袁 鵬,祗會強,靳 鴻,段曉倩,孫赫軒

(中北大學儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室,太原 030051)

磁異常探測技術(shù)是未知爆炸物探測的重要手段,具有極高的軍事意義和民用價值[1-2]。磁探測初始階段測量磁場總量,后來又測量磁場分量和梯度,到現(xiàn)在發(fā)展到測量磁梯度張量。磁梯度張量測量技術(shù)和傳統(tǒng)的磁場測量相比有巨大的優(yōu)勢,它的最大優(yōu)點是能夠有效的克服地磁場的影響,提高磁性目標的定位準確度,不足之處就是搭載平臺對其定位結(jié)果的影響較大。

磁梯度張量不變量是由磁梯度張量通過某些變換獲得的標量,這些標量不隨坐標系的變化而變化,它適合于機動平臺對磁性目標的定位,目前已經(jīng)成為國內(nèi)外的研究熱點[3-5]。

磁梯度張量不變量定位方法,由于橢圓系數(shù)的存在,導致求解單位距離矢量和距離矢量模的過程中都存在一定的誤差,單位距離矢量是測量點指向磁源的單位方向矢量,距離矢量模是測量點到磁源的距離。針對該問題,提出了一種利用磁梯度張量不變量消除橢圓誤差的改進定位方法。該方法利用單位定位矢量和定位矢量的模相乘,來求出定位矢量,本文的創(chuàng)新點是:①提出一種新的單位定位矢量計算方法,該方法主要利用測量點和磁性目標形成的距離矢量與磁梯度張量矩陣的絕對值最小的特征值對應(yīng)的特征向量的垂直關(guān)系。②提出一種距離矢量模的修正方法,該方法利用磁梯度張量的特征值不變量來消除橢圓系數(shù),從而修正定位矢量的模。

本文所提出的基于磁梯度張量不變量的改進定位方法,可以有效地避免地球磁場的影響,實現(xiàn)隱蔽磁性目標的定位,而且適用于移動平臺,有很高的應(yīng)用價值。

1 磁梯度張量不變量定位方法

當探測距離大于2.5倍磁性目標自身長度時,磁性目標就可以看作一個磁偶極子[6-7]。距磁偶極子r處的磁場大小可以表示成

(1)

式中:μ0是真空磁導率;M是磁性目標的磁矩;r是測量點到磁性目標的距離;r0是沿r方向的單位方向向量。磁梯度張量表示磁場三分量在3個方向的空間變化率,由9個元素組成,其表達式為

(2)

式中:G為磁梯度張量。磁性目標在其周圍產(chǎn)生的磁場我們將它看作靜磁場,由麥克斯韋方程組可知,B的旋度和散度都為0,所以G是對稱矩陣,只需要計算G的5個元素。定義CT=|G|,在磁偶極子模型場源條件下其表達式為

(3)

式中:參數(shù)k是在空間中為非球面分布的常數(shù),在定位矢量正交于磁矩的方向上取得最小值,在定位矢量平行于磁矩的方向上取得最大值。CT的等值線是以磁源為中心的近似橢圓[8]。

地球磁場約為5萬nT,分量有幾千到幾萬nT,但地磁場的梯度[9-10]小于等于0.02 nT/m,所以測量磁梯度張量可以消除地磁場的干擾。

磁梯度張量系統(tǒng)的測量陣列采用正六面體結(jié)構(gòu),如圖1所示,坐標原點位于正六面體的中心,三個坐標軸分別垂直穿過對應(yīng)正六面體的三個平面的中心點,8個磁傳感器分別位于正六面體的8個頂點,傳感器的三軸與坐標系的三軸方向保持一致。正六面體每個平面內(nèi)都有4個傳感器,可以測得六個面中心的磁梯度張量,以Z軸正方向的平面為例:

圖1 張量系統(tǒng)測量陣列

(4)

(5)

式(4)中G為磁梯度張量,式(5)中S為每個磁傳感器測得的磁場3分量,d為正六面體測量陣列的邊長。

由空間梯度定義可知,標量函數(shù)某一點的空間梯度指向函數(shù)在該點處空間變化率最大的方向。對測量陣列而言,其測量基點磁梯度張量的?？臻g梯度為

(6)

式中:i、j、k為正交坐標系的基向量,ΔCT,X為X方向的兩個測量平面磁梯度張量的模的差值,即 ΔCT,X=CT,+X-CT,-X,其余兩個方向同理.CT的方向由測量陣列基點指向磁性目標,將其單位化即可得到單位定位矢量:

(7)

(8)

同理

(9)

(10)

聯(lián)立式(8)和式(10)得

(11)

求出單位定位矢量和定位矢量的模,最終得到定位矢量為

(12)

2 橢圓誤差消除方法

把Wiegert提出的STAR定位方法[11-12]稱為原始方法,原始方法由于存在橢圓系數(shù)而有一定的誤差。誤差來源于式(3)中的橢圓系數(shù)k,k值的大小因為磁距與距離矢量方向的夾角的變化而變化,而原始方法把k看作一個不變的常數(shù),所以造成了誤差。由于橢圓系數(shù)k的變化造成的計算誤差主要有三處:①式(6)對CT中的變量求導,其中有兩個變量r和k,原始方法只對r進行求導,造成單位距離矢量的誤差。②式(10)中正六面體的X軸正負方向平面的CT相除,原始方法把k看作一個常數(shù),相互抵消,實際上兩個不同點的k有微小差別,造成距離矢量模的誤差。③式(11)求解定位矢量模R過程中,使用了式(6)計算得到的有誤差的單位距離矢量,也會造成距離矢量模的誤差.

通過上述分析可知,因為橢圓系數(shù)的存在,原始方法計算得到的單位距離矢量及距離矢量的模都存在誤差。

2.1 新的單位距離矢量計算方法

本文提出了一種新的單位定位矢量計算方法,所提方法利用測量點和磁性目標形成的位置矢量與磁梯度張量矩陣絕對值最小的特征值對應(yīng)的特征向量之間的垂直關(guān)系[13],這個垂直關(guān)系由磁梯度張量不變量推導得出。

該方法使用如圖1所示的正六面體結(jié)構(gòu)的測量陣列,坐標原點位于正六面體的中心,三個坐標軸分別垂直穿過對應(yīng)正六面體的兩個平面的中心點,測量陣列每個面都有4個三軸磁傳感器,可以測出每個正六面體每個面中心處的磁梯度張量。

設(shè)X軸正方向平面中心的點是P1,P1點的磁梯度張量為G1,矩陣G1的特征值為λ1、λ2、λ3,且|λ1|>|λ3|,|λ2|>|λ3|,λ3對應(yīng)的特征向量是V3,Y軸正方向平面中心的點是P2,P2點的磁梯度張量為G2。矩陣G2的特征值為λ4、λ5、λ6,且|λ4|>|λ6|,|λ5|>|λ6|,λ6對應(yīng)的特征向量是V6,Z軸正方向平面中心的點是P3,P3點的磁梯度張量為G3。矩陣G3的特征值為λ7、λ8、λ9,且|λ7|>|λ9|,|λ8|>|λ9|,λ9對應(yīng)的特征向量是V9。V3、V6和V9是正六面體3個面磁梯度張量矩陣絕對值最小的特征值對應(yīng)的特征向量。

正六面體的中心O到磁性目標之間的位置矢量為r,P1點到磁性目標之間的位置矢量為r1,P2點到磁性目標之間的位置矢量為r2,P3點到磁性目標之間的位置矢量為r3,由磁梯度張量不變量推導出的垂直[13]關(guān)系可得

(13)

由O、P1、P2的位置關(guān)系,利用向量運算可以得到:

(14)

將式(14)中的等式代入式(13)可以得到

(15)

f=max(|f1|,|f2|,|f3|)

(16)

利用粒子群優(yōu)化算法對式(16)中x,y和z進行優(yōu)化,使得f最小,即可求解出x,y,z。

粒子群優(yōu)化算法是一種啟發(fā)式優(yōu)化算法,它是從隨機解出發(fā),通過迭代來尋找最優(yōu)解,通過適應(yīng)度函數(shù)來判斷解是否最優(yōu),通過追隨當前最優(yōu)解來尋找全局最優(yōu)解。這種算法的優(yōu)點是實現(xiàn)容易、精度高、收斂快,在解決實際問題的過程有巨大的優(yōu)越性。所以單位距離矢量為

(17)

2.2 距離矢量模的修正方法

正六面體的X軸正負方向平面中心的橢圓系數(shù)k有微小的差別,所以兩個平面中心點的橢圓系數(shù)分別設(shè)為k1,k2,聯(lián)立式(3)、式(10)和式(17)可得

(18)

聯(lián)立式(8)和式(17)得

(19)

由文獻[14]可知橢圓系數(shù)的公式

(20)

由文獻[13]可知磁梯度張量的特征值不變量公式

(21)

聯(lián)立式(20)和式(21)得

(22)

所以有

(23)

將式(23)代入式(19)可以得到修正的距離矢量的模

(24)

求出單位距離矢量和距離矢量的模,得到修正后的距離矢量為

(25)

3 仿真實驗分析

針對本文提出的橢圓誤差修正方法,對可能造成誤差的因素進行仿真,并分析仿真結(jié)果。仿真實驗工具有MATLAB軟件和COMSOL多物理場仿真軟件?？赡苡绊懚ㄎ痪鹊囊蛩赜?①測量系統(tǒng)的基線d;②高斯噪聲;③磁傳感器的測量精度。

仿真時通過式(12)計算原始方法的距離矢量,通過式(25)計算改進方法的距離矢量。

仿真實驗的初始條件:測量陣列是圖1所示正六面體,以正六面體的中心為坐標原點建立笛卡爾坐標系,設(shè)磁源坐標為(10,20,30)單位m;磁性目標的磁矩m=(5 000 000,5 000 000,7 071 100)Am2;當?shù)氐牡卮艌稣鎸嵵禐?30 000,2 200,44 000)nT。

3.1 正六面體測量系統(tǒng)的基線

仿真方法:仿真時正六面體測量系統(tǒng)的基線d從0.1 m增加到2.2 m,其他量保持初始條件不變,加入地磁場.比較理論值與仿真結(jié)果,得出結(jié)論。

仿真結(jié)果如圖2,圖2橫坐標表示正六面體基線d從0.1 m增加到2.2 m,圖2縱坐標為測量點與理論位置的絕對誤差,單位是m。三種線型的曲線表示三種傳感器精度對應(yīng)的仿真結(jié)果。

圖2 測量系統(tǒng)基線d變化時的定位誤差

從圖2可知,正六面體基線d小于等于0.4 m時,定位誤差較小,比較穩(wěn)定,當d大于0.4 m時,系統(tǒng)的定位誤差逐漸增大。

3.2 高斯噪聲仿真實驗

仿真方法:正六面體的基線d=0.4,測量系統(tǒng)仿真時,加入高斯噪聲,噪聲的信噪比從10增加到60,其他量保持初始條件不變,加入地磁場,每個信噪比都仿真100次,然后求解100次仿真結(jié)果的平均值。比較理論值與仿真結(jié)果,得出結(jié)論。

仿真結(jié)果如圖3,圖3橫坐標表示高斯噪聲的信噪比從10增加到60,圖3縱坐標為100次仿真結(jié)果的平均值與理論位置的絕對誤差,單位是m。三種線型的曲線表示三種傳感器精度對應(yīng)的仿真結(jié)果。

圖3 高斯噪聲信噪比變化時的定位誤差

從圖3可知,隨著高斯噪聲信噪比的增大,測量系統(tǒng)的定位誤差迅速減小,當信噪比大于等于50時,定位誤差達到最小并趨于穩(wěn)定。

3.3 磁傳感器的精度

仿真方法:正六面體的基線d=0.4,磁源沿一條直線運動,在不同傳感器精度條件下,其他量保持初始條件不變,分別測量出對應(yīng)磁源的坐標。具體方法是,磁源從坐標(10,20,0)沿Z軸正方向移動到(10,20,70),單位是m,每次移動2.5 m,選擇1 nT、0.1 nT和0.01 nT三種傳感器精度,在其他量保持初始條件不變的前提下,加入地磁場,分別測量這三種精度下每次磁源移動后的坐標。

仿真結(jié)果如圖4,圖4橫坐標表示磁源的Z坐標從0增加到70,圖4縱坐標為三種傳感器精度測量的絕對誤差,單位是m。三種線型的曲線表示三種傳感器精度對應(yīng)的仿真結(jié)果。

圖4 傳感器精度變化時的定位誤差

在圖2到圖4中三種線型的曲線表示1 nT、0.1 nT和0.01 nT三種傳感器精度對應(yīng)的仿真結(jié)果,可以看出不論是在系統(tǒng)基線的仿真實驗,還是高斯噪聲實驗中,還是在磁源直線運動的傳感器精度實驗中,都有以下結(jié)論:傳感器精度越高,定位誤差越小。

由圖4還可以看出當傳感器精度為1 nT,磁源在點(10,20,20)時,測量誤差開始增大;當傳感器精度為0.1 nT,磁源在點(10,20,30)時,測量誤差開始增大;當傳感器精度為0.01 nT,磁源在點(10,20,55)時,測量誤差開始增大;由此可以得出以下結(jié)論:本文所提改進定位方法,傳感器精度為1 nT時的測量半徑是30 m,傳感器精度為0.1 nT時的測量半徑是37 m,傳感器精度為0.01 nT時的測量半徑是60 m左右。

3.4 磁源的圓形軌跡運動驗證實驗

為了測試系統(tǒng)的整體性能,本文進行了磁源圓形軌跡運動定位實驗。在加入地磁場基礎(chǔ)上,正六面體的基線d=0.4,噪聲的信噪比為50,傳感器精度為0.1 nT,磁源沿圓的軌跡移動,使用原始方法和本文所提改進方法分別對磁源進行定位,觀察定位結(jié)果,分析兩種定位方法的軌跡,得出結(jié)論。

正六面體測量陣列以正六面體的中心為坐標原點建立笛卡爾坐標系。在地磁場和高斯噪聲環(huán)境下,其他量保持初始條件不變,磁源沿圓的軌跡從初始位置(10,20,30)繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)一周,每次旋轉(zhuǎn)10°,共旋轉(zhuǎn)36次,每次磁源位置更新后,分別使用原始方法和本文所提改進方法分別對磁源位置進行定位,記錄定位結(jié)果。

仿真結(jié)果如圖5、圖6和圖7,三個圖中的實線是圓形軌跡的理論值。

圖5 磁源圓形軌跡運動原始方法橫縱坐標仿真圖

圖6 磁源圓形軌跡運動改進方法橫縱坐標仿真圖

圖7 磁源圓形軌跡運動兩種方法z坐標坐標仿真圖

圖5中的虛線是使用原始方法測量出的磁源軌跡橫縱坐標,圖6中的虛線是使用本文所提改進方法測量出的磁源軌跡橫縱坐標,圖5和圖6的橫坐標都是磁源軌跡的橫坐標,單位是m,圖5和圖6的縱坐標都是磁源軌跡的縱坐標,單位是m,圖7中的點線是使用原始方法測量出的磁源軌跡z坐標,圖7中的虛線是使用本文所提改進方法測量出的磁源軌跡z坐標,圖7的橫坐標表示磁源的第n次旋轉(zhuǎn),圖7的縱坐標表示兩種方法測量出的磁源軌跡z坐標,單位是m。

從圖5～圖7可知,在磁源的圓形軌跡運動定位實驗中,本文所提改進定位方法在x,y和z軸的誤差都在1 m以內(nèi),相對于原始方法的誤差有很大程度的減小,定位精度大幅度提高。

4 總結(jié)

本文針對現(xiàn)有的磁梯度張量不變量定位算法存在橢圓誤差的問題,提出了一種利用磁梯度張量不變量消除橢圓誤差的改進定位方法。根據(jù)仿真實驗的結(jié)果可得,本文所提的改進方法消除了橢圓誤差,定位誤差相比于原始方法有大幅度的減小,可以實現(xiàn)地磁環(huán)境和一定信噪比的高斯噪聲情況下的實時精確定位,而且該方法適用于移動平臺。在改進方法中,測量系統(tǒng)的基線d=0.4 m時,可以取得較小的定位誤差;信噪比大于50的高斯噪聲對測量系統(tǒng)的影響較小;傳感器的精度越高,定位誤差越小。所以本文所提的改進方法有很好的定位效果,不足的地方就是對傳感器的精度要求較高。