李 潮， 陳章位， 黃連生， 邱宏亮

(1.浙江大學(xué) 流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室，杭州 310027；2.杭州億恒科技有限公司，杭州 310015)

材料和結(jié)構(gòu)可能由于循環(huán)應(yīng)力而破裂或失效，材料試驗機是用于確定材料和結(jié)構(gòu)在循環(huán)應(yīng)力的特性，在機械零部件、車輛、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]。電液伺服試驗機來說，方波再現(xiàn)非常困難。一方面，電液伺服系統(tǒng)在高頻段具有幅頻特性下降和相頻滯后的現(xiàn)象，響應(yīng)時間較長，難以實現(xiàn)高精度的方波跟蹤；另一方面，試件的剛度特性千差萬別，控制器需要對于不同剛度試件的適應(yīng)能力。

目前為止，已有許多關(guān)于液壓伺服試驗機的自適應(yīng)控制。Lee[2]提出了伺服液壓材料試驗臺的自校正極點配置控制器。試驗結(jié)果表明正弦波形幅值得到了有效的補償。他們還進一步指出，由于伺服閥操作在力和應(yīng)力控制中的應(yīng)用接近于零，因此閥的機械零位偏移、閥重疊和徑向間隙對系統(tǒng)的影響更大，因此有必要對系統(tǒng)模型進行在線辨識。有些學(xué)者提出可變PID控制如自動調(diào)節(jié)PID控制器[3]和自適應(yīng)PI控制器[4-5]，通過重新調(diào)整參數(shù)以適應(yīng)系統(tǒng)的變化，但這兩種方法都需要進行預(yù)試驗的調(diào)節(jié)。廣義預(yù)測控制(GPC)也被應(yīng)用于力控制液壓系統(tǒng)，盡管動力和非線性高，試驗結(jié)果也顯示出良好的適應(yīng)性[6]。此外，還有學(xué)者將自適應(yīng)逆控制[7]，迭代學(xué)習(xí)控制[8]和重復(fù)控制[9]應(yīng)用于液壓伺服系統(tǒng)。這些方法都能對系統(tǒng)的剛度變化有良好的自適應(yīng)能力，實現(xiàn)正弦波形的幅值補償，但對于方波的再現(xiàn)，響應(yīng)速度仍然不夠快。

為了克服干擾，剛度和其他環(huán)境不確定性，噪聲放大或共振，Niksefat等[10-11]將QFT控制應(yīng)用于液壓力控制。他們給出了具有不同環(huán)境剛度、不同參考力、不同壓力供應(yīng)的階躍響應(yīng)的結(jié)果，證明了QFT控制的魯棒性。此外，Ahn等[12]提出了一種利用梯度下降法來調(diào)整QFT參數(shù)的自校正QFT控制器。自整定QFT方法的結(jié)果顯示出比PID控制器更快的階躍響應(yīng)。QFT控制雖有較強的魯棒性，但在波形跟蹤精度方面，仍不如前述的自適應(yīng)逆控制、廣義預(yù)測控制等自適應(yīng)的控制策略。

針對液壓系統(tǒng)的非線性和參數(shù)不確定性，Alleyne等[13]提出了一種基于Lyapunov自適應(yīng)控制的參數(shù)不確定性補償方法。針對具有非線性未知參數(shù)的電液伺服系統(tǒng)Guan等[14]提出了一種自適應(yīng)滑?？刂品椒?，結(jié)合滑?？刂品椒ǎ瑯?gòu)造了一種新型的Lyapunov函數(shù)，構(gòu)造了漸近穩(wěn)定的自適應(yīng)控制器和自適應(yīng)律。Yao等[15]提出了一種非線性自適應(yīng)魯棒反步控制器，它可以補償系統(tǒng)的非線性和不確定參數(shù)。然而，控制器的設(shè)計通常需要較為精確的數(shù)學(xué)模型及其參數(shù)，自適應(yīng)過程也需要狀態(tài)量的測量，這限制了它們在一般工業(yè)中的應(yīng)用。

此外還有一些智能控制用于液壓伺服控制的研究。Truong等[16]提出了一種基于魯棒擴展卡爾曼濾波器的在線智能整定模糊PID方法。模糊控制[17]，學(xué)習(xí)控制和神經(jīng)模糊學(xué)習(xí)控制[18]也被提出用于克服系統(tǒng)的不確定性。然而，這些控制方案需要較長的學(xué)習(xí)過程，對于方波也不能提供足夠快速的響應(yīng)。

本文主要研究電液伺服試驗機方波再現(xiàn)的控制問題。從理論上講，方波在實際系統(tǒng)中是不能完全再現(xiàn)的，因為在階躍點上有一個無限快的指令，實際的物理系統(tǒng)是不可能跟蹤的。我們只能使響應(yīng)盡可能接近方波。本文提出了一種新型的諧波控制方法，由多個諧波近似合成方波。該方法通過在線提取響應(yīng)信號的各階諧波的幅值和相位，并迭代修正每個諧波的幅值和相位而精確再現(xiàn)方波，而無需事先知道被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

1 系統(tǒng)描述

本文的目的研究方波再現(xiàn)的諧波控制，試驗系統(tǒng)的構(gòu)成如圖1所示，試件被夾持在液壓缸和橫梁之間，安裝在液壓缸之上的伺服閥控制液壓缸作動，對試件進行加載。系統(tǒng)中包含兩個傳感器，其中，力傳感器安裝于試件與橫梁之間，采集試件所受的載荷數(shù)據(jù)；LVDT位移傳感器安裝于液壓缸內(nèi)部。

圖1 試驗系統(tǒng)構(gòu)成

Clarke等建立了一個材料試驗機的九階模型，并與試驗結(jié)果的吻合度很高。他們進一步指出，忽略載荷框架的動力學(xué)，系統(tǒng)可以進行簡化，如圖2所示。簡化后電液伺服系統(tǒng)可以描述為三階線性化模型，能夠很好地描述液壓材料試驗機的特性。

圖2 系統(tǒng)的簡化模型

通過對閥孔局部線性化和流量方程的推導(dǎo)，推導(dǎo)出了三階數(shù)學(xué)模型。

QL=Kqxv-KCPL

ApPL=MXps2+KXp

(1)

式中：QL是負載流率，PL是作動器的兩腔壓力差；Kq和KC分別為流量增益系數(shù)和流量壓力增益系數(shù)；Ap，Vt和Xp分別是執(zhí)行器活塞的面積、油量和試樣位移；M和K是試樣的質(zhì)量和剛度；Ctp和β分別是油的泄漏系數(shù)和體積模量。

根據(jù)式(1)描述的模型，力控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為

(2)

式中，Kce=Kc+Ctp。

位移控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為

(3)

經(jīng)典的反饋控制必須達到穩(wěn)定性和快速性之間的折衷，這導(dǎo)致在高頻信號的跟蹤中不令人滿意的精度。理論上，PID控制器可以抵消系統(tǒng)傳遞函數(shù)在低頻的穩(wěn)定零極點，在低頻段能獲得很好的跟蹤效果，但是若想較好地跟蹤高頻信號，必然會在一定程度上損失系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。在工程實踐中，PID控制器雖然簡單易懂，但若想在實踐中調(diào)節(jié)到最優(yōu)的控制效果是不容易的。用PID控制對上述的三階模型在MATLAB/Simulink中進行仿真，圖3給出了兩種典型的力跟蹤效果。如果想要快速響應(yīng)，很容易會發(fā)生超調(diào)，這是試驗機不允許的。

更進一步，從系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以看出，試件剛度對系統(tǒng)特性有相當(dāng)大的影響，對于不同剛度的試件，PID參數(shù)在試驗中需要重新調(diào)節(jié)，這為試驗過程造成很多不便而且增加了操作人員的難度。

因此，為了使系統(tǒng)對方波的高頻部分有更好的自適應(yīng)跟蹤能力，本文提出一種諧波控制的方法，對輸出信號的各階幅值和相位的偏差進行在線補償。這種方法不僅提高了方波信號高頻段的跟蹤精度，對于系統(tǒng)特性的變化有良好的適應(yīng)能力。

(a) 響應(yīng)快，有超調(diào)

(b) 響應(yīng)較慢

2 期望波形的諧波合成及其優(yōu)化

本文采用諧波合成的方法實現(xiàn)方波的精確控制。首先，需要諧波合成期望的方波。周期信號的頻譜是離散的，可以由有限的或無限的正弦波合成。假設(shè)n次諧波用于合成方波的近似，時域信號可以被描述為

(4)

其中，

ωi=(2i-1)ω0

(5)

(6)

Ai和ωi是每個諧波的振幅和角頻率。ω0是基頻，即方波的頻率；A是方波的幅值。然而，如果我們試圖通過諧波合成理想的方波，則發(fā)現(xiàn)即使在選擇大量諧波時，時域信號會有較大的峰起和紋波。圖4給出了幅值為1的5 Hz方波的諧波合成，這表明即使50個諧波(頻率高達49 Hz)也不能給出令人滿意的結(jié)果。

(a) 20個諧波合成

(b) 50個諧波合成

因此，期望波形需要進行優(yōu)化，我們既希望波形的響應(yīng)較快，同時不要產(chǎn)生超調(diào)，以免造成對試件的過試驗。需要調(diào)整每個諧波的幅值來優(yōu)化期望方波的時域波形，這里采用Nelder Mead單純形法[19-20]搜索各階諧波的最佳幅值。

設(shè)搜索的各階諧波幅值向量p=[A1A2…An]，定義其對應(yīng)的指標(biāo)函數(shù)為

(7)

式中，N是方波一個周期內(nèi)額總采樣點數(shù)，Δrk是用幅值向量p合成的時域波形與理想方波在第k個點的偏差，αk是第k個點的加權(quán)系數(shù)。將方波不連續(xù)點處鄰域的系數(shù)設(shè)置為較小值，而在其他點處的加權(quán)系數(shù)設(shè)置為較大的值，可以防止方波的諧波合成過程中由于吉布斯現(xiàn)象造成的峰起和紋波。各階幅值優(yōu)化過程如下。

步驟1 生成初始單純形。

選取幅值向量的初值p0，這里取為式(6)中的方波各階諧波幅值的標(biāo)稱值。利用下式(8)生成另外n個初值p1～pn。

pi=p0+λiei,i=1,2,…,n

(8)

式中，ei是n維空間的單位正交基。λi是正的系數(shù)，其大小與搜索范圍相關(guān)。n+1個向量p0～pn構(gòu)成初始的單純形。將n+1個向量p0～pn的分別代入指標(biāo)函數(shù)，并對其從小到大進行排序，不失一般性，描述為

J(p0)≤J(p1)≤…≤J(pn)

(9)

步驟2 求取重心點、最差點的反射點。

分別用pl、pnl、ps表示單純形內(nèi)的n+1個向量中使得指標(biāo)函數(shù)最大的、次大的、最小的幅值向量。除最差點pl之外，其余點的重心為

(10)

最差點pl關(guān)于重心的反射點為

pr=pg+ρ(pg-pl)

(11)

式中，ρ是反射系數(shù)，通常取為1。

步驟3 迭代尋優(yōu)

根據(jù)反射點的指標(biāo)函數(shù)值J(pr)落在的區(qū)間，進行分類討論。

(1)若J(ps)≤J(pr)≤J(pnl),用pr直接替代pl，構(gòu)成新的單純形；

(2)若J(pr)≤J(ps)，求pr的延伸點

pe=pg+χ(pr-pg)

(12)

式中，χ>1是延伸系數(shù)。如果J(pe)≤J(pr)，用pe替換pl；否則，用pr替換pl。

(3)若J(pnl)≤J(pr)≤J(pl)，進行外收縮

pc=pg+γ(pr-pg)

(13)

其中，0<γ<1是收縮因子。如果J(pc)≤J(pl)，用pc代替pl；否則，需要進行壓縮操作

vi=ps+σ(pi-ps),i=1,2,…,n

(14)

其中，0<σ<1是壓縮因子。壓縮后構(gòu)成新的單純形p0,v1～vn。

(4)若J(pr)≥J(pl)，進行內(nèi)收縮

pc=pg+γ(pl-pg)

(15)

如果J(pc)

步驟4 重復(fù)步驟2和步驟3，不停迭代更新單純形。迭代一定次數(shù)后，最后所得的單純形中的ps即是所求的最優(yōu)幅值向量。

用上述的單純形尋優(yōu)方法，將參數(shù)設(shè)置為n=8,λi=0.05,i=1,2,…,n,ρ=1,χ=2,γ=0.5，σ=0.5，采樣頻率為3 000 Hz。αk在k=24～276時取1，其余點處取0。圖5顯示了優(yōu)化后的5 Hz方波的諧波合成結(jié)果。圖中優(yōu)化后的合成波形基本沒有超調(diào)和紋波，而且有一個相當(dāng)快的響應(yīng)速度，其上升時間大約為9 ms。

圖5 用8階諧波優(yōu)化后合成的方波

3 諧波控制方法

3.1 諧波幅值相位修正算法

在第二節(jié)中，我們求得了優(yōu)化的期望波形的各階幅值，這里記作Adi，i=1,2,…,n。而期望波形各階相位都為φdi=0。然而，如果將期望的信號作為輸入信號輸入閉環(huán)液壓伺服系統(tǒng)，由于液壓系統(tǒng)的在中高頻段的幅值衰減和相位滯后，輸出響應(yīng)不能維持所需的幅值和相位。因此，本文采用諧波控制器，在線修正命令輸入信號的各階諧波幅值和相位，以實現(xiàn)期望的輸出信號。控制系統(tǒng)的框圖如圖6所示。

圖6 諧波控制原理框圖

PID控制器構(gòu)成一個內(nèi)層閉環(huán)伺服控制。諧波控制器的輸出由給定幅值和相位的多個諧波正弦信號疊加生成，作為PID伺服閉環(huán)的命令輸入信號。輸出響應(yīng)信號通過A/D轉(zhuǎn)換器采集至數(shù)字信號處理器DSP，DSP對每一幀輸出信號進行諧波幅值和相位估計。諧波控制器根據(jù)輸出響應(yīng)信號的各階諧波幅值和相位誤差對命令輸入信號的幅值和相位進行修正。幅值迭代修正的方法如下

(16a)

(16b)

式中，上標(biāo)k代表第k次迭代，下標(biāo)i代表第i階諧波。EA是輸出響應(yīng)信號的諧波幅值估計與期望幅值偏差。Am是輸出響應(yīng)信號諧波幅值的估計值。D是諧波控制器輸出信號的諧波幅值，隨著迭代的過程不斷更新。常量μ<1是收斂因子，用于調(diào)節(jié)收斂速度。

同理，相位的修正方法為

(17a)

(17b)

式中，EP是輸出響應(yīng)信號的諧波相位與期望相位的偏差，φm是輸出響應(yīng)信號諧波相位的估計值。P是諧波控制器輸出信號的諧波相位η與μ類似，是收斂因子。

3.2 諧波幅值相位提取估計算法

在線性系統(tǒng)的假設(shè)下，因為諧波控制器的輸出(命令輸入信號)是由多個諧波疊加生成，輸出響應(yīng)信號也是多個正弦波的疊加。

設(shè)輸出響應(yīng)信號為

(18)

根據(jù)積化和差公式得到

(19a)

(19b)

(20a)

(20b)

4 試驗結(jié)果

將本文提出的諧波控制方法應(yīng)用于液壓伺服試驗機上進行試驗，并與PID控制器的波形控制效果進行了比較。表1列出了試驗機液壓系統(tǒng)的參數(shù)。

圖7和圖8分別給出了諧波控制之前的PID控制和諧波控制后的位移方波跟蹤效果。位移控制試驗采1 Hz，±10 m的方波，中心位置為0 mm。類似的，圖9和圖10是1 Hz，±200 N的方波的力控制試驗結(jié)果。在諧波控制中，輸出響應(yīng)信號的幅值相位估計的幀長度為256個采樣點，諧波幅值相位估計使用二階巴特沃斯低通濾波器，幅值相位修正算法的收斂因子均取為0.1。

表1 液壓系統(tǒng)的參數(shù)

圖7 諧波控制之前的PID位移控制跟蹤效果

圖8 諧波控制之后的位移控制跟蹤效果

圖7和圖8采用相同的PID參數(shù)，圖9和圖10也是采用相同的PID參數(shù)，圖7和圖9的PID參數(shù)均未調(diào)到最優(yōu)。由圖可見，采用諧波控制方法經(jīng)過一段時間迭代之后，輸出響應(yīng)波形對方波的跟蹤精度非常高，位移控制的方波響應(yīng)的上升時間約為50 ms，力控制方波的輸出響應(yīng)的上升時間約為48 ms。事實上，上升時間主要是由合成的優(yōu)化方波影響的。本文由于只選用了8階諧波進行合成，對于1 Hz的方波，其上升時間理論上是45 ms。如果選用更多階諧波，在物理系統(tǒng)允許的情況下能夠達到更快的響應(yīng)速度，但這在另一方面大大增加了計算量。

圖9 諧波控制之前的PID力控制跟蹤效果

圖10 諧波控制之后的力控制跟蹤效果

諧波控制不僅擁有快速的響應(yīng)時間，而且其跟蹤曲線都沒有產(chǎn)生明顯的超調(diào)，其跟蹤效果對于內(nèi)環(huán)的PID參數(shù)也不敏感，有良好的自調(diào)節(jié)能力?？焖俚捻憫?yīng)時間主要是由于諧波控制器從頻域?qū)Ω麟A諧波的幅值相位進行修正，對于高頻部分的幅值衰減和相位滯后有定位的補償能力。此外，由于精確的幅值相位提取算法，幾乎不會對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成影響。而PID控制器參數(shù)調(diào)節(jié)較難，在高頻段無法定位補償，只能通過協(xié)同調(diào)整三個參數(shù)來拓展頻寬，而且提升波形的跟蹤能力必定在一定程度上影響其閉環(huán)穩(wěn)定性。

從圖10力控制的效果來看，輸出響應(yīng)信號存在較大的噪聲，這是因為傳感器測量和儀器噪聲引起的。因為本試驗采用的試件剛度很小，試驗力不能采用太大的幅值。由于200 N的信號相對較小，所以引入了較大的噪聲，但是與諧波控制算法的精度無關(guān)。

5 結(jié) 論

本文提出了一種新的方波再現(xiàn)的諧波控制方法，并進行了試驗驗證。首先，用Nelder Mead單純形法，合成方波的各階幅值進行優(yōu)化，進而合成期望的近似方波。然后，通過在線估計輸出響應(yīng)信號的幅值和相位，求取與期望波形各階幅值相位的誤差，根據(jù)誤差迭代修正各階諧波的命令輸入信號的幅值和相位，最終使輸出響應(yīng)信號與合成的優(yōu)化后的時域波形趨于一致。最后，本文提出的諧波控制算法在一個液壓伺服試驗機上進行了試驗驗證，從位移控制和力控制的方波跟蹤效果看，諧波控制方法可以對方波進行精確的控制。輸出響應(yīng)信號不僅有相當(dāng)快的響應(yīng)速度，同時，沒有產(chǎn)生超調(diào)。

本文所提出的諧波控制從頻域的角度對時域的方波進行控制，其優(yōu)點是，控制通過迭代進行，不需知道系統(tǒng)模型，也無需做系統(tǒng)辨識。由于一直進行在線的幅值和相位迭代修正，對于系統(tǒng)特性的變化和環(huán)境不確定性，有非常強的適應(yīng)能力。本文將該方法在液壓試驗機系統(tǒng)方波的控制中得到成功的驗證。此外，我們相信它也可以推廣應(yīng)用于其他領(lǐng)域的周期波形的控制問題中。