù)學(xué)閱讀對數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)測評的影響．

例5為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一種施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

1)略；

2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(其中i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則

p0=0，p8=1，

pi=api-1+bpi+cpi+1(其中i=1,2,…,7)，

且a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)α=0.5，β=0.8.

①證明{pi+1-pi}(其中i=0,1,…,7)為等比數(shù)列；

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第21題)

全國數(shù)學(xué)高考卷首次將概率與統(tǒng)計題后移至壓軸題位置，并將其與等比數(shù)列知識融合在一起，綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).但該試題為了降低難度，并沒有讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度提出“合理的動物試驗方案”模型，而是間接給出了等比數(shù)列模型，由學(xué)生通過邏輯推理進行嚴格證明.

①證明由第1)小題及α=0.5，β=0.8可知

a=P(X=-1)=0.4，b=P(X=0)=0.5，c=0.1，

從而

pi=0.4pi-1+0.1pi+1+0.5pi，

即

5pi=4pi-1+pi+1，

則

pi+1-pi=4(pi-pi-1).

易知p1-p0≠0，從而{pi+1-pi}是以4為公比、p1-p0為首項的等比數(shù)列.

上述證明過程能否順利完成，又取決于學(xué)生能否從題目中提取出“兩種藥物的試驗是相互獨立的”等與變量X有關(guān)的有效信息，以及能否準確理解分布列的概念有關(guān).

為了對試驗方案的合理性做出解釋，首先需要求出p4的值.基于對p4與數(shù)列{pi+1-pi}關(guān)系的理解和已知條件p0=0的確認，可推斷出需要首先求出p4-p0的值.具體運算過程如下：

②解由第①小題知

由p0=0,得

同理可得