李準(zhǔn) 吳曉東 韓國慶 王瑞河 鄭磊

中國石油大學(xué)石油工程教育部重點實驗室，北京 102249

多級壓裂水平井是國內(nèi)外油氣田開發(fā)過程中用于增產(chǎn)的一項關(guān)鍵技術(shù)，準(zhǔn)確地評價和預(yù)測多級壓裂井的產(chǎn)能對實際生產(chǎn)過程具有十分重要的意義。裂縫導(dǎo)流能力是影響壓裂水平井產(chǎn)能和增產(chǎn)效果的關(guān)鍵參數(shù)，以往的產(chǎn)能模型總是假設(shè)裂縫導(dǎo)流能力為一定值，而室內(nèi)實驗和礦場實踐表明，在實際生產(chǎn)過程中，裂縫導(dǎo)流能力隨時間不斷變化。對于裂縫導(dǎo)流能力隨時間的變化，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究。俞紹誠等(1987)在陶粒支撐劑和蘭州壓裂砂長期裂縫導(dǎo)流能力實驗的基礎(chǔ)上，給出了長期裂縫導(dǎo)流能力與時間的經(jīng)驗關(guān)系式［1］。蔣廷學(xué)等(2004)開發(fā)了高溫條件下考慮壓裂液傷害的長時(8 h)導(dǎo)流能力測試技術(shù)，并結(jié)合前人關(guān)于長期導(dǎo)流能力的測試結(jié)果，由短期導(dǎo)流能力推導(dǎo)了長期導(dǎo)流能力的變化公式［2］。溫慶志等(2007)在研究20/40目陶粒支撐劑嵌入對裂縫長期導(dǎo)流能力的影響時，得到一定閉合壓力下導(dǎo)流能力與時間的關(guān)系表達(dá)式［3-5］。Gringarten等 (1973)、Ozkan等 (1991)分別用實空間和拉氏空間的源函數(shù)求解油藏滲流問題，并給出了用源函數(shù)方法求解滲流方程的方法和一定條件下油藏滲流問題源函數(shù)解庫［6-7］。廉培慶等利用紐曼乘積、源函數(shù)的方法，求解了耦合油藏、裂縫、水平井流動的產(chǎn)能計算模型，將裂縫內(nèi)流體流動處理為裂縫內(nèi)一點到井筒的平面徑向流，不符合裂縫的實際流動情況［8］。有關(guān)裂縫導(dǎo)流能力分布及其隨時間的變化對產(chǎn)能的影響，學(xué)者也做了大量的研究。劉宇、熊健、姚珊珊等考慮裂縫導(dǎo)流能力隨位置的變化對壓裂井的壓力和產(chǎn)能變化進(jìn)行了計算，分析了不同導(dǎo)流能力分布方式下的壓裂井和裂縫內(nèi)壓力變化規(guī)律，但都沒有考慮裂縫導(dǎo)流能力隨時間的變化［9-16］。焦春艷等(2011)建立了考慮人工裂縫導(dǎo)流能力隨時間變化的垂直壓裂井不穩(wěn)定壓后滲流模型，分析了導(dǎo)流能力變化對壓后生產(chǎn)動態(tài)的影響并作了敏感性分析，但在模型求解的時候運用了有限差分的方法，存在著運算速度慢、需要對油藏進(jìn)行網(wǎng)格劃分、收斂性差等問題［17］。謝麗沙等(2013、2016)利用半解析的方法，在無限大地層壓降公式的基礎(chǔ)上，運用復(fù)勢疊加原理，考慮了裂縫導(dǎo)流能力時變性的影響，建立了壓裂井的產(chǎn)能模型，分析了導(dǎo)流能力時變性對壓裂水平井產(chǎn)能和流場的影響，但是該模型將裂縫進(jìn)行分段，每一段看成是一個點匯，將裂縫內(nèi)的流動處理成端部到井底的平面徑向流，并沒有對壓裂井裂縫內(nèi)的流動進(jìn)行詳細(xì)的研究［18-19］。賈品等(2016)將裂縫內(nèi)部的流動考慮為沿裂縫方向的一維線性流，流動方程用有限差分的方法處理，用拉氏空間點源函數(shù)求解油藏滲流，將兩者進(jìn)行耦合，建立了各種復(fù)雜裂縫條件下的壓裂井的壓力分析和產(chǎn)能計算模型，但是并沒有考慮裂縫導(dǎo)流能力的時變性［20］。筆者在前人研究成果的基礎(chǔ)上，利用封閉邊界板源函數(shù)，結(jié)合紐曼乘積、疊加原理得到油藏滲流解析解，利用有限差分方法求解導(dǎo)流能力隨時間變化的裂縫滲流模型，通過裂縫交界面的流量和壓力相等，將油藏滲流解析解和裂縫滲流的數(shù)值解進(jìn)行耦合求解，得到了考慮裂縫長期導(dǎo)流能力的多級壓裂水平井產(chǎn)能半解析模型，并分析了導(dǎo)流能力變化對產(chǎn)能的影響，本文的研究成果對生產(chǎn)實踐具有一定的指導(dǎo)意義。

1 模型描述

模型假設(shè)：

(1)有一均質(zhì)各向異性箱狀油藏，6個外邊界封閉；

(2)油藏流體是單相微可壓縮的；

(3)在t=0時刻，整個油藏壓力處處相等，為初始油藏壓力；

(4)油藏中存在一口多級壓裂水平井，在水平段進(jìn)行了壓裂，壓出n條垂直于水平井的裂縫，裂縫穿過整個油層厚度；

(5)在水平段沒有進(jìn)行補孔，流體將先從地層流入裂縫，然后沿裂縫流入井筒；

(6)裂縫為有限導(dǎo)流裂縫，且導(dǎo)流能力隨時間變化，裂縫內(nèi)部為垂直井筒的一維達(dá)西流，裂縫向井筒的流動為平面徑向流。

多級壓裂水平井示意圖如圖1所示。

圖1 多級壓裂水平井示意圖Fig.1 Sketch of multi-stage fractured horizontal well

2 油藏滲流模型

對于均質(zhì)各向異性的油藏，其擴(kuò)散方程為

其中

式中，ηx、 ηy、 ηz分別為x、y、z方向的傳導(dǎo)率，m2/s。

初始條件

邊界條件

內(nèi)邊界條件

式中，kx、ky、kz分別為x、y、z方向儲層滲透率，m2；φ為儲層的孔隙度；μ為流體的黏度，Pa· s ；Ct為儲層的壓縮系數(shù)，Pa-1；pini為初始油藏壓力，Pa。

可利用源函數(shù)方法求解上述方程，根據(jù)Grington、廉培慶等［6-8］的結(jié)論可知，體積為xf×yd×h的裂縫可以看成是x、y、z方向的尺寸分別為xf、yd、h的封閉邊界板源的疊加，滿足Newman乘積定律，則位于(x0,y0,z0)單 位強(qiáng)度源在 (x,y,z)產(chǎn) 生的壓降A(chǔ)(t)可以用下式計算

式中， α = φμCt；S1、S2、S3分別表示點 (x0,y0,z0)處的3個方向的Green函數(shù)；a、b、h分別為油藏的長度、寬度和厚度，m。

3 考慮裂縫長期導(dǎo)流能力的縫內(nèi)流動模型

由于裂縫的高度和寬度相對裂縫的長度來說較小，裂縫內(nèi)的滲流可以看成裂縫長度方向的一維達(dá)西流動，不考慮裂縫導(dǎo)流能力在空間分布上的差異性，即認(rèn)為裂縫內(nèi)部導(dǎo)流能力處處相等［21-22］。

考慮油藏向裂縫流入的裂縫內(nèi)的一維擴(kuò)散方程［20］

式中，φ為人工裂縫的孔隙度；CFt為人工裂縫的壓縮系數(shù)，Pa-1；kF(t)表示t時刻人工裂縫的滲透率，m2；yd為人工裂縫的寬度，m；qF(x,t)為t時刻油藏流體流向裂縫的單位長度上的線流量，m2/s。

Cinco等指出人工裂縫的壓縮性可以忽略，因為裂縫的體積很小，裂縫內(nèi)的流動可以認(rèn)為是不可壓縮的［21-22］。在這種假設(shè)下，上述公式可以簡化為

利用中心差分方法，對裂縫內(nèi)的一維達(dá)西流采用點中心網(wǎng)格進(jìn)行離散(圖2)，得到方程(8)的全隱式差分格式為

對直角坐標(biāo)系里的等距網(wǎng)格有

圖2 裂縫內(nèi)部的線性流Fig.2 Linear flow inside the fracture

根據(jù)溫慶志等的研究［5］，隨時間變化的裂縫導(dǎo)流能力計算模型為

式中，β為裂縫導(dǎo)流能力變異系數(shù)，無因次，取值一般為0.2～0.3；kF0yd0為初始裂縫導(dǎo)流能力，m2· m 。

將公式(11)代入到公式(10)將得到考慮考慮裂縫長期導(dǎo)流能力的裂縫流動模型的離散形式

4 油藏與裂縫流動耦合模型

假設(shè)油藏和裂縫交界面處的油藏節(jié)點壓力p1,p2,···,pN，裂縫的節(jié)點壓力pF1,pF2,···,pFN，從油藏節(jié)點到裂縫節(jié)點的流量qF1,qF2,···,qFN。由于在交界面處的壓力和流量的連續(xù)性，油藏節(jié)點壓力和裂縫節(jié)點壓力相等，pi=pFi。

式(6)給出了單個裂縫塊對油藏中任意點壓力降的大小，在多個裂縫同時生產(chǎn)時(如圖3)，使用空間疊加原理，點 (xi,yi,zi)處的壓力降可以表示為

式中，pi(t)為t時 刻裂縫網(wǎng)格i的 壓力，Pa；pi((xi,yi,zi),(xj,yj,zj),t)為 受第j個 裂縫網(wǎng)格影響時t時刻裂縫網(wǎng)格i的壓力，Pa；Aij(t)為t時 刻第j個裂縫網(wǎng)格以單位產(chǎn)量生產(chǎn)時在裂縫網(wǎng)格i處產(chǎn)生的壓降，Pa； (xi,yi,zi)，(xj,yj,zj)分 別為第i、j個 裂縫網(wǎng)格的中心坐標(biāo)；qFj為第j條裂縫的流量，m3/s。

圖3 油藏與裂縫流動耦合模型Fig.3 Coupling model of flow in oil reservoir and fracture

對變質(zhì)量流，應(yīng)用Duhamel原理，可得到地層中任意處的壓力降為

式中，N為裂縫塊的總數(shù)，選取適當(dāng)?shù)臅r間步長 Δt，結(jié)合式(13)并把式(14)寫成關(guān)于時間步的數(shù)值積分形式［8］，對每一個裂縫塊i應(yīng)有

5 定解條件離散

式(10)和式(12)給出了裂縫內(nèi)部線性流的表達(dá)式，而裂縫到水平井筒的流動可以看成是半徑為h/2 的平面徑向流［11-12］(圖4)。

圖4 裂縫流向井筒平面徑向流Fig.4 Radial fluid flow from the fracture to the well

考慮可能產(chǎn)生的表皮因數(shù)，其定產(chǎn)條件為［20］

式(16)可以用于計算單個與井筒相連的裂縫網(wǎng)格流入井筒的流量，對多級壓裂水平，其總流量為各個裂縫流入井筒的流量之和，可表示為

式中，Nw為與井筒相連的裂縫網(wǎng)格的編號；pNw為與井筒相連的裂縫塊的網(wǎng)格壓力，Pa；qNw為網(wǎng)格節(jié)點Nw流向井筒的流量，m3/s；q為裂縫井的總流量，m3/s；pwf為井底流壓，Pa；S為表皮因數(shù)。本文假設(shè)水平井筒為無限導(dǎo)流，因此可認(rèn)為井底流壓處處相同。

在前述油藏滲流模型、裂縫滲流模型以及定解條件離散的基礎(chǔ)上，先根據(jù)壓裂水平井基本參數(shù)，將裂縫網(wǎng)格劃分(圖2)，將裂縫塊從一個端部向另一個端部依次編號，并將多條裂縫的編號進(jìn)行疊加，如圖3所示。假設(shè)網(wǎng)格總數(shù)為N，對每一個裂縫塊利用油藏內(nèi)的壓力響應(yīng)公式(15)和全隱式塊中心差分公式(12)分別建立方程，可以得到關(guān)于qF1,qF2,···,qFN，pF1,pF2,···,pFN的 2N個方程，再結(jié)合定產(chǎn)公式(17)，便得到關(guān)于2N+1個 未知變量：qF1,qF2,···,qFN，pF1,pF2,···,pFN，q的 2N+1個方程組成的封閉方程組，可以采用Gauss全主元消去法快速求解該方程組。

以一條裂縫，每個半長被分成4段來說明耦合方程組具體的形式，網(wǎng)格從裂縫一端到另一端依次編號，共8個網(wǎng)格，其中與井相連的網(wǎng)格為第4、第5個網(wǎng)格，如圖2所示。

假設(shè)總方程為

M代表前N個方程組成的未知量qF1,qF2,···,qF8對應(yīng)的系數(shù)矩陣，根據(jù)公式(15)可得到

根據(jù)式(15)還可以得到未知量pF1,pF2,···,pF8對應(yīng)的系數(shù)矩陣為單位對角矩陣I。

根據(jù)式(15)知，前N個方程中不含總流量q，因此未知量q對應(yīng)的系數(shù)矩陣為

根據(jù)式(12)可以得到N+1到2N個方程組成的未知量qF1,qF2,···,qF8對應(yīng)的矩陣為N+1到2N個方程組成的未知量pF1,pF2,···,pF8對應(yīng)的矩陣P為

第N+1到2N個方程組成的未知量q對應(yīng)的系數(shù)矩陣為

矩陣A的最后一行由定產(chǎn)條件(17)得到

多條裂縫矩陣P的系數(shù)分布如圖5所示。

圖5 4條裂縫矩陣P系數(shù)分布圖示Fig.5 Diagram corresponding to the matrix P of 4 fractures

矩陣B由各個方程的常數(shù)項組成。Δpi代表公式(15)的右端項，需要注意的是，第一個時間步時Δpi=0，其余時間步n(n＞1)只需將前n-1個時間步對應(yīng)的裂縫塊流量帶入公式(15)右端就可以計算出 Δpi。

多條裂縫對應(yīng)的矩陣形式，只要先按照圖3對裂縫進(jìn)行離散編號(從一端到另一端，多條縫從左到右編號依次累加)，按照上述方法進(jìn)行離散，很容易獲得對應(yīng)的方程以及對應(yīng)位置的系數(shù)矩陣M、P、A、B，從而建立對應(yīng)的方程組求解即可。

6 模型驗證

為驗證模型的準(zhǔn)確性，利用文獻(xiàn)［19］中的相關(guān)數(shù)據(jù)、實際數(shù)據(jù)和本文的模型計算結(jié)果進(jìn)行對比，文獻(xiàn)中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 A20基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 A20 basic parameters

從圖6對比結(jié)果可以看出，本文模型的計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)以及文獻(xiàn)模型的計算結(jié)果都較為吻合，從而說明了本文模型的準(zhǔn)確性。本文的模型和文獻(xiàn)［19］結(jié)果有一定的差別，這主要是因為本文和文獻(xiàn)［19］對裂縫的處理方式不同，文獻(xiàn)［19］簡單將裂縫到井筒內(nèi)的流動處理為端部到井筒的平面徑向流，而本文在處理裂縫滲流的時候，參照文獻(xiàn)［23］將其處理為線性流和近井地帶的平面徑向流，本文對裂縫流動的處理更符合實際情況，因此更接近實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)。

圖6 模型結(jié)果和生產(chǎn)數(shù)據(jù)對比圖Fig.6 Comparison between model results and production data

7 實例分析

7.1 導(dǎo)流能力變異系數(shù)敏感性分析

采用文獻(xiàn)［19］中的油藏參數(shù)取值，對一口多級壓裂水平井進(jìn)行滲透率變異系數(shù)的敏感性分析，相關(guān)的取值見表2。

表2 基本參數(shù)取值Table 2 Value of basic parameters

分別對考慮裂縫導(dǎo)流能力隨時間變化和裂縫為常導(dǎo)流能力時壓裂井的產(chǎn)量進(jìn)行計算，并考慮不同的滲透率變異系數(shù)取值，進(jìn)行對比和分析。由圖7可以看出當(dāng)考慮導(dǎo)流能力隨時間的變化時預(yù)測的產(chǎn)量要低，這是因為裂縫導(dǎo)流能力的降低，增加了流體在油層中的滲流阻力，在生產(chǎn)壓差一定時，油藏的產(chǎn)量就會降低。說明了對壓裂井來說裂縫導(dǎo)流能力的變化對產(chǎn)量的影響較大，在進(jìn)行產(chǎn)能預(yù)測時應(yīng)考慮裂縫導(dǎo)流能力隨時間的變化，從而更準(zhǔn)確地預(yù)測產(chǎn)能。從不同導(dǎo)流能力變異系數(shù)下產(chǎn)能的計算結(jié)果可以看出，導(dǎo)流能力變異系數(shù)的變化對產(chǎn)量的影響極為敏感，準(zhǔn)確地確定導(dǎo)流能力隨時間的變化規(guī)律是確定多級壓裂水平井產(chǎn)量變化規(guī)律的前提。在實際生產(chǎn)應(yīng)用中，根據(jù)文獻(xiàn)［17］、［19］可以通過對裂縫長期導(dǎo)流能力實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析來確定導(dǎo)流能力變異系數(shù)，從而更加準(zhǔn)確地預(yù)測產(chǎn)能。

7.2 裂縫內(nèi)流量和壓力變化分析

圖8和圖9為一口4級壓裂水平井在常導(dǎo)流能力和考慮導(dǎo)流能力隨時間變化時的計算結(jié)果。圖8(a)、圖9(a)表明，兩種情況下，流體都是主要通過近井處的裂縫節(jié)點流入井筒，裂縫節(jié)點的流入剖面在近井處出現(xiàn)明顯的“凸峰”，但是隨著時間的增加，裂縫間的干擾變強(qiáng)，在定井底流壓的情況下，凸峰的值逐漸減小。圖8(b)和圖9(b)表明兩種情況下縫內(nèi)壓力都是從裂縫的頂端井筒處逐漸降低，并且在距離井筒較近處壓力梯度明顯高于距離井筒較遠(yuǎn)處，裂縫壓力分布呈現(xiàn)明顯壓降漏斗特征。

圖10是單條裂縫不同時刻考慮裂縫導(dǎo)流能力隨時間變化和常導(dǎo)流能力時流量變化曲線。兩種情況下，都是在近井帶 (-10～10 m)和裂縫頂端處(90～100 m，-90～-100 m)的流量要大于裂縫中間處(30～60 m、-30～-60 m)的流量分布，近井帶產(chǎn)量高的原因是裂縫內(nèi)存在壓力損失，越靠近井筒附近，生產(chǎn)壓差越大，使得裂縫產(chǎn)量越高。遠(yuǎn)端處裂縫的產(chǎn)量要高于中間處是因為其有著更大的泄油面積，且中間處裂縫節(jié)點受到的縫間干擾較強(qiáng)。

圖8 常導(dǎo)流能力裂縫內(nèi)流量和壓力分布規(guī)律Fig.8 Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with constant flow conductivity

圖9 變導(dǎo)流能力裂縫內(nèi)流量和壓力分布規(guī)律（β=0.3）Fig.9 Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with variable flow conductivity (β=0.3)

圖10 單條裂縫流量分布變化Fig.10 Change of flow rate change in single fracture

通過進(jìn)一步比較近井處（-10～10 m）流量占總流量的比例(圖11)可以發(fā)現(xiàn)，定流壓生產(chǎn)情況下，常導(dǎo)流能力時，近井帶流量占總流量的比例隨著生產(chǎn)時間延長而降低，而當(dāng)考慮裂縫導(dǎo)流能力隨時間的變化時近井帶流量占總流量的比例卻隨生產(chǎn)時間延長而增加，并且二者數(shù)值上差別也較大，后者明顯大于前者。這說明裂縫長期導(dǎo)流能力的損失導(dǎo)致更多的流體通過近井地帶裂縫流入井底，裂縫內(nèi)壓降更多地發(fā)生在近井地帶，這和文獻(xiàn)［16-17］的結(jié)論具有較好的一致性。

8 結(jié)論

(1)本文基于油藏滲流模型的解析解和裂縫滲流模型的離散數(shù)值解，考慮裂縫導(dǎo)流能力隨時間變化這一重要影響因素，建立了多級壓裂水平井的半解析產(chǎn)能計算模型，并通過和實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的對比驗證了本文模型的正確性。

(2)裂縫導(dǎo)流能力時效性會降低壓裂井的產(chǎn)量，裂縫導(dǎo)流能力變異系數(shù)的變化對產(chǎn)量的影響較為明顯，裂縫導(dǎo)流能力時效性對產(chǎn)能的影響不可忽略，實際生產(chǎn)中應(yīng)先通過裂縫長期導(dǎo)流能力實驗數(shù)據(jù)來確定導(dǎo)流能力變異系數(shù)，在此基礎(chǔ)上更加準(zhǔn)確地預(yù)測產(chǎn)能。

(3)裂縫導(dǎo)流能力的降低會改變裂縫井附近滲流場分布，影響裂縫內(nèi)的流量和壓力的分布，使裂縫產(chǎn)量在井筒附近的峰值更加明顯，會使流體更多地沿井筒附近的裂縫處流入井底。