付 鵬， 胡安峰， 李怡君， 謝康和， 李 龍

(1. 浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058；2. 浙江大學 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，杭州 310058)

隨著港口及海洋工程的發(fā)展，樁基礎作為一種有效的基礎形式在跨海大橋、碼頭、近海風機、海上平臺建設中得到了廣泛的應用。在風荷載、波浪荷載、地震荷載等荷載作用下，海洋樁基需要承受巨大的水平動荷載。研究其在動力荷載作用下的水平振動特性具有重要的工程應用價值。

近幾十年來廣大學者對動荷載作用下樁基振動問題進行了深入的研究。Novak等[1-4]將土體視為均質黏彈性介質，系統(tǒng)的研究了動力荷載作用下樁基水平振動問題。Gazetas等[5]基于分象限假定研究了樁-土系統(tǒng)水平振動的輻射阻尼。Shadlou等[6]基于彈性動力學理論，分析了成層地基中單樁水平動力響應。尚守平等[7]，Zheng等[8]將土體視為飽和多孔介質，研究了飽和土中樁基水平振動問題。

這些研究均是基于完全埋入式樁基礎，然而海洋樁基多采用高樁的形式，上部樁體位于水中，下部樁體埋入海床，其變形和內力與完全埋入式樁基有明顯的差異[9-11]。馬宏旺等[12]采用數(shù)值模擬的方法研究了循環(huán)荷載作用下高樁基礎水平動力特性。Catal[13-14]將土體視為彈性連續(xù)介質，研究了高樁基礎的動力穩(wěn)定特性。任青等[15]基于動力Winkler模型，提出了考慮豎向荷載的海洋群樁基礎水平振動模型。Hu等[16]基于飽和多孔介質理論，分析了飽和土地基中高樁基礎的水平動力響應，探討了埋入比對樁基振動特性的影響。Liu等[17]基于疊加原理，研究了成層飽和土地基中群樁水平振動特性。

以上研究都是將高樁基礎埋入水中部分樁體考慮為自由段，沒有考慮作用在樁身上的動水壓力。徐漢忠[18]的研究表明動水壓力會對埋入水中圓柱梁的水平振動特性產生顯著影響。本文假設水體為無黏性不可壓縮流體，考慮樁基與海床土及流體的相互作用，基于傳遞矩陣法，得到了海洋高樁基礎水平振動解析解。本文解可為海洋高樁基礎的工程設計提供參考。

1 計算模型及基本假定

計算簡圖如圖1所示，水深為H1，土層厚度為H2，樁頂受到簡諧激振力，樁體彈性模量為Ep，樁體密度為ρp，樁長為H，半徑為r0。

圖1 計算模型

本文在建立模型時引入以下假定：①土體為各向同性黏彈性體，水體為無黏性不可壓縮流體；②樁-流體、樁-土體系振動為小變形，樁-流體、樁-土完全連續(xù)接觸；③水平振動時，忽略土體的豎向位移；④樁底為固定支座，樁頂自由。

2 控制方程及邊界條件

2.1 振動控制方程

(1)流體運動控制方程

無黏性不可壓縮流體的運動控制方程是拉普拉斯方程，在柱坐標系下可表示為

(1)

式中,φ為速度勢函數(shù)

(2)土體振動方程

根據(jù)彈性動力學理論，不考慮土體豎向位移時，柱坐標下土體振動控制方程可表示為

(2)

(3)

式中：ur和uθ為土體徑向和切向位移；λ和μ為土體復拉梅常數(shù)，μ=G(1+2ξi)，G為土體剪切模量，ξ為土體阻尼比；ρs為土體密度。

土體振動方程相關解可參考文獻[2]，這里不再詳細說明。

(3)樁水平振動方程

(0≤z≤H2)

(4)

(-H1≤z<0)

(5)

式中：up為樁身水平位移；Ep為樁彈性模量；Ip為樁截面慣性矩；mp為樁單位長度的質量；qs為水平振動時單位長度樁身所受的土體反力；qf為作用于單位長度樁身的動水壓力。

2.2 邊界條件

(1)不考慮重力波的影響，流體表面有

φz=-H1=0

(6)

(2)流體底面z=0處無豎向速度，有

(7)

(3)流體與樁身接觸面速度連續(xù)，即

(8)

(4)無窮遠處，速度勢滿足Sommerfeld輻射條件

(9)

式中：kw為波數(shù)。

土層邊界條件及樁土接觸面連續(xù)條件可參考文獻[2]，這里不再詳細介紹。

3 方程求解

基于分離變量法，流體速度勢函數(shù)φ可表示為

(10)

式中，T(t)為時間因子eiωt，為簡便起見，在以下推導過程中省略eiωt項。

將式(10)代入式(1)，可解得

R(r)=A1Im(hr)+A2Km(hr)

(11)

Θ(θ)=B1cos(mθ)+B2sin(mθ)

(12)

Z(z)=C1cos(hz)+C2sin(hz)

(13)

式中，Im(hr)和Km(hr)分別為m階第一類、第二類修正Bessel函數(shù)。

結合邊界條件和樁-流體耦合連續(xù)條件(6)、(7)、(8)、(9)，可有

A1=B2=C2=0,m=1

(14)

(15)

則速度勢函數(shù)φ可表示為

(16)

作用在樁身上的動水壓力為

(17)

式中，ρf為流體的密度。

將式(16)代入式(17)，可得

(18)

將式(18)代入式(5)，則埋入水中部分樁身振動方程可表示為

(19)

式(19)的解為

up=λ1cosh(kz)+λ2sinh(kz)+λ3cos(kz)+

(20)

式中：k4=mpω2/EpIp；λ1，λ2，λ3，λ4為待定常數(shù)。

由樁-流體接觸面速度連續(xù)條件，可有

[λ1cosh(kz)+λ2sinh(kz)+λ3cos(kz)+λ4sin(kz)-

(21)

將式(21)兩邊同時乘于cos(hnz)，并在區(qū)間[-H1，0]上積分，可有

(22)

由式(22)可得

A=δ1λ1+δ2λ2+δ3λ3+δ4λ4

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

則式(20)可表示為

up=

(28)

故對于埋入水中部分樁身可有

(29)

式中：up,φp，Mp，Qp分別為樁身水平位移、轉角、彎矩和剪力；[T1(z)]=[t1(z),t2(z),t3(z),t4(z)]其中

[t1(z)]=

(30)

[t2(z)]=

(31)

[t3(z)]=

(32)

[t4(z)]=

(33)

由此可得樁頂和流體-土交界面處樁身位移及內力的關系

(34)

同理，樁底和流體-土交界面處樁身位移及內力關系為

(35)

式中，[T2(z)]和[T1(z)]矩陣形式相同，具體參數(shù)取值見文獻[3]

水中段及土中段樁身在流體-土交界面處位移和內力連續(xù)，則由式(34)和(35)可得

(36)

其中，

[T]=[T2(H2)][T2(0)]-1[T1(0)][T1(-H1)]-1

當樁底為固定約束時，有

up(H2)=0，φp(H2)=0

(37)

由式(36)和(37)可得

(38)

式中，

[Kp]=

(39)

則樁頂水平動力阻抗Kh，搖擺動力阻抗Kr以及水平-搖擺耦合動力阻抗Khr可分別表示為

(40)

(41)

(42)

4 計算結果與分析

4.1 合理性驗證

為驗證本文解的正確性，將本文解與文獻[18]給出的圓柱梁與水耦合振動解對比。令H2=0，將本文解退化為水中圓柱梁水平振動解，計算得到水中圓柱梁的梁頂動力阻抗。計算參數(shù)為：H1=5 m，r0=0.5 m，Ep=25 GPa,ρp=2 500 kg/m3，ρf=1 000 kg/m3。對角頻率ω進行轉化，橫坐標為f=ω/2π。圖2分別給出了根據(jù)本文退化解和文獻[18]解得到的水平動力阻抗計算結果?？梢钥闯鰞烧叻治鼋Y果完全一致，從而驗證了本文解的合理性。

圖2 與文獻[18]解對比分析

為進一步驗證本文解的合理性，令H1=0，將本文解退化為完全埋入式樁基水平振動解，并與文獻[3]解進行對比。計算參數(shù)為：H2=20 m，Ep/Es=1 000，νs=0.3，ξ=0.05，ρs=2 190 kg/m3，其余參數(shù)同上。圖3分別給出了根據(jù)本文退化解和文獻[3]解得到的水平動力阻抗計算結果?？梢钥闯鰞烧叻治鼋Y果完全一致，進一步驗證了本文解的合理性。

(a)

(b)

4.2 樁頂動力阻抗特性分析

對海洋高樁基礎樁頂阻抗特性進行分析，主要分析動水壓力、水深及樁徑對樁頂阻抗的影響。其中，樁頂阻抗的實部代表真實的剛度，虛部代表樁-土及樁-流體系統(tǒng)能量消散的阻尼。參數(shù)分析中，計算參數(shù)取值為H2=20 m，H1/H2=0.1，其余參數(shù)同上。

為分析動水壓力對海洋高樁基礎水平動力特性的影響，將本文解與不考慮動水壓力的解進行對比分析。圖4和圖5分別反映了不同水深及不同樁徑下動水壓力對樁頂水平動力阻抗的影響。由圖可見，頻率較低時，動水壓力對樁頂水平動力阻抗影響不大。在較高頻率范圍，考慮動水壓力計算得到的水平阻抗剛度因子小于忽略動水壓力計算得到的水平阻抗剛度因子，且兩者的差距隨頻率增大而增大。當頻率較高且水深較深時，考慮動水壓力計算得到的水平阻抗阻尼因子略微大于忽略動水壓力計算得到的水平阻抗阻尼因子。結合式(18)可以看出，動水壓力隨激振頻率的增大而增大；ω=0時，動水壓力等于0。從而隨著激振頻率的增加，動水壓力對樁頂水平動剛度影響越大。這與圖4、5的分析結果一致。說明在進行海洋高樁基礎水平動力特性分析時，需要考慮動水壓力作用，以免高估其水平動剛度。

圖6～圖8反映了樁半徑對樁頂阻抗的影響。由圖可見，增大樁徑對樁頂阻抗提升非常明顯。但是隨著頻率增加，樁徑對水平阻抗剛度因子影響逐漸減小。這是由于隨著樁徑增加，土體反力及樁身剛度增加，單位長度樁身質量也隨之增加。在低頻范圍內，水平阻抗剛度因子主要受樁身剛度及土體反力影響。但是在較高頻率范圍，樁身慣性力對水平阻抗剛度因子的影響更為顯著。

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

圖9～圖11反映了水深對樁頂阻抗的影響?？梢钥闯霎敇扼w埋入土中長度和樁徑一定時，隨著水深增加，水平阻抗、搖擺阻抗、水平-搖擺耦合阻抗均顯著減小。且隨著頻率增加，樁頂阻抗降低幅度明顯加大。當H1/H2=0.1時，樁頂水平動剛度相較于完全埋入式樁基礎降低了45%以上。說明樁基礎的動力特性對上部約束條件非常敏感。

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

5 結 論

本文考慮動水壓力作用和樁-流體耦合振動，得到了黏彈性地基中海洋高樁基礎水平動力響應解析解。對樁頂阻抗進行參數(shù)分析，得出了以下結論：

(1)頻率較低時，動水壓力對樁頂水平動剛度影響不大，在較高頻率范圍，忽略動水壓力會高估樁頂水平動剛度。

(2)頻率較低時，動水壓力對樁頂水平阻抗阻尼因子影響很小，當頻率較高且水深較深時，忽略動水壓力會低估樁頂水平阻抗阻尼因子。

(3)增大樁徑對樁頂阻抗提升非常明顯，但是隨著激振頻率增加，樁徑對水平阻抗剛度因子的影響逐漸減小。

(4)水深的增加會顯著降低高樁基礎水平阻抗、搖擺阻抗及水平-搖擺耦合阻抗。且隨著頻率增加，樁頂阻抗降低幅度明顯增大。