曾歡艷，張娟文，劉文祥，陳婉若

（1.湖南工學(xué)院 建筑工程與藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院，湖南 衡陽421002；2.湖南工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 衡陽421002）

1 引言

圓孔蜂窩梁是一種腹板成排開圓孔的新型鋼梁，其截面形式通常為工字型或槽型。圓孔蜂窩梁孔型光滑，受力合理，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。

蜂窩梁的撓度是工程設(shè)計(jì)的一個(gè)控制指標(biāo)?，F(xiàn)階段蜂窩梁的撓度計(jì)算方法大致可分為三類，即實(shí)用估算法、比擬法和有限元法[3-4]。

廖曙波等憑借自己扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，利用比擬法中費(fèi)氏空腹桁架法原理，推導(dǎo)了圓孔蜂窩梁的撓度計(jì)算公式。由于沒有考慮孔型等效，該公式為積分表達(dá)式，需要借助數(shù)學(xué)計(jì)算工具如MATLAB 才能計(jì)算[1]。本文在此基礎(chǔ)上，探討圓孔蜂窩梁撓度計(jì)算時(shí)的孔型等效模式，盡量將計(jì)算公式簡化，能用于工程計(jì)算。

基于廖曙波等的思路，本文共探討三種等效模式：面積相等、慣性矩接近的正方形（簡稱等效法一）；面積相等、孔長不變的長方形（簡稱等效法二）；孔高孔長均不變的正方形（簡稱等效法三）。利用費(fèi)氏空腹桁架法的原理，推導(dǎo)出考慮孔型等效后的撓度計(jì)算公式，再與廖曙波等的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析出最接近實(shí)際孔型的等效模式。

2 等效法一撓度計(jì)算表達(dá)式推導(dǎo)

Altfillisch 將蜂窩梁的撓度分解成三部分：f=fm+fv+fvm。式中，fm是彎曲撓度，fv 是剪切撓度，fvm 是剪力次彎矩產(chǎn)生的梁橋及墩腰轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的撓度[2]。

2.1 彎曲撓度

等效模式如圖1所示，蜂窩梁圓形孔直徑d，開孔間距s。按面積相等，慣性矩最接近的等效原則，將圓形孔等效為正方形孔，等效尺寸為d1和s1。

圖1 等效法一示意圖

定義蜂窩梁正方形開孔空腹部分的等效截面慣性矩為Ik1；實(shí)腹部分的截面慣性矩為IS；換算實(shí)腹梁（與蜂窩梁實(shí)腹部分尺寸相同的實(shí)腹梁）的慣性矩也為IS；蜂窩梁的一個(gè)孔長加一個(gè)間距長為一個(gè)單元，其長度l0=d+s。求得等效正方形的邊長d1及s1：

蜂窩梁正方形開孔部分的等效慣性矩為：

現(xiàn)設(shè)有一簡支圓形孔蜂窩梁，如圖2所示，圓形孔直徑為d，開孔間距s，端距為s/2。梁兩端作用有純彎矩M，設(shè)其總長為L。

圖2 彎矩作用下等效法一尺寸及其假想的剛度分布

將圓形孔洞全等效為正方形孔如圖所示，可知梁的抗彎剛度沿梁長是變化的。假設(shè)梁長共有n 個(gè)單元，第i 個(gè)開孔邊緣距梁端的距離：

在全梁范圍內(nèi)，蜂窩梁的截面慣性矩I(x)為：

或η=0（xi-s1≤x≤xi）

根據(jù)圖乘法，當(dāng)有彎矩作用時(shí)，蜂窩梁跨中彎曲撓度計(jì)算公式為：

將式（4）代入式（5），根據(jù)蜂窩梁各段剛度不同的特點(diǎn)先分段積分再求和可得：

蜂窩梁開孔沿梁的全長均勻分布，故開孔部分長度占梁全長的比例為，因此，fm為：

式中：fm0——換算實(shí)腹梁在相同邊界、相同荷載條件下的彎曲撓度。

2.2 剪切撓度

根據(jù)虛功原理，蜂窩梁跨中最大剪切撓度為：

同彎曲撓度計(jì)算原理，可得剪切撓度為：

式中：fv0——換算實(shí)腹梁在相同邊界、相同荷載條件下的剪切撓度；

As——換算實(shí)腹梁的腹板截面面積；

Ak1——等效正方形孔腹板空腹截面面積，Ak1=As-d1tw。

2.3 剪力次彎矩產(chǎn)生撓度

如圖3所示，截取圓形孔蜂窩梁的一個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)圓形孔等效為正方形孔。該單元由剪力次彎矩產(chǎn)生的變形圖如圖3所示。設(shè)撓度為fivm，它由兩部分組成：在剪力次彎矩作用下梁橋的彎曲撓度和梁墩轉(zhuǎn)動(dòng)引起的撓度，如圖3b、3c 所示。

圖3 剪力次彎矩產(chǎn)生的撓度示意圖

均布荷載q 作用下：

跨中集中荷載P 作用下：

3 等效法二撓度計(jì)算表達(dá)式推導(dǎo)

考慮到開孔長度對(duì)蜂窩梁撓度的影響，可將圓形孔等效為面積相等、孔長不變的長方形。此時(shí)孔長為d，孔高開孔部分慣性矩腹板面積Ak2=As-atw，空腹部分占全長比例為。同等效法一推導(dǎo)過程，可知：

剪力次彎矩產(chǎn)生的撓度fvm同等效法一，參數(shù)相應(yīng)的進(jìn)行改變即可。

4 等效法三撓度計(jì)算表達(dá)式推導(dǎo)

考慮到孔高和孔長兩者同時(shí)對(duì)蜂窩梁撓度的影響，可將圓形孔等效為孔高孔長均不變的正方形。此時(shí)孔長=孔高=d，開孔部分慣性矩，腹板面積，同理可知：

剪力次彎矩產(chǎn)生的撓度fvm仍同等效法一，參數(shù)相應(yīng)的進(jìn)行改變即可。

5 不同等效模式的比較分析

以某簡支圓形孔蜂窩梁為例，梁截面尺寸H450 ×200 ×8 ×10，蜂窩梁跨度L=8100mm，材質(zhì)Q235B。梁上翼緣作用均布荷載q=25kN/m?，F(xiàn)以蜂窩梁的孔高比d/hw和距高比s/hw 為變量，分別用三種等效方法計(jì)算蜂窩梁撓度，并與廖曙波等的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表1所示。

表1 均布荷載作用下?lián)隙扔?jì)算值

將上表數(shù)值用變化關(guān)系圖表示如圖4所示。

從表1及圖4得出以下規(guī)律：

①圓孔蜂窩梁撓度隨著孔高比d/hw的增大而增大，隨著距高比s/hw的增大而減小。

②等效法三由于擴(kuò)大了孔洞面積，削弱了截面，導(dǎo)致?lián)隙缺葘?shí)際情況大，特別當(dāng)孔高比d/hw=0.8，距高比s/hw=0.4 時(shí)，等效法三撓度達(dá)到了廖曙波等計(jì)算結(jié)果的1.3 倍以上，相差較大，等效模式不可取。

圖4 均布荷載作用下?lián)隙?距高比關(guān)系對(duì)比圖

③等效法一和等效法二，計(jì)算結(jié)果與廖曙波等的計(jì)算結(jié)果接近，可見開孔面積對(duì)撓度的影響占主要作用[3]。其中，等效法一（即等效為面積相等、慣性矩接近的正方形）計(jì)算結(jié)果偏于安全，故本文推薦圓孔蜂窩梁的孔型等效模式為等效法一。

跨中集中荷載作用下圖形變化規(guī)律與均布荷載作用情況類似，限于篇幅，本文不再贅述。

6 結(jié)論

①本文基于費(fèi)氏空腹桁架法原理，推導(dǎo)了圓孔蜂窩梁孔型三種等效模式下的撓度計(jì)算公式，并將計(jì)算結(jié)果與廖曙波等的積分計(jì)算進(jìn)行對(duì)比，得出等效法一（即等效為面積相等、慣性矩接近的正方形）是最接近實(shí)際狀態(tài)的孔型等效模式[4]。

②根據(jù)等效法一的計(jì)算結(jié)果，本文推薦圓孔蜂窩梁撓度計(jì)算時(shí)可采用式（6）（7）（8）和（9）進(jìn)行理論計(jì)算。與廖曙波等的積分計(jì)算相比，該計(jì)算公式大大簡化了工作量，并能達(dá)到一定的計(jì)算精度要求。