靳夢(mèng)丹，胡志廣

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言和預(yù)備知識(shí)

在李代數(shù)理論中，著名的共軛定理是：特征為0的代數(shù)閉域上的有限維李代數(shù)的任意2 個(gè)Cartan 子代數(shù)關(guān)于內(nèi)自同構(gòu)群共軛.共軛定理與李代數(shù)的強(qiáng)ad-冪零元密切相關(guān)，而強(qiáng)ad-冪零元一定是ad-冪零的[1-2].在冪零李代數(shù)中無(wú)非平凡的強(qiáng)ad-冪零元，在半單李代數(shù)中，由強(qiáng)ad-冪零元指數(shù)生成的自同構(gòu)子群是內(nèi)自同構(gòu)群[2].上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)是一類重要的可解李代數(shù)，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究[3-8].本文考慮特征為0的域F 上的3 階上三角可解李代數(shù)，給出了其所有的強(qiáng)ad-冪零元，并得到了其強(qiáng)ad-冪零元集在自同構(gòu)群下的軌道.

設(shè)F 是特征為0 的代數(shù)閉域，t（n，F(xiàn)）={（aij）∈gl（n，F(xiàn)）|aij=0，i ＞j}為n 階上三角可解矩陣?yán)畲鷶?shù)，有時(shí)簡(jiǎn)記為t.記Aut（L）為李代數(shù)L 的自同構(gòu)群，Int（L）為L(zhǎng) 的內(nèi)自同構(gòu)群.設(shè)σ 是有限維線性空間V上的線性變換，令

若Vλ≠{0}，則稱之為σ 關(guān)于λ 的根子空間.文中其他記號(hào)見文獻(xiàn)[1-2].

定義1設(shè)L 為域F 上的李代數(shù)，x∈L，若存在y∈L 以及ady 的某一非零特征值a，使得x∈La（ady），則稱x 為強(qiáng)ad-冪零的.

引理1[2]設(shè)φ∈Aut（L），則

定義2設(shè)稱O（x）={φ（x）|φ∈Aut（L）}為x 在自同構(gòu)群Aut（L）作用下的軌道.

引理2設(shè)L 為F 上的李代數(shù)，其導(dǎo)子列為

設(shè)φ∈Aut（L），則φ（L(i)）=L(i)，i≥0.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)L=t（3，F(xiàn)），則ce23|a、b、c∈F}.

證明設(shè)則ady 在基e11+e22+e33，e11，e22，e12，e23，e13下的矩陣為

由此可得ady 的特征值為

下面分情況討論.

情況1若y11、y22、y33互不相等，則λ1、λ2、λ3均不為零，有如下情形.

（1）若y11+y33≠2y22，則λ1、λ2、λ3互不相等，此時(shí)ady 的非零特征值的根空間均為特征子空間.計(jì)算得

（2）若y11+y33=2y22，則有λ1=λ2≠0，λ3=2λ1，計(jì)算可得

情況2若y11、y22、y33中僅有2 個(gè)相等，則有如下情形.

（1）若y11=y22≠y33，即λ1=0，λ2=λ3≠0，則解（ady-λ2id）2x=0 可得Lλ2=Fe23+Fe13.

（2）若y22=y33≠y11，即λ2=y22-y33=0，λ1=λ3≠0，則

（3）若y11=y33≠y22，即λ3=y11-y33=0，λ1=-λ2≠0，此時(shí)計(jì)算得

情況3若y11=y22=y33，此時(shí)無(wú)非零特征值.

綜上可得到t（3，F(xiàn)）的所有強(qiáng)ad-冪零元.證畢.

推論設(shè)L=t（3，F(xiàn)），則E（L）=Int（L）.

證明由定理1 及其證明知，若adx 冪零，則x=λI+y，其中I 為3 階單位陣，y 為強(qiáng)ad-冪零元.所以adx=ady，因此E（L）=Int（L）.

定理2設(shè)L=t（3，F(xiàn)），φ∈Aut（L），取L 的一組基

則φ 在這組基下的矩陣為

或者

證明設(shè)

因?yàn)槔畲鷶?shù)的自同構(gòu)將中心映為中心，而C（t）=Fε1，故有

由引理2 及L(1)=span{ε4，ε5，ε6}和L(2)=Fε6知

由[φ（e11），φ（e13）]=φ（e13）和[φ（e22），φ（e12）]=φ（-e12）可分別求得b2=1 和c2=0.再由[φ（e12），φ（e23）]=φ（e13）得f6=d4e5-e4d5.注意到f6≠0，則有d4e5≠0 或e4d5≠0.

當(dāng)d4e5≠0 時(shí)，由[φ（e22），φ（e12）]=φ（-e12）得c3=1，d5=0，d6=c5d4，由[φ（e22），φ（e23）]=φ（e23）得e4=0，e6=c4e5；再由[φ（e11），φ（e23）]=0 得b3=0，b4=-c4；最后，由[φ（e11），φ（e22）]=0 可得b5=0，c6=-b4c5.由此可得自同構(gòu)φ 的第1 種表達(dá)形式，容易驗(yàn)證由這種形式定義的φ 是自同構(gòu)的.

當(dāng)e4d5≠0 時(shí)，利用同樣的方法可求得自同構(gòu)φ的另一種表達(dá)形式.證畢.

注 容易求得t（3，F(xiàn)）的內(nèi)自同構(gòu)為定理2 的第1 種表達(dá)形式下的a1=1，b1=c1=0 的情形.關(guān)于n 階上三角可解李代數(shù)t（n，F(xiàn)）的自同構(gòu)和內(nèi)自同構(gòu)可見文獻(xiàn)[3].

定理3李代數(shù)t（3，F(xiàn)）的強(qiáng)ad-冪零元集在其自同構(gòu)群作用下的軌道分解為

證明由定理1 知e12、e12+e23和e13都是強(qiáng)ad-冪零元，再由定理2，可求出它們?cè)谧酝瑯?gòu)群下的軌道分別為

易知它們互不相交，且它們與零軌道的并就是所有的強(qiáng)ad-冪零元，因而可得自同構(gòu)群作用下的軌道分解.證畢.