移動的隧道軸向激勵作用下兩相多孔介質動力反應

2019-09-17 06:47包漢營陳文化

振動與沖擊 2019年17期

包漢營，陳文化

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044)

城市地下軌道交通的迅猛發(fā)展，緩解了路面交通的擁堵狀況，同時也產生了許多環(huán)境振動與噪聲等問題。對于這一熱點問題的研究主要包括兩個方面：一是地鐵列車與軌道系統(tǒng)的研究；二是地鐵振動在地基中的傳播及其對地面建筑影響的研究。

針對振動的傳播及其影響的研究主要有以下內容：① 單相均質土體在內部移動荷載作用下的動力響應研究。該方向的研究將土體視為單相均勻介質，根據(jù)是否考慮隧道結構，振動荷載的形式又包括埋置移動荷載和隧道內部移動荷載兩種類型，研究方法主要有理論解析法[1-2]和有限元法[3-5]；② 兩相多孔均勻介質在內部移動荷載作用下的動力響應研究。考慮到富水(地區(qū)隧道往往處于地下水位以下，因此這一階段的研究將土體視為飽和土體，用Biot飽和多孔介質模型來模擬地基土，振動荷載的形式包括完全對稱式[6-7]和非對稱式[8-10]，Lu等利用波函數(shù)展開法分別研究了無襯砌隧道和襯砌隧道內部移動環(huán)形荷載作用下全空間飽和土體的動力響應問題；曾晨等分別采用有限元法和Biot飽和多孔介質理論等研究了地鐵列車荷載引起的隧道-飽和土體的動力響應問題；③ 移動荷載作用下分層介質的動力響應研究。該方向的研究對象包括單相分層介質[11-12]和兩相多孔分層介質[13-14]，研究方法主要為數(shù)值方法和半解析-半數(shù)值的方法。Sheng等采用離散波數(shù)虛擬力法、薄層法等研究了內部移動荷載作用下單相層狀半空間的動力響應，胡安峰等采用傳遞反射矩陣法、格林函數(shù)法等研究了成層飽和地基在移動荷載作用下的動力響應，并討論了荷載移動速度、荷載頻率等因素對動力響應的影響。

地鐵列車在進出站以及緊急制動過程中會產生沿隧道軸向的激勵作用，這種沿行駛方向的激勵作用是引起隧道和周圍介質振動的重要因素之一。目前針對沿列車行駛方向激振力所產生的動力問題的研究，主要集中在普通鐵路中列車-高架橋梁動力響應分析[15]，以及地鐵地面線路中軸向激勵對地鐵車站的影響等[16]，對于城市地下軌道交通中，移動的隧道軸向激振力作用下半空間飽和土體動力響應的研究相對較少。本文利用波函數(shù)展開法、鏡像原理、傅里葉變換法等，推導了頻域內隧道軸向激勵作用下飽和土體動力響應的解析解，并給出了飽和土體臨界速度的經驗公式；通過快速傅里葉逆變換得到了時-空域內飽和土體的動力響應，并研究了激振力移動速度、土體剪切模量、隧道埋深、角度、孔隙率等對飽和土體動力響應的影響，研究成果對探究地鐵隧道振動的響應規(guī)律以及減振降噪方面有一定的參考價值。

1 軸向激勵作用下兩相多孔介質動力響應求解

1.1 軸向激勵作用下兩相多孔介質動力分析模型

圖1 移動的隧道軸向激勵作用下飽和土體分析模型

1.2 兩相多孔介質振動控制方程及求解

將土體視為飽和多孔彈性介質，不計體力，由Biot飽和土理論[17]，隧道外圍飽和土體及孔隙水的本構方程和運動方程為

σij=2μεij+λδije-αδijp

(1)

p=-αMe+M?

(2)

(3)

(4)

式中：σij、εij(i，j=1、2、3)為飽和土體應力張量和應變張量；p為孔隙水壓力；δij為克羅奈克符號；e、?分別為土體骨架體積應變和單位體積內孔隙流體改變量，e=ui,i，?=-wi,i；ui、wi(i=1、2、3)分別為土體骨架位移和孔隙水的滲透位移分量；λ、μ為土體的拉梅常數(shù)；α、M為表征土顆粒和流體壓縮性的Biot系數(shù)；ρb、ρf分別為飽和土體密度和孔隙水密度，ρb=(1-ne)ρs+neρf，ρs為土體骨架密度；ne為土體的孔隙率；m=a∞ρf/ne，a∞為孔隙流體彎曲系數(shù)；η為孔隙流體黏性系數(shù)；k為孔隙流體動力滲透系數(shù)。

分別取隧道半徑r0，土體拉梅常數(shù)λ和孔隙水密度ρf為特征尺度，引入以下無量綱變量，對式(3)、(4)進行無量綱化處理

其中X表示與r0有相同量綱的變量，如ui、wi、r、H等。將以上無量綱變量代入式(3)、(4)即可將運動方程變?yōu)闊o量綱運動方程，為簡化表達方式，后續(xù)公式中的無量綱變量將省略上標“*”。

在求解控制方程時，需對控制方程進行傅里葉正、逆變換，本文采用以下傅里葉變換對

(5)

(6)

式中：Ω表示時間或空間坐標變量；ζ表示頻率或波數(shù)。

為求解式(1)～式(4)，用Helmholtz勢函數(shù)表示位移

(7)

(8)

將式(7)、(8)代入式(3)、(4)，并對飽和土體運動方程進行時域到頻域的傅里葉變換得

(9)

(10)

對式(9)、(10)進行空間坐標z1到波數(shù)ξ的傅里葉變換得

(11)

(12)

(13)

(14)

針對軸向激振力引起的介質波動特性，采用如圖2所示的鏡像原理，以自由表面為鏡面對稱出虛擬振源。根據(jù)鏡像原理可得

(15)

(16)

由此可得總波場為

(17)

(18)

圖2 鏡像原理

由Graf加法公式及貝塞爾函數(shù)的相關性質可得

(19)

其中

將式(19)代入式(17)、(18)得

(20)

(21)

參考文獻[2,6-7]中的處理方式，隧道內部邊界條件為

(22)

對式(22)進行t到ω，z1到ξ的雙重傅里葉變換得

(23)

由以上各式及邊界條件可得

(24)

其中

L1=

柱坐標系下土體骨架位移及應力為

(25a)

(25b)

后續(xù)推導以位移響應為例，對式(2)、(25a)進行t到ω，z1到ξ的雙重傅里葉變換得

(26)

(27)

將式(20)代入式(26)得

(28)

(29)

(30)

對式(28)～式(30)進行ξ到z1的傅里葉逆變換，得到頻域內位移和孔隙水壓力的解答

(31)

(32)

(33)

式中：L1、L2、L3、rt中的ξ=-ω/v。

2 動力響應及參數(shù)分析

2.1 確定土體臨界速度vcr

由式(31)～式(33)計算r1=1.5r0處飽和土體的動力響應，圖3～圖5中(a)圖為ω=10、(b)圖為ω=20時的動力響應，橫坐標為無量綱速度。其中文獻[18]采用的是最小二乘法處理自由表面邊界，雖然文獻[18]分析的是單相介質問題，但是其處理自由表面邊界的方法可以應用于兩相介質當中，圖3～圖5即為兩種不同邊界處理方法計算得到的兩相飽和介質的動力響應。由圖可以看出，兩種方法的計算結果能夠較好的吻合，且不同角頻率下的動力響應隨著激振力移

(a)

vcr=a(μ/λ)bv0

(34)

圖6 剪切模量對土體臨界速度的影響

(35)

由式(35)及圖3～圖5可以看出移動的隧道軸向常激勵作用下，飽和土體的臨界速度僅與土體的剪切模量以及密度有關，與隧道埋深、響應頻率等因素無關，同時，臨界速度的數(shù)值接近于1.1倍的剪切波速。后續(xù)內容將分別討論以下兩種工況，工況一:速度小于臨界速度，取0.65v0；工況二：速度大于臨界速度，取2.60v0。

2.2 剪切模量對動力響應的影響

土體的無量綱剪切模量分別取1.0、1.5、和2.0，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)，圖7～圖9分別為時域內剪切模量對土體徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移的影響曲線。

由圖7～圖9可以看出：工況一中各動力響應隨著μ的增大而減小，但達到最大振幅的時間不隨μ的增大而變化；工況二中各動力響應隨著μ的增大而增大，uθ達到最大值的時間隨著μ的增大而減小；除徑向位移外，對于同一響應，μ取相同數(shù)值時，工況一的響應幅值明顯小于工況二的響應幅值，達到幅值的時間明顯大于工況二的時間。

(a) v

(b) v>vcr

Fig.7 Influence of shear modulus on the radial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.8 Influence of shear modulus on the circumferencial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.9 Influence of shear modulus on the axial vibration displacement of a particle

2.3 隧道埋深對動力響應的影響

無量綱隧道埋深H分別取3、5、10、12、15(由于H對不同動力響應的影響程度不同，為了清楚的反映其影響規(guī)律，以下計算中H的取值略有不同)，無量綱剪切模量取1.0，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)，圖10～圖12為隧道的埋深對土體徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移的影響曲線。

(a) v

(b) v>vcr

Fig.10 Influence of embedded depth on the radial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.11 Influence of embedded depth on the circumferencial vibration displacement of a particle

(a) v

(b) v>vcr

Fig.12 Influence of embedded depth on the axial vibration displacement of a particle

由圖10可以看出：工況一和工況二兩種情況下，ur隨H的變化較小，但工況一對應的最大振幅大于工況二對應的最大幅值，這與2.2節(jié)中μ=1.0時兩種工況下徑向位移的響應規(guī)律相符；由圖11可以看出：uθ隨著H的增加而減小，工況一中達到最大振幅的時間不受H影響，工況二中達到最大振幅的時間隨著H的增加而增加；由圖12可以看出：uz隨著H的增加有小幅度減小，工況一中，當H超過10時，uz趨于穩(wěn)定；工況二中，uz隨著H的增加波動性減弱，這是由于隨著埋深的增大，自由表面的反射波對響應的影響越來越小。

2.4 不同角度的動力響應規(guī)律

無量綱剪切模量取1.0，無量綱隧道埋深取10，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)，角度分別取π/12、π/4、π/2、3π/4、11π/12。圖13～圖15分別為不同角度處土體的徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移曲線圖。

由圖13、圖15可以看出：工況一中，不同角度處土體的ur和uz變化很小，而工況二中ur和uz都出現(xiàn)了第二波峰，這說明荷載速度大于臨界速度時自由表面反射波對響應的影響更大；由圖14可以看出：兩種工況下，水平位置處的uθ最大，由水平位置向拱頂和仰拱處逐漸減小，拱頂處位移略大于仰拱處位移。

2.5 孔隙率對動力響應的影響

圖16～圖18分別為移動的隧道軸向常激勵作用下，r1=6r0處單相土體和不同孔隙率的飽和土體的徑向位移、環(huán)向位移以及軸向位移的變化曲線。無量綱剪切模量取1.0，無量綱隧道埋深取15，飽和土體的孔隙率分別取0.30和0.48。當飽和土體的參數(shù)α、M、ne、a∞、η/k等取值趨于零時，可將飽和土體退化為單相土體，軸向激勵的移動速度取0.65v0和2.60v0，其中v0取ne=0.3時的速度，其它基本參數(shù)同2.1節(jié)。

由圖16～圖18可以看出：兩種工況下，介質的孔隙率對振動響應的影響規(guī)律截然相反。工況一中，單相土體的動力響應幅值最大，隨著飽和土體孔隙率的增加，動力響應幅值逐漸減?。还r二中，飽和土體的孔隙率越大，動力響應幅值越大，單相土體的動力響應幅值最小。由此可知，實際工程計算中，當vvcr時，用單相土體所計算的結果是不安全的，因此，此種工況下必須將地基視為多孔介質進行計算。

3 結論

(1) 利用波函數(shù)展開法、傅里葉變換法、鏡像原理等推導了移動的地鐵隧道軸向激勵作用下，兩相多孔介質動力響應的解析解；飽和土體在隧道軸向移動激振力作用下存在臨界速度，當速度達到臨界速度時，飽和土體的動力響應幅值達到最大；臨界速度只與飽和土體的剪切模量和密度有關，與響應頻率、隧道埋深等因素無關；移動的軸向常激勵作用下，飽和土體臨界速度接近于土體剪切波速的1.1倍。