孫彥景，陳功驍，張 亮，李 松

中國礦業(yè)大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，江蘇徐州 221116

近年來，無人機(unmanned aerial vehicle, UAV)已被廣泛用于偵察、測繪及勘探等領(lǐng)域[1-3]．全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)可為無人機提供全天候、實時的位置信息，對無人機導(dǎo)航起著至關(guān)重要的作用．無人機導(dǎo)航經(jīng)常受到干擾的影響，這些干擾由大功率的干擾機故意投送，其功率大且覆蓋范圍廣，導(dǎo)致采用單天線接收機的無人機導(dǎo)航無法正常進(jìn)行．多天線衛(wèi)星導(dǎo)航接收機采用自適應(yīng)波束形成技術(shù)．經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成以最小方差無失真響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)波束形成為代表，在保證信號無失真通過的條件下最小化陣列輸出功率，實現(xiàn)信號增強以及對干擾和噪聲的有效抑制．無人機導(dǎo)航中遇到的干擾具有高動態(tài)特性，傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成技術(shù)在干擾快速運動環(huán)境中性能退化嚴(yán)重．近年來欺騙干擾技術(shù)被用于合成孔徑雷達(dá)(synthetic aperture radar, SAR)虛假目標(biāo)成像中，通過對SAR信號的截獲、調(diào)制和轉(zhuǎn)發(fā)，并在SAR接收數(shù)據(jù)中添加虛假目標(biāo)，達(dá)到混淆的目的[4-5]．一旦該技術(shù)被用于無人機導(dǎo)航干擾，多天線導(dǎo)航接收機將無法獲得可靠的位置信息[6]．另外，獲取高信噪比的衛(wèi)星導(dǎo)航信號要求接收機天線陣列具有較大的孔徑，但是大孔徑天線陣列也帶來了成本上升和布放困難的問題．因此，研究具有快速運動干擾抑制功能的高增益波束形成技術(shù)對于無人機導(dǎo)航尤為迫切必要．

零陷展寬技術(shù)能保證加權(quán)向量應(yīng)用期間干擾始終處于零陷內(nèi)，提高了自適應(yīng)波束形成器抗干擾的穩(wěn)健性．MAILLOUX[7]利用多個離散虛擬干擾源代替原來的點干擾源，推導(dǎo)加入虛擬干擾源后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，并基于MVDR波束形成獲得了零陷展寬的波束圖．ZATMAN[8]提出利用帶通干擾代替原窄帶干擾的零陷展寬方法，該方法與MAILLOUX方法本質(zhì)上是一致的，但不會改變數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中噪聲項的特性，且展寬后的零陷更平坦．GUERCI等[9]提出協(xié)方差矩陣銳化(covariance matrix taper, CMT)的波束零陷展寬方法，將MAILLOUX和ZATMAN的方法統(tǒng)一了起來．該方法的運算復(fù)雜度低，但是零陷深度較淺不利于強干擾源的抑制．對預(yù)設(shè)區(qū)域的波束輸出功率進(jìn)行二次約束(quadratic constraint sector suppressed, QCSS)可獲得深度較深的展寬零陷[10]，ZHANG等[11]針對二次約束優(yōu)化求解復(fù)雜度高的問題，提出低復(fù)雜度的線性約束(linear constraint sector suppressed, LCSS)零陷展寬方法．

經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成方法采用最小方差準(zhǔn)則，僅利用了信號的二階統(tǒng)計特征，忽略了高階和分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計特征對波束形成性能的影響．實際中無人機導(dǎo)航信號呈現(xiàn)非高斯分布特點，利用信號的統(tǒng)計特性可改善波束形成器的性能．針對非高斯信號，高階統(tǒng)計量能有效提取信號的統(tǒng)計信息．在自適應(yīng)波束形成器設(shè)計中，對高階統(tǒng)計量的研究集中在四階累積量及其三譜方面．利用加性高斯白噪聲四階累積量為零的特點，可實現(xiàn)高斯白噪聲中非高斯信號的提取，另外四階累積量具有虛擬陣列擴展功能，可有效擴大陣列孔徑[12]．但是，基于高階統(tǒng)計量的方法僅利用了信號有限階統(tǒng)計特征，忽略了更高階和分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計特征對波束形成性能的影響．JIANG等[13]將陣列輸出數(shù)據(jù)p范數(shù)最小化方法應(yīng)用到通信信號波束形成中．從統(tǒng)計學(xué)的觀點來看，該方法將最小方差準(zhǔn)則推廣為更適用于次高斯分布的最小離差準(zhǔn)則，由于聯(lián)合了信號的高階統(tǒng)計特征，提升了波束形成器的性能．但該方法在設(shè)計過程中并未考慮到高動態(tài)干擾源的影響，不能直接用于多天線衛(wèi)星導(dǎo)航接收機中．

針對無人機導(dǎo)航中高動態(tài)干擾抑制問題，本研究結(jié)合多天線導(dǎo)航接收機，提出一種高增益的穩(wěn)健波束形成方法．該方法遵循最小離差準(zhǔn)則，利用導(dǎo)航信號的非高斯特性獲得高增益的波束輸出，并在此基礎(chǔ)上建立預(yù)設(shè)角度區(qū)間內(nèi)干擾平均功率的約束條件，克服了高動態(tài)干擾給無人機導(dǎo)航帶來的不利影響．提出的波束形成器可通過解算帶有二次約束的凸優(yōu)化問題獲得，將用一個線性約束替換二次約束，不僅降低了運算復(fù)雜度，還可提升干擾抑制效果．

1 問題描述

1.1 信號模型

假設(shè)遠(yuǎn)場區(qū)域存在K個不相干的信號源，采用M元天線陣列對信號進(jìn)行接收，則第t個時刻天線陣列接收到的數(shù)據(jù)為

x(t)=α(θ0)s0(t)+

(1)

其中，θ0為期望信號(signal-of-interest, SOI)的方位角(direction-of-arrival, DOA)；θk為第k個干擾源的方位；α(θ0)和α(θk)分別對應(yīng)目標(biāo)和干擾的導(dǎo)向向量；n(t)為加性噪聲；s0(t)為目標(biāo)輻射信號；sk(n)為干擾信號.以均勻線列陣為例，干擾的導(dǎo)向向量可表示為

α(θk)=[1, ej(2π/ξ)dsinθk, ej2(2π/ξ)dsinθk, …,

ej(M-1)(2π/ξ)dsinθk]T

(2)

其中，ζ為波長；d為天線間距；M為天線數(shù)量．

1.2 MVDR波束形成

波束形成器的輸出為

y(t)=wHx(t)

(3)

其中，w為波束形成權(quán)向量； H為共軛轉(zhuǎn)置運算符．

波束形成器的輸出信干噪比(signal-to-interference-plus-noise ratio，SINR)為

(3)

MVDR波束形成器在保證期望信號不失真的條件下最小化波束輸出功率，實現(xiàn)對干擾和噪聲的有效抑制，對應(yīng)的優(yōu)化問題可表示為

(5)

MVDR波束形成器權(quán)向量形式為

(6)

實際中干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣都是未知的，一般通過數(shù)據(jù)采樣進(jìn)行替換．?dāng)?shù)據(jù)采樣協(xié)方差矩陣的計算式為

(7)

其中，N為快拍數(shù)．則MVDR波束形成器加權(quán)向量形式修正為

(8)

式(8)是基于采樣協(xié)方差矩陣逆(sample matrix inverse, SMI)算法的加權(quán)向量．

1.3 最小功率無畸變響應(yīng)波束形成

假設(shè)快變干擾源的方位角在預(yù)設(shè)區(qū)間[θL,θU]內(nèi)服從均勻分布．最小功率無畸變響應(yīng)波束形成(minimum power distortionless response, MPDR)約束[θL,θU]的功率輸出小于一個常數(shù)，并在波束圖對應(yīng)的區(qū)域產(chǎn)生一個凹槽，實現(xiàn)對快變干擾的抑制．MPDR波束形成器可表示為

(9)

其中，η是一個經(jīng)驗常數(shù)，用來控制凹槽的深度；

(10)

其中，α(θ)為干擾的導(dǎo)向向量；θ∈[θL,θU].

1.4 最小離差無失真響應(yīng)波束形成

零均值隨機信號的峰態(tài)值定義為

(11)

按照峰態(tài)值的不同，隨機信號s(t)被劃分為3種類型：當(dāng)κs>3時，s(t)為超高斯信號；當(dāng)κs=3時，s(t)為高斯信號；當(dāng)κs<3時，s(t)為次高斯信號．

超高斯信號主要包括Laplace分布和α穩(wěn)態(tài)分布，次高斯分布主要包括均勻分布和貝努力分布．人類的語音信號是一種典型的超高斯信號．通過調(diào)制獲得的通信信號、雷達(dá)、聲納和衛(wèi)星導(dǎo)航信號都屬于次高斯信號．

最小離差無失真響應(yīng)(minimum dispersion distortionless response, MDDR)波束形成器通過陣列輸出數(shù)據(jù)p范數(shù)最小化實現(xiàn)，由于聯(lián)合了信號的各階統(tǒng)計特征，可以提升非高斯信號的接收性能[10]．針對次高斯信號的MDDR波束形成可表示為

(12)

其中，X=[x(1),x(2), …,x(N)]，N為快拍數(shù)．

2 穩(wěn)健MDDR波束形成

高動態(tài)干擾環(huán)境中MDDR波束形成器性能急劇下降，需要在干擾源可能存在的方位設(shè)置零陷凹槽，提高M(jìn)DDR抗干擾的穩(wěn)健性．

假設(shè)快變干擾的方位角在[θL,θU]內(nèi)服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為

(13)

其中， ΔθI為快變干擾的方位角.

受MPDR波束形成器的啟發(fā)，對高動態(tài)干擾進(jìn)行抑制可通過限制[θL,θU]內(nèi)波束輸出功率獲得．穩(wěn)健的MDDR波束形成器可表示為

(14)

其中，QNull為埃爾米特矩陣，

(15)

MDDR波束形成器在[θL,θU]的平均功率輸出為

(16)

令η=0， 并對矩陣QNull進(jìn)行特征分解，穩(wěn)健的MDDR波束形成可進(jìn)一步表示為

(17)

其中，V=[α(θ0), Vr]，e1=[1, 0T]T，Vr是QNull張成空間R(QNull)的正交基．與式(14)相比，式(17)的約束條件為線性約束，解算效率更高．式(14)中約束條件η在式(17)中更新為0，由式(17)獲得的凹槽深度更深．

3 基于牛頓法的快速算法

式(17)的優(yōu)化問題可通過標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)點法進(jìn)行解算，但運算復(fù)雜度較高，為O(N3)． 其中，N為快拍數(shù)．考慮到無人機導(dǎo)航實時性要求高，且動態(tài)干擾速度快的特點，本研究開發(fā)了基于牛頓法的快速算法，來實現(xiàn)對式(17)的高效解算．

對于帶有線性約束條件的凸優(yōu)化問題，牛頓法可為目標(biāo)函數(shù)提供一個下降方向，然后利用一維搜索算法確定搜索步長，獲得優(yōu)化問題的解．這種方法也可擴展到其他下降類算法，如最速下降法等．與最速下降法相比，牛頓法的收斂速度較快，因此本研究只關(guān)注牛頓法．

首先，給出式(17)目標(biāo)函數(shù)對于復(fù)變量w的導(dǎo)數(shù)，即

(18)

(19)

其中，B為對角矩陣，對角線元素可表示為

(20)

在點w處，式(17)目標(biāo)函數(shù)的二階泰勒展開為

(21)

式(21)可改寫為

(22)

至此，將式(17)轉(zhuǎn)化為新的優(yōu)化問題，即

(23)

(24)

其中，λ為拉格朗日常數(shù)．對式(24)求偏導(dǎo)數(shù)可得

(25)

對式(25)中的3個不等式聯(lián)立，化簡后可得

(26)

求解式(26)可得

(27)

(28)

令Hw*w=I, 則式(28)可簡化為

(29)

式(17)目標(biāo)函數(shù)下降的方向如式(29)．假定在第k次迭代中的步長為αk， 則下一個點wk+1為

(30)

在每一次迭代過程中，最優(yōu)步長可由如式(31)這個一維優(yōu)化問題確定．

(31)

由于p>1時，式(31)中的目標(biāo)函數(shù)對于αk是單模態(tài)的，所以，該優(yōu)化問題可通過線性搜索算法獲得．

基于牛頓法的快速算法的時間主要耗費在局部海森矩陣計算上，該算法運算復(fù)雜度為O(NM2)， 流程圖如圖1．

輸入:基陣接收數(shù)據(jù) X, 最大迭代次數(shù)Kmax, 算法收斂門限ε初始化:w0=α(θ0)/α(θ0)22, V^=[α(θ0), Vr]1 for k=0,1,…,Kmax do2 計算y=xHwk, ΔF(wk)=12XC(wk)XHwk,δ^k=-[I-V^(V^HV^)-1V^H]ΔF(wk)3 解算式獲得最優(yōu)步長 αk4 權(quán)向量更新為wk+1=wk+αkδ^k5 break if Re(ΔF(wk)δ^k)<ε2 or k>Kmax6 end for7 返回 wopt

圖1 基于牛頓法的下降算法流程偽代碼

Fig.1 Pseudocode of the framework of descent algorithmbased on Newton’s method

4 仿真分析

通過計算機仿真分析對本研究提出的方法進(jìn)行驗證．假設(shè)多天線衛(wèi)星導(dǎo)航接收機中天線數(shù)量為20個，按照均勻線陣排列，天線間距為導(dǎo)航數(shù)據(jù)載波的半波長，并假設(shè)在目標(biāo)區(qū)域存在3顆衛(wèi)星，方位角θ0=43°、θ1=30°、θ2=75°． 其中，從θ0方位發(fā)出的導(dǎo)航信號為期望信號，另外兩顆衛(wèi)星發(fā)送的導(dǎo)航信號被視為干擾．同時，在θ3=-60°方位存在一個快速運動的干擾機，其方位角在[-65°，-55°]迅速變化．

4.1 輸出波束圖

當(dāng)快拍數(shù)為600，SNR=0 dB時，穩(wěn)健MDDR波束形成器輸出波束圖隨p值的變化如圖2．由圖2可見，當(dāng)p取不同值時MDDR波束形成器都可以在43°目標(biāo)方位形成波束主瓣，在30°和75°方位形成窄的零陷，3顆導(dǎo)航衛(wèi)星中僅對目標(biāo)衛(wèi)星信號增強了．調(diào)整主瓣的位置可以對來自不同衛(wèi)星的導(dǎo)航信號進(jìn)行接收和增強，從而解算出精確的位置信息．

在預(yù)設(shè)的[-65°, -55°]區(qū)域，MDDR波束形成器輸出波束圖中形成了一個深度超過-80 dB的凹槽，該凹槽對準(zhǔn)高動態(tài)干擾方位能夠?qū)崿F(xiàn)對大功率、高動態(tài)干擾的有效抑制．相同仿真條件下，文獻(xiàn)[7]算法輸出波束圖如圖3．由圖3可見，其零陷深度較淺，僅-60 dB左右，且零陷寬度更窄．仿真結(jié)果可以說明，本研究提出的MDDR波束形成設(shè)計方法在高動態(tài)干擾環(huán)境中具有良好的穩(wěn)健性，可提高多天線衛(wèi)星導(dǎo)航接收機在復(fù)雜環(huán)境中的性能．

圖3 穩(wěn)健MDDR波束形成與文獻(xiàn)[7]輸出波束圖比較Fig.3 Comparison of the beam patterns of robust MDDR beamforming with Ref.[7]

4.2 輸出SINR

當(dāng)快拍數(shù)為600，p取不同值時，穩(wěn)健MDDR波束形成器輸出SINR隨輸入SNR值的變化情況如圖4． 由圖4可見：①p值不同時MDDR波束形成器的輸出SINR隨輸入SNR的提高呈上升趨勢；② 相同輸入SNR情況下，MDDR的輸出SINR隨p值增大而提高；③ 相同仿真條件下穩(wěn)健MDDR波束形成器的輸出SINR明顯高于文獻(xiàn)[7]算法，說明本研究提出的波束形成方法在對非高斯信號增強的同時可有效抑制高動態(tài)干擾．需要注意的是，p值增大對MDDR波束形成性能影響并不是無限制的．針對同一種次高斯信號，MDDR波束形成器輸出的SINR值在p=20.0的結(jié)果已經(jīng)接近p→∞時的結(jié)果， 而且p值的增大會令計算量上升．在針對衛(wèi)星導(dǎo)航信號的MDDR波束形成器設(shè)計中，可以在信號增強效果與計算復(fù)雜度之間折衷，以便確定p的取值．

圖4 穩(wěn)健MDDR波束形成器輸出SINR隨輸入SNR的變化情況Fig.4 Comparison of the output SINR versus SNR of robust MDDR beamforming

4.3 算法收斂性

實際工程中，更快的算法收斂速度意味著更少的硬件資源開銷和更加簡化的導(dǎo)航接收機電路結(jié)構(gòu)．對于功耗、載重及尺寸都有嚴(yán)格限制的無人機，使高效的自適應(yīng)波束形成算法十分必要．為此，本研究針對穩(wěn)健MDDR波束形成算法的收斂速度進(jìn)行計算機仿真研究，仿真實驗中設(shè)SNR=10 dB，結(jié)果如圖5．由圖5可見，算法的收斂速度隨p值的增加而加快，當(dāng)p=20.0時算法需要400個快拍達(dá)到收斂．因此，在面向無人機導(dǎo)航的多天線接收機波束形成算法設(shè)計中，可以取p=20.0以獲得較快的算法收斂速度．

圖5 穩(wěn)健MDDR輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況Fig.5 Output SINR of robust MDDR beamforming versus the number of snapshots

結(jié) 語

受高動態(tài)干擾影響，多天線導(dǎo)航接收機收到的衛(wèi)星導(dǎo)航信號發(fā)生畸變，無法為無人機提供可靠的位置信息．針對衛(wèi)星導(dǎo)航信號非高斯分布的特點，本研究提出了一種基于最小離差準(zhǔn)則的穩(wěn)健波束形成設(shè)計方法，提高多天線導(dǎo)航接收機抗動態(tài)干擾的穩(wěn)健性．考慮到無人機導(dǎo)航高實時性的要求，對本文提出的方法開發(fā)了快速算法，并通過計算機仿真驗證了方法的有效性．另外，本研究提出的穩(wěn)健波束形成設(shè)計方法不受陣列形狀的限制，可以應(yīng)用到線陣、圓陣和面陣等不同形狀的天線陣列．