王淑敏 房 瑩

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南 )

1 引 言

從二十世紀(jì)六十年代開(kāi)始，最優(yōu)再保險(xiǎn)的研究已經(jīng)經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)的歷史，最優(yōu)再保險(xiǎn)也成為近年來(lái)越來(lái)越流行的課題之一.在精算文獻(xiàn)中，關(guān)于最優(yōu)再保險(xiǎn)研究的文獻(xiàn)已有許多，例如Centeno(1991)[1]，Sung(2011)[2]，Chi和Weng(2013)[3]，Kaluszka(2005)[4]，Promislow和Young(2005)[5]以及Cai和Tan(2007)[6]等人的文獻(xiàn).這些文獻(xiàn)的一個(gè)共同特征是最優(yōu)性考慮的是一方的利益，即保險(xiǎn)人的利益.通過(guò)采取再保險(xiǎn)策略，保險(xiǎn)人能控制他們的全部風(fēng)險(xiǎn).出于不同的目的，保險(xiǎn)人可以通過(guò)不同的方式來(lái)設(shè)計(jì)再保險(xiǎn)策略.例如Sung等人(2011)通過(guò)最大化保險(xiǎn)人財(cái)富的期望效用函數(shù)來(lái)研究最優(yōu)再保險(xiǎn)策略，而Chi和Weng(2013)則是通過(guò)最小化保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)損失(VaR)來(lái)研究最優(yōu)再保險(xiǎn)策略.從風(fēng)險(xiǎn)管理的角度來(lái)看，最小化保險(xiǎn)人損失的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)是一種流行的再保險(xiǎn)模式，例如Kaluszka (2005),Promislow和Young(2005)以及Cai和Tan(2007)等人的文獻(xiàn)中都采取了這種模式.

一份再保險(xiǎn)合同涉及保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人兩方，并且雙方有利益沖突.因此，如果我們只考慮保險(xiǎn)人的利益，對(duì)于再保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)可能并不公平.Borch(1969)[7]指出對(duì)于保險(xiǎn)人的最優(yōu)再保險(xiǎn)合同對(duì)于再保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)可能不是最優(yōu)的，也可能是不可接受的.關(guān)于最優(yōu)再保險(xiǎn)，一個(gè)有趣的問(wèn)題是設(shè)計(jì)一種再保險(xiǎn)，使其兼顧保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人兩方的利益.Borch(1960)[8]首先考慮了這個(gè)問(wèn)題，他研究了使雙方財(cái)富的期望效用函數(shù)的乘積最大化的最優(yōu)比例保留額和最優(yōu)止損自留額.Cai等人(2013)[9]研究了比例再保險(xiǎn)和止損再保險(xiǎn)在期望值保費(fèi)原則下，保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)以及聯(lián)合盈利概率函數(shù)的最大化問(wèn)題.

本文是在Cai等人(2013)最優(yōu)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，研究了最優(yōu)的變損再保險(xiǎn)策略.通過(guò)研究他們的聯(lián)合生存概率函數(shù)，給出了最優(yōu)變損再保險(xiǎn)策略存在的充分必要條件，并且得到了最優(yōu)的自留額與比率.

2 變損再保險(xiǎn)

假設(shè)X是保險(xiǎn)人總的風(fēng)險(xiǎn)損失，我們假定X是一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，并且有分布函數(shù)F(x)=Pr{X≤x}，生存函數(shù)S(x)=1-F(x)以及均值EX=μ>0.

變損再保險(xiǎn)是一種簡(jiǎn)單的分保形式，是指當(dāng)損失X0的情況.

因再保險(xiǎn)人分擔(dān)保險(xiǎn)人的部分風(fēng)險(xiǎn)，故保險(xiǎn)人應(yīng)以保費(fèi)的形式向再保險(xiǎn)人支付費(fèi)用.我們假設(shè)保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的保費(fèi)按照期望值原則計(jì)算，那么再保險(xiǎn)人和保險(xiǎn)人的保費(fèi)收入分別為

(1)

(2)

其中θI,θR分別為保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的安全負(fù)荷因子，uI>0,uR>0分別為保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的初始財(cái)富.

在實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)人會(huì)將風(fēng)險(xiǎn)更大的損失轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)人，不失一般性，我們假定θI<θR，另外，從收益角度來(lái)看，保險(xiǎn)人獲得的保費(fèi)收入PI(c,d)必須是正的，因此有

(3)

3 保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率

在變損再保險(xiǎn)中,比率c與自留額d組成參數(shù)組合(c,d),設(shè)D為可行的比率與自留額區(qū)域，故有

在變損再保險(xiǎn)中，保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)為

Js(c,d)=Pr{XR≤uR+PR(c,d),XI≤uI+PI(c,d)}

(4)

定理1在D區(qū)域內(nèi)，以下集合均是非空的：

(5)

又因?yàn)镚1(c,d)關(guān)于c,d是連續(xù)的，所以集合(5)均是非空的.定理即證.

(6)

證

(7)

(8)

又因?yàn)?1,dR)∈D,所以，當(dāng)c→1,d→dR時(shí)，由(7)和(8)得

(9)

(10)

(ii) 如果uI>(θR-θI)μ,那么以下集合均是非空的：

(11)

證明同定理2，故在此省略.

最后，我們得出保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù).

(12)

(13)

其中

(14)

4 最優(yōu)再保險(xiǎn)參數(shù)

證由定理4(i)知保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)為(12)，如果d≤uI+PI,那么

證由定理4(ii)知保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)為(13)，當(dāng)d≤uI+PI時(shí)，

例1令θI=0.2,θR=0.4,uR=50,uI=20,假設(shè)X有指數(shù)型分布的生存函數(shù)S(x)=e-0.01x,μ=100,

圖1 例1的最優(yōu)參數(shù)組合

圖2 例2的最優(yōu)參數(shù)組合

例2令θI=0.2,θR=0.3,uR=10,uI=8,X有帕累托型分布的生存函數(shù)

5 結(jié) 語(yǔ)

在本文中，我們研究了聯(lián)合生存概率準(zhǔn)則下變損再保險(xiǎn)的最優(yōu)策略.首先，給出了在變損再保險(xiǎn)下保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率；其次，在期望值保費(fèi)原則下，最大化雙方的聯(lián)合生存概率函數(shù)，得到了變損再保險(xiǎn)最優(yōu)的自留額與比例；最后，給出了變損再保險(xiǎn)最優(yōu)自留額與比例的數(shù)值分析.我們還指出了需要做進(jìn)一步研究的問(wèn)題.首先，多重最優(yōu)條件的存在通常成立，因此，需要第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選擇唯一的最優(yōu)再保險(xiǎn)參數(shù)(c,d)；其次變損再保險(xiǎn)可以推廣到其他形式的再保險(xiǎn).對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，我們希望在未來(lái)能做更進(jìn)一步地研究.