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(1.河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院 河南洛陽 471003；2.機械裝備河南省協(xié)同創(chuàng)新中心 河南洛陽 471003)

本文作者基于氣體潤滑理論建立球面螺旋槽動靜壓氣體潤滑分析數(shù)學(xué)模型，采用有限差分法與導(dǎo)數(shù)積分法相結(jié)合，數(shù)值求解氣膜動態(tài)擾動壓力分布，數(shù)值計算動態(tài)特性系數(shù)；研究結(jié)構(gòu)參數(shù)與運行參數(shù)對軸承動態(tài)特性系數(shù)的影響規(guī)律，優(yōu)化動態(tài)特性、減小氣膜渦動和振蕩，為提高氣體軸承運行穩(wěn)定性提供理論基礎(chǔ)。

1 球面螺旋槽氣體軸承潤滑分析數(shù)學(xué)模型

1.1 球面螺旋槽氣體軸承的幾何模型

如圖1所示，軸承由定子與轉(zhuǎn)子組成，供氣孔加工在定子上，轉(zhuǎn)子上加工有螺旋槽，供氣孔的位置與螺旋槽的分布沒有相互影響，采用逆切向供氣。β是螺旋角；w是軸頸轉(zhuǎn)速；φ是供氣切向角；α0是轉(zhuǎn)子小端角度；α1是螺旋槽起始端角度；α2是轉(zhuǎn)子大端角度；ps是小孔供氣壓力；br是臺寬；bg是槽寬；hg是槽區(qū)間隙；h0是臺域內(nèi)氣膜平均間隙。

圖1 球面氣體軸承示意圖

1.2 潤滑分析數(shù)學(xué)模型

結(jié)合氣體潤滑運動方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程以及節(jié)流孔流量方程為基礎(chǔ)，結(jié)合牛頓黏性定律和雷諾方程假設(shè)[9-10]，在圖2所示球面坐標系下，推導(dǎo)切向供氣的球面動靜壓氣體軸承非線性動態(tài)潤滑分析數(shù)學(xué)模型。

圖2 球面坐標系

(1)

(2)

對式(1)進行保角變化[11-12]。取ξ=ln[tan(α/2)]， 將其變形為易于數(shù)值計算的雷諾方程形式：

(3)

式中：γ=sin2(2arctaneξ)。

2 氣膜動態(tài)特性系數(shù)的數(shù)值計算

2.1 軸承剛度、阻尼系數(shù)的推導(dǎo)

在轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)位置給一個小擾動，轉(zhuǎn)子偏離靜平衡位置作變位運動，氣膜力改變，氣膜的動特性反映了氣膜力的相應(yīng)變化情況。圖3所示是轉(zhuǎn)子在φ、ξ、z方向偏離穩(wěn)態(tài)平衡位置O1在做微小運動時的受力分析。

圖3 軸承受力分析

將動態(tài)壓力分布p在穩(wěn)態(tài)平衡位置附近展開為軸心偏離平衡位置的瞬時位移和瞬時變位速度的泰勒級數(shù)(只考慮一階小項)[11]：

(4)

氣膜力對各方向位移與速度的求導(dǎo)得到氣膜的剛度和阻尼系數(shù)：

(5)

式中：Sj代表某個方向的位移擾動；fe=cosφsin2α(對于Fe)；fθ=sinφsin2α(對于F)，fz=cosαsinα(對于Fz)。

(6)

式中： (i,j)=(e,ε),(θ,θ),(z,ε1)。

(7)

2.2 擾動壓力的計算

(8)

對動態(tài)控制方程式(8)在位移與速度方向上的擾動變量進行求導(dǎo)，得到擾動壓力控制方程。求解域分為小孔區(qū)域(連續(xù)區(qū)域)、非小孔區(qū)域(包括連續(xù)與不連續(xù)區(qū)域)。

以求解小孔區(qū)域為例，對ε求偏導(dǎo)數(shù)，得出關(guān)于Pε的擾動壓力控制方程為

(9)

求解擾動壓力時，須先求解出對應(yīng)網(wǎng)格點上氣膜厚度，由于氣膜厚度不連續(xù)，氣膜厚度方程在臺區(qū)和槽區(qū)要分別計算。

臺區(qū)量綱一氣膜厚度為

H=1-ε1cosα-εsinαcos(φ-θ)

(10)

槽區(qū)量綱一氣膜厚度為

H=1-ε1cosα-εsinαcos(φ-θ)+Hb

(11)

式中：θ為偏位角；Hb為量綱一槽深；量綱一軸向偏心率ε1=e1/h0，e1為軸向偏心距；量綱一徑向偏心率ε=e/h0，e為徑向偏心距。

同理，可以推導(dǎo)出氣膜連續(xù)區(qū)域其他擾動壓力的控制方程，非連續(xù)區(qū)域擾動控制方程的推導(dǎo)方法與連續(xù)區(qū)域的推導(dǎo)方法相同。

(Pε)i,j=

(12)

式中：Ai,j,Bi,j,Ci,j,Di,j,Ei,j,Fi,j是與氣膜厚度Hi,j，及穩(wěn)態(tài)氣膜壓力Pi-1,j,Pi+1,j,Pi,j-1,Pi,j+1有關(guān)的系數(shù)。

采用VC++編程數(shù)值計算軸承的剛度和阻尼系數(shù)，氣體軸承設(shè)計參數(shù)如表1所示，計算流程圖如圖4所示。

表1 氣體軸承設(shè)計參數(shù)

圖4 動態(tài)剛度與阻尼系數(shù)計算流程圖

Fig 4 Flow chart of calculation

3 軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的計算

在動態(tài)特性系數(shù)的推導(dǎo)中，得出了氣膜力和動態(tài)剛度與阻尼系數(shù)的關(guān)系式。假設(shè)所研究的軸承轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子[16-17]，當轉(zhuǎn)子高速運轉(zhuǎn)時，受到微小擾動，轉(zhuǎn)子將在穩(wěn)定平衡位置附近作小幅度渦動，結(jié)合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)平衡方程，可以得到：

(13)

上式其解的一般形式為

(14)

式中：e0、eθ0、z0是各方向上運動的振幅；v是特征值，v=u+iΩj，u為實部，Ωj為虛部；t為時間。將其代入到式(13)中進行求解，可以得到：

(15)

根據(jù)勞斯-霍爾維茨線性穩(wěn)定性準則，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)能否在渦動過后重新穩(wěn)定于某一點，取決于上述線性方程是否存在非零解。所以，轉(zhuǎn)子重新穩(wěn)定于某一點的條件是線性方程組系數(shù)的行列式為0，當特征值的實部u=0時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于臨界線性失穩(wěn)狀態(tài)，此時，Ωj為界限渦動頻率，用Ωst表示。

(16)

將行列式(16)展開，可以得到實部與虛部分別為0，代入動態(tài)特性系數(shù)，利用編程數(shù)值求解出keq與Ωst。

將界限渦動剛度量綱一化得到：

(17)

將實部量綱一化可以得到：

(18)

式中：γst為界限渦動比；ωst為線性失穩(wěn)角速度。

通過代入動態(tài)特性系數(shù)以及Keq可以求解出界限渦動比γst。

(19)

因此可以得到線性失穩(wěn)角速度的計算公式，進而得到失穩(wěn)轉(zhuǎn)速：

(20)

4 數(shù)值計算結(jié)果及分析

4.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)、運行參數(shù)對軸承動態(tài)特性的影響

在轉(zhuǎn)速n=40 000 r/min、供氣壓力ps=0.3 MPa及表1設(shè)計參數(shù)條件下，計算分析了槽寬比、槽深比、螺旋角、徑向偏心率及相應(yīng)條件下供氣壓力、轉(zhuǎn)速等參數(shù)對氣體軸承氣膜動態(tài)特性系數(shù)的影響規(guī)律。

4.1.1 螺旋槽參數(shù)對氣膜剛度、阻尼系數(shù)的影響

圖5—7示出了槽寬比、槽深比、螺旋角等螺旋槽參數(shù)對氣膜剛度、阻尼系數(shù)的影響。可以看出，剛度系數(shù)隨螺旋槽各參數(shù)的增加先增大后減小，當槽寬比為0.4左右，槽深比為2左右，螺旋角為70°左右時，剛度系數(shù)達到最大值；e向阻尼系數(shù)受螺旋槽各參數(shù)的影響較弱，其他阻尼系數(shù)隨螺旋槽各參數(shù)的增加先增加后減小，當槽寬比為0.4左右，槽寬比在2附近，螺旋角為70°左右時，阻尼系數(shù)達到最大值。因此，螺旋槽的設(shè)計參數(shù)應(yīng)選取槽寬比在0.3～0.5之間，槽深比在1.5～2.5之間，螺旋角在60°～80°之間，以保證較大的氣膜剛度與阻尼。合適的螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)有利于增強氣體軸承的動壓效應(yīng)，提高氣體軸承性能，保證軸承運行穩(wěn)定性。

圖5 槽寬比對動態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

圖6 槽深比對動態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

圖7 螺旋角對動態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

Fig 7 Influence of sprial angle on the stiffness and damping coefficients

4.1.2 徑向偏心率對氣膜剛度、阻尼系數(shù)的影響

從圖8所示的徑向偏心率對剛度、阻尼系數(shù)的影響規(guī)律可以看出，剛度系數(shù)隨著偏心率的增大而增大，且剛度系數(shù)的增大趨勢逐漸加快；e向阻尼系數(shù)受偏心率的影響較弱，變化趨勢很小，θ、z方向阻尼系數(shù)隨著偏心率的增大而增大，類似地，阻尼系數(shù)的增加趨勢逐漸加快。動靜壓氣體軸承的剛度、阻尼系數(shù)隨著偏心率增大而增大，阻尼對渦動能量起消耗作用，為了抑制氣膜渦動，提高動靜壓氣體軸承運行穩(wěn)定性，應(yīng)采用較大的偏心率下工作。

圖8 徑向偏心率對剛度、阻尼系數(shù)的影響

4.1.3 供氣壓力對氣膜剛度與阻尼系數(shù)的影響

從圖9所示的供氣壓力對剛度、阻尼系數(shù)的影響規(guī)律可以看出，z向剛度系數(shù)受供氣壓力的影響較弱，e、θ向剛度系數(shù)隨供氣壓力的增大而增大，其中主剛度系數(shù)Kee與交叉剛度系數(shù)Keθ增加趨勢較快，當供氣壓力超過0.4 MPa時，各剛度系數(shù)的增大趨勢變緩；e向阻尼系數(shù)受供氣壓力的影響較弱，其他阻尼系數(shù)隨著供氣壓力的增加而逐漸增加，其中主阻尼系數(shù)Bθθ、Bzz的增加趨勢明顯。

總體上，隨著供氣壓力增加，剛度和阻尼系數(shù)不斷增加，使氣膜具有較高動態(tài)剛度及阻尼特性，有利于減小渦動，提高氣膜的穩(wěn)定性。但過大的供氣壓力也會促使氣膜振蕩產(chǎn)生，易與系統(tǒng)固有振動耦合產(chǎn)生共振，使軸心運動的振動幅度加大，加大了碰磨發(fā)生的可能性，可能因此引起軸承失效。由以上分析可知，當供氣壓力超過0.4 MPa時，剛度系數(shù)的增加趨勢變緩，綜合考慮供氣壓力在0.4～0.6 MPa之間，可以保證較大氣膜剛度及氣膜阻尼以及軸承運行安全性。

圖9 供氣壓力對剛度、阻尼系數(shù)的影響

4.1.4 轉(zhuǎn)速對動態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

從圖10所示的轉(zhuǎn)速對動態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響規(guī)律可以看出，剛度系數(shù)隨著轉(zhuǎn)速的逐漸升高而逐漸增大，主剛度系數(shù)Kθθ、Kzz與交叉剛度系數(shù)Kze、Kθe、Kez增加趨勢較快，當轉(zhuǎn)速超過20 000 r/min，剛度系數(shù)的變化趨勢逐漸加大；e向阻尼系數(shù)受轉(zhuǎn)速的影響較弱，其他方向阻尼系數(shù)隨著轉(zhuǎn)速的增大而迅速減小，阻尼系數(shù)Bθθ、Bzθ、Bzz、Bθz的減小的趨勢明顯。

由軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性臨界轉(zhuǎn)速分析，在文中采用的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運行參數(shù)條件下，轉(zhuǎn)速在25 000 r/min以后促渦因素加強，出現(xiàn)渦動失穩(wěn)。此時氣膜渦動力大于氣膜阻尼，導(dǎo)致線性失穩(wěn)，出現(xiàn)半頻渦動現(xiàn)象。從剛度阻尼的變化規(guī)律可以得到氣膜的穩(wěn)定狀態(tài)取決于剛度與阻尼的綜合作用。

圖10 轉(zhuǎn)速對動態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

4.2 失穩(wěn)轉(zhuǎn)速數(shù)值分析

采用表1給定參數(shù)并對相應(yīng)參數(shù)進行變化分析供氣壓力、徑向偏心率對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律。從圖11所示的供氣壓力、徑向偏心率對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律可以看出，隨著供氣壓力的上升，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速增加；供氣壓力大于0.4 MPa，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速增幅變緩，供氣壓力超過0.6 MPa時，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速基本保持不變。提高供氣壓力，有利于消除渦動，可以提高轉(zhuǎn)子臨界失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，改善轉(zhuǎn)子運行穩(wěn)定性，但較大的供氣壓力也會引起自激振動現(xiàn)象，進而導(dǎo)致軸承失效。因此，在保證較高的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速條件下，選取盡可能小的供氣壓力，會更有利于運行的穩(wěn)定。在文中給定參數(shù)條件下，供氣壓力選取應(yīng)在0.4～0.6 MPa是較為合理的。

失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速隨著徑向偏心率的增加而增加，增幅逐漸變小，當偏心率大于0.4時，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐漸趨近于不變。大偏心軸承具有良好的穩(wěn)定性，但過大的偏心率要求加工精度很高、安裝和調(diào)試困難，因此，在文中給定參數(shù)條件下，徑向偏心率應(yīng)選取在0.4～0.6。

圖11 供氣壓力、徑向偏心率對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律

5 結(jié)論

(1)氣膜的穩(wěn)定性取決于氣膜的剛度與阻尼的綜合作用。對于動靜壓混合氣體軸承，提高供氣壓力，增大偏心率，選取合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)，有利于優(yōu)化動態(tài)特性系數(shù)，抑制渦動，提高轉(zhuǎn)子渦動失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速，改善軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性。

(2)隨各結(jié)構(gòu)參數(shù)(槽寬比、槽深比、螺旋角、偏心率)的增大，軸承剛度系數(shù)總體上先增大后減??；隨著偏心率、供氣壓力、轉(zhuǎn)速的增大而增大，各剛度系數(shù)的增長趨勢不同。值得注意的是，z向剛度系數(shù)受供氣壓力的影響較弱，當供氣壓力超過0.4 MPa時，各向剛度系數(shù)的增長均有減緩；當轉(zhuǎn)速超過20 000 r/min，剛度系數(shù)的變化趨勢逐漸加大。e向各阻尼系數(shù)受各參數(shù)的影響較弱，其他各阻尼系數(shù)隨螺旋槽各參數(shù)的增大先增大后減小，隨著偏心率、供氣壓力的增大而增大，隨著轉(zhuǎn)速的增大而迅速減小。

(3)對于文中給定參數(shù)的氣體軸承，取供氣壓力在0.4～0.6 MPa，徑向偏心率在0.4～0.6，可以保證軸承氣膜有較大的剛度與阻尼，同時也具有較好的運行穩(wěn)定性。