張羽鑫，刁鳴

哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

隨著電子技術(shù)的不斷發(fā)展，信息化戰(zhàn)爭已經(jīng)逐漸成為了信息時(shí)代的基本戰(zhàn)爭形態(tài)[1]。在信息化戰(zhàn)爭中，雷達(dá)的作戰(zhàn)對象、工作環(huán)境和工作任務(wù)都發(fā)生了極大的變化，傳統(tǒng)雷達(dá)在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭中所面對的挑戰(zhàn)越來越大，也推動(dòng)了雷達(dá)向著智能化的方向不斷發(fā)展。2006年，認(rèn)知雷達(dá)的概念被提出，認(rèn)知雷達(dá)對于環(huán)境的適應(yīng)程度較高，被認(rèn)為將在現(xiàn)代戰(zhàn)場中扮演極其重要的作用[2]。

在認(rèn)知雷達(dá)的概念被提出之后，國內(nèi)外的專家便開始了對于認(rèn)知雷達(dá)的研究。目前，對于認(rèn)知雷達(dá)的研究多是聚焦在認(rèn)知雷達(dá)的關(guān)鍵技術(shù)的研究，其中研究最多的是波形自適應(yīng)設(shè)計(jì)技術(shù)。目前在波形自適應(yīng)設(shè)計(jì)技術(shù)研究中常用的5種方法，分別是模糊函數(shù)法、特征值法、最大化各類目標(biāo)之間的距離的方法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、信息論法[3]。以上的方法各有優(yōu)劣，但是隨著各種智能化算法的提出以及發(fā)展，也為我們對于波形自適應(yīng)設(shè)計(jì)技術(shù)的研究指明了方向[4-5]。

本文針對于信雜比限定下的最大互信息雷達(dá)波形設(shè)計(jì)模型進(jìn)行研究。該模型作為一種非線性優(yōu)化模型，通常對于該模型的求解算法采用序列二次規(guī)劃算法(SQP算法)。但序列二次規(guī)劃算法在對模型的求解過程中，其求解效果會(huì)受到尋優(yōu)起始值的影響，并且在算法的迭代求解過程中，極易陷入局部最優(yōu)，算法的全局性極差。本文在求解該模型時(shí)，在序列二次規(guī)劃算法中引入了粒子群算法，將粒子群算法與序列二次規(guī)劃算法結(jié)合，充分發(fā)揮粒子群算法的全局性和序列二次規(guī)劃算法局部尋優(yōu)精確的特性，對模型進(jìn)行求解，來提升序列二次規(guī)劃算法對目標(biāo)模型的求解效果。

1 信雜比限定下的最大互信息雷達(dá)波形設(shè)計(jì)模型

采用信息論法的自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)技術(shù)中，較為基礎(chǔ)的方法是基于最大互信息準(zhǔn)則[6]和最大信雜比準(zhǔn)則[7]來進(jìn)行波形自適應(yīng)設(shè)計(jì)。根據(jù)雷達(dá)檢測理論和信息論的相關(guān)知識，分別對于最大互信息準(zhǔn)則和最大信雜比準(zhǔn)則的求解模型和求解結(jié)果進(jìn)行了研究。

最大互信息準(zhǔn)則的波形自適應(yīng)設(shè)計(jì)是在雷達(dá)發(fā)射波形的能量限制下，使得目標(biāo)和回波之間的互信息最大，即要求解的模型為：

式中： |S(f)|2為預(yù)期求解的波形；分別為目標(biāo)回波、雜波和噪聲的方差；E為限制的發(fā)射能量。

利用拉格朗日乘子法對該模型進(jìn)行求解，得到的雷達(dá)發(fā)射波形為：

式中：

最大信雜比準(zhǔn)則則是在雷達(dá)發(fā)射波形的能量限制下，使得雷達(dá)接收到的回波信雜比最大，其目標(biāo)方程為：

同理，利用拉格朗日乘子法對該模型進(jìn)行求解，得到的雷達(dá)發(fā)射波形為：

在現(xiàn)實(shí)的雷達(dá)工作中，雷達(dá)為了能夠準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，雷達(dá)接收系統(tǒng)接收到的雷達(dá)回波信雜比需要滿足一定的要求。當(dāng)接收到的雷達(dá)回波的值低于一個(gè)門限值，則認(rèn)為雷達(dá)無法探測到該目標(biāo)，該門限值即為雷達(dá)的信雜比限定。將最大互信息準(zhǔn)則和最大信雜比準(zhǔn)則相聯(lián)系，設(shè)置信雜比限定為S0，設(shè)置本文求解的模型為信雜比限定下的最大互信息雷達(dá)波形設(shè)計(jì)模型為：

該目標(biāo)方程式中所要求解的目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)和回波之間的互信息，雷達(dá)的發(fā)射能量和接收到的回波信雜比是2個(gè)限制條件。本模型即是要在2個(gè)限制條件下求解雷達(dá)波形，使得目標(biāo)與回波間的最大互信息量最大。

2 基于序列二次規(guī)劃算法的自適應(yīng)波形優(yōu)化算法

要求解的信雜比限定下的最大互信息雷達(dá)波形設(shè)計(jì)模型作為一種非線性優(yōu)化模型，序列二次規(guī)劃算法是最為常用的求解該類問題的方法。

序列二次規(guī)劃算法的主要思想是：在算法的整個(gè)迭代過程中，利用二次規(guī)劃子問題來對目標(biāo)方程的下降方向進(jìn)行求解，結(jié)合價(jià)值函數(shù)對每一步的求解步長進(jìn)行求解，并對預(yù)期得到的目標(biāo)矩陣進(jìn)行更新，求得所要求解問題的最優(yōu)解[8]。在序列二次規(guī)劃算法的整個(gè)計(jì)算過程之中，核心的步驟就是對預(yù)期求解的波形優(yōu)化模型的下降方向dk進(jìn)行求解。即將式(1)中的目標(biāo)函數(shù)與限定函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，形成二次規(guī)劃子問題[9]：

通過式(2)可以對波形優(yōu)化模型的下降方向dk及拉格朗日乘子進(jìn)行求解。整體的求解步驟如下：首先將求解得到的dk作為波形優(yōu)化模型的下降方向；然后利用價(jià)值函數(shù)來確定每一步迭代的步長，并且利用價(jià)值函數(shù)和Armijo準(zhǔn)則來確定波形優(yōu)化模型的步長；最后利用迭代公式來確定迭代點(diǎn)。在所有的步驟結(jié)束后，利用修正的BFGS公式對Hessian矩陣進(jìn)行修正[7]。

利用序列二次規(guī)劃算法對目標(biāo)求解的信雜比限定下的最大互信息雷達(dá)波形設(shè)計(jì)模型的計(jì)算步驟如下[10]：

1）設(shè)置迭代的初始值；

2）將模型轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃子問題，得到求解的模型的下降方向dk；

3）判斷當(dāng)前點(diǎn)是否滿足以下2個(gè)條件：

若滿足式（3）、（4）2個(gè)條件，則停止仿真，此時(shí)的解為求解方程得到的最優(yōu)解；

4）利用價(jià)值函數(shù)以及Armijo準(zhǔn)則對求解波形優(yōu)化模型迭代的步長進(jìn)行計(jì)算和確定；

5）利用Armijo準(zhǔn)則，對使式（5）成立的最小非負(fù)整數(shù)進(jìn)行求解和計(jì)算：

并對波形優(yōu)化模型的迭代點(diǎn)進(jìn)行更新：

6）利用最小二乘乘子更新算法中的相應(yīng)參數(shù)；

7）用BFGS對Hessian矩陣進(jìn)行修正；

8）持續(xù)迭代，直至迭代停止。

3 粒子群序列二次規(guī)劃算法

粒子群算法的計(jì)算過程如下[11]：

1）對算法參數(shù)進(jìn)行初始化，包括種群規(guī)模的大小、預(yù)期解的維數(shù)、算法的最大迭代次數(shù)；

2）設(shè)置解的可行域，在可行域范圍內(nèi)，對迭代開始時(shí)各個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)范圍和運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行設(shè)置；

3）對每個(gè)粒子的歷史最優(yōu)函數(shù)值和群體最優(yōu)位置進(jìn)行初始化；

4）迭代開始，根據(jù)式（6）、（7）更新算法中每個(gè)粒子的速度和位置：

5）持續(xù)迭代，實(shí)時(shí)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值，針對于本文來講，即求式(1)中的目標(biāo)函數(shù)；

6）根據(jù)粒子的函數(shù)值更新每個(gè)粒子和整個(gè)群體的最優(yōu)位置信息；

7）若當(dāng)前的迭代次數(shù)等于最大迭代次數(shù)，則算法結(jié)束；否則算法轉(zhuǎn)向步驟4），繼續(xù)進(jìn)行迭代。

粒子群序列二次規(guī)劃算法將序列二次規(guī)劃算法作為一個(gè)局部尋優(yōu)的過程，將粒子群算法作為全局尋優(yōu)的部分，在迭代時(shí)，將粒子群算法在計(jì)算中粒子得到的全局最優(yōu)位置作為序列二次規(guī)劃算法的初始點(diǎn)，并進(jìn)行完整的序列二次規(guī)劃算法的局部搜索求解。若序列二次規(guī)劃算法得到的解優(yōu)于粒子群算法的全局最優(yōu)解，則將序列二次算法得到的解直接作為全局最優(yōu)解進(jìn)行下一輪迭代；若序列二次規(guī)劃的解并不優(yōu)于粒子群算法的全局最優(yōu)解，則不對粒子群尋優(yōu)得到的全局最優(yōu)解進(jìn)行修改。該算法將粒子群算法與序列二次規(guī)劃算法有機(jī)結(jié)合起來，發(fā)揮了粒子群算法的全局搜索能力和序列二次算法的求解精度能力。算法的工作流程如圖1所示。

圖1 粒子群序列二次規(guī)劃算法流程

4 仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了對算法結(jié)果有更加準(zhǔn)確的對比，首先使用序列二次規(guī)劃算法對目標(biāo)模型進(jìn)行求解；在相同的仿真條件下，再使用本文提出的粒子群序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行模型求解并比較仿真結(jié)果。

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

仿真時(shí)，設(shè)置目標(biāo)與目標(biāo)間的距離是10 km，雷達(dá)的帶寬w是10 MHz，發(fā)射載頻fc為1 GHz，雷達(dá)工作時(shí)，發(fā)射波形的頻率范圍為：

設(shè)置目標(biāo)脈沖響應(yīng)x(t)的譜方差：

假設(shè)噪聲為高斯白噪聲，而且只是熱噪聲，溫度為Ts=300 K，那么：

設(shè)置最小可檢測信雜比S0為5 dB、發(fā)射功率為1 W、序列二次規(guī)劃算法最大迭代次數(shù)為1 000次、粒子群序列二次規(guī)劃算法的最大迭代次數(shù)為2 000次，在發(fā)射波形長度為T=10 ms時(shí)，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

傳統(tǒng)的仿真驗(yàn)證中，目標(biāo)譜和干擾譜的分布如圖2所示。本文為了便于驗(yàn)證算法性能，在保證目標(biāo)譜分布不變時(shí)，將干擾譜進(jìn)行隨機(jī)調(diào)整，得到如圖3所示的目標(biāo)譜及干擾譜分布。

圖2 目標(biāo)譜和干擾譜分布情況1

圖3 目標(biāo)譜和干擾譜分布情況2

4.2 序列二次規(guī)劃算法仿真結(jié)果

采用序列二次規(guī)劃算法對模型進(jìn)行求解，在如圖2所示的干擾譜和目標(biāo)譜分布情況下，得到在不同的尋優(yōu)起始點(diǎn)時(shí)最優(yōu)波形的設(shè)計(jì)結(jié)果如圖4所示。

圖4 序列二次規(guī)劃算法在圖2情況下求解結(jié)果

以上3個(gè)仿真過程，迭代次數(shù)和每次實(shí)驗(yàn)得到的最大互信息量如表1所示。

表1 圖4中3個(gè)仿真過程最大互信息量及迭代次數(shù)

在如圖3所示的干擾譜和目標(biāo)譜分布情況下，得到的在不同的尋優(yōu)起始點(diǎn)時(shí)得到的最優(yōu)波形設(shè)計(jì)結(jié)果如圖5所示。以上3個(gè)仿真過程，迭代次數(shù)和得到的最大互信息量如表2所示。

圖5 序列二次規(guī)劃算法在圖3情況下求解結(jié)果

表2 圖5中3個(gè)仿真過程最大互信息量及迭代次數(shù)

通過以上結(jié)果可以得出，序列二次規(guī)劃算法能夠?qū)崿F(xiàn)對優(yōu)化模型進(jìn)行求解。但是在求解過程中，需要人為設(shè)置尋優(yōu)起始點(diǎn)，尋優(yōu)初始值設(shè)定的不同，對算法的結(jié)果存在很大的影響。同時(shí)算法在運(yùn)算過程中存在較為明顯的局部收斂現(xiàn)象，算法極易陷入局部最優(yōu)。

4.3 粒子群序列二次規(guī)劃算法仿真結(jié)果

在粒子群序列二次規(guī)劃算法對于模型的求解過程中，仿真過程所采用的參數(shù)與4.2節(jié)中一致，采用粒子群的大小為1 000。同樣，在相同的目標(biāo)譜和干擾譜情況下，分別進(jìn)行3次實(shí)驗(yàn)，分別記錄這3次實(shí)驗(yàn)得到的最大互信息量和算法收斂時(shí)的迭代次數(shù)。同時(shí)，分別采用粒子群算法和遺傳算法對模型進(jìn)行求解和算法的對比。使用粒子群序列二次規(guī)劃算法對目標(biāo)模型求解結(jié)果的部分仿真圖如圖6、7所示，在不同目標(biāo)譜和干擾譜分布情況下各個(gè)算法對目標(biāo)模型的求解結(jié)果如表3、4所示。

圖6 粒子群序列二次規(guī)劃算法在圖2 分布下對目標(biāo)模型部分求解結(jié)果

圖7 粒子群序列二次規(guī)劃算法在圖3分布下對目標(biāo)模型部分求解結(jié)果

表3 各算法在圖2分布下得到的波形最大互信息量和迭代次數(shù)

表4 各算法在圖3分布下得到的波形最大互信息量和迭代次數(shù)

通過圖4～7與表1～4中數(shù)據(jù)可以看出，粒子群序列二次算法在解決信雜比限定下的最大互信息雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問題的研究中，有效地提升了傳統(tǒng)序列二次規(guī)劃算法、粒子群算法和遺傳算法在解決該問題時(shí)的收斂速度和得到的最優(yōu)波形的最大互信息量，有效地避免了傳統(tǒng)序列二次規(guī)劃算法依賴尋優(yōu)起始點(diǎn)和易陷入局部最優(yōu)的問題，提高了算法的全局性。

5 結(jié)論

本文針對于序列二次規(guī)劃算法在計(jì)算信雜比限定下的最大互信息雷達(dá)波形設(shè)計(jì)模型中，求解結(jié)果易受到尋優(yōu)初始值的影響、同時(shí)易陷入局部最優(yōu)的問題，在算法中引入了粒子群算法作為全局尋優(yōu)算法，將序列二次規(guī)劃算法作為局部尋優(yōu)算法，形成了粒子群序列二次規(guī)劃算法，并利用該算法對模型進(jìn)行求解，通過仿真結(jié)果可以看出：

1)粒子群序列二次規(guī)劃算法因?yàn)槌跏贾凳请S機(jī)設(shè)定的，避免了因人為設(shè)定尋優(yōu)初始值導(dǎo)致的計(jì)算結(jié)果的差別；

2)粒子群序列二次規(guī)劃算法在得到最優(yōu)解時(shí)的迭代次數(shù)與序列二次規(guī)劃算法相比，有明顯的提升；

3)粒子群序列二次規(guī)劃算法對模型求解后得到的最優(yōu)波形的最大互信息量與序列二次規(guī)劃算法、粒子群算法、遺傳算法相比，有明顯提升；

4)本文設(shè)計(jì)的算法，雖然增大了波形設(shè)計(jì)求解模型的精度，但增大了求解模型所需要的時(shí)間消耗，降低了問題處理的實(shí)時(shí)性。