孔凡哲、史寧中兩位教授聯(lián)合發(fā)文指出：“中國學生發(fā)展的核心素養(yǎng)必須涵蓋三種成分，其一是學生數學發(fā)展所必需的關鍵能力……” [1]而數學核心內容，能聚焦數學學科本質，是學科最基礎和最關鍵的內容，反映了相關數學內容所蘊含的一般思想和思維方式。那么析取數學核心內容進行教學，無疑就能使得數學學科的關鍵能力可調控、可干預、可觀測、可評價，從而切實提升數學核心素養(yǎng)。為此，我們開展了“基于學科關鍵能力發(fā)展的數學核心內容教學設計研究”的探討，并成功申報為江蘇省十三五重點規(guī)劃自籌課題。

一、對學科關鍵能力的認識

1. 關鍵能力

在德國、澳大利亞、新加坡和我國臺灣地區(qū)，人們把職業(yè)生涯中除崗位專業(yè)能力之外的基本能力，稱為“關鍵能力”;換句話說，即能適應時代賦予不同的崗位變換，并伴隨人終身的可持續(xù)發(fā)展能力。我國香港地區(qū)則將“關鍵能力”稱之為“基礎技能”“共同能力”。全美測評協(xié)會稱“關鍵能力”為“軟技能”;等等。2017年9月，中共中央、國務院印發(fā)了《關于深化教育體制機制改革的意見》，于其中提出四種關鍵能力：“認知能力、合作能力、創(chuàng)新能力、職業(yè)能力?！?/p>

可見，各方所言的“關鍵能力”伴隨著人的終身成長，僅靠學校教育無法完成，更不可能僅由具體的學科教育完成。但是《關于深化教育體制機制改革的意見》提出了：“要注重培養(yǎng)支撐終身發(fā)展、適應時代要求的關鍵能力。在培養(yǎng)學生基礎知識和基本技能的過程中，強化學生關鍵能力培養(yǎng)。”那么課堂教學中，老師就要關注學生的邏輯推理、好奇心、想象力、自我管理、勇于探索、積極動手實踐、創(chuàng)新思維等等。而數學是“思維的體操”，是“科學的皇后”，具有抽象性、邏輯的嚴密性、應用的廣泛性，其很多屬性契合關鍵能力的培養(yǎng)要求，所以數學學科可以探索出相應的學科關鍵能力。

2. 數學能力

其實，在提倡學科關鍵能力之前，數學能力的研究（見表1），已為小學數學課堂教學提供了理論支撐。而且由于“數學能力是一種特殊的能力，與數學活動相適應，是保證數學活動順利完成所必須具備的人的心理特征?！?[2]所以培養(yǎng)學生的數學能力，一直是小學數學教學的主要目的之一。不過，究竟哪些數學能力就是小學數學學科關鍵能力，業(yè)界尚未達成共識。

3. 小學數學學科關鍵能力

江蘇省基礎教育質量監(jiān)測中心發(fā)布的《江蘇省義務教育學科核心素養(yǎng)與關鍵能力框架（小學數學）》這樣說明：“基于學業(yè)質量評價的需要，我們對小學生的數學核心素養(yǎng)所體現(xiàn)出的關鍵能力進行了分解。”（見表2）

盡管上述框架尚是試行階段，然而提出了小學數學關鍵能力是核心素養(yǎng)的評價立足點，并由此明晰了學生通過數學課堂，將學習什么、可以怎么學習;老師也有了教什么、為什么這樣教的依據。但是，還需將小學數學關鍵能力進行界定，并進一步指出小學數學關鍵能力到底是哪些能力。

其實，莊惠芬老師早在2015年就撰文提出：小學數學學科有六大關鍵能力，包括：數學理解與數學表征能力、數學建模能力、數學邏輯思維能力、數學問題解決能力、數學推理與論證能力、數學交流與表達能力 [7]。

也有專家提出：數學關鍵能力包括數學抽象能力，數學推理能力，數學建模能力，直觀想象能力，運算能力，數據分析能力 [8]。

既然是數學關鍵能力，就應該是數學之外的學科教育培養(yǎng)不出來的能力;或者說數學關鍵能力應具有小學數學意義上的獨特價值，那么交流、推理、理解、問題解決、表達、抽象等等能力之前，還可冠以語文、物理、體育等等學科，如語文表達、美術抽象、音樂交流……

再以“關鍵”審視，要培養(yǎng)數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析這六個既相對獨立、又相互交融的數學核心素養(yǎng)，非具有數學運算能力、數形結合能力、空間想象能力、定量分析能力不可。再以“數學”察之，非邏輯思維能力不可。

二、對核心內容的認識

檢索1950年到2011年的教學大綱或標準，盡管由于時代局限，沒有提出“核心內容”這一概念，但是為了突出小學數學在提高全民族素質中的作用，都在甄選重要的內容貫徹教育思想、提出教學任務。

2017年11月教育部頒布了《中小學幼兒園教師培訓課程指導標準（義務教育數學學科教學）》，于其中指出：“數學教師培訓目標的確定以數學學科核心內容為依據。而數學核心內容，在小學劃分為9個一級指標和22個二級指標。”[9]由此，“數學學科核心內容”已經成為“核心素養(yǎng)”視域下的教學應然之路。

綜合表3、表4的觀點，我們課題組就“什么知識可成為小學數學核心內容”網絡問卷蘇州轄區(qū)的數學老師，有效答卷人數為3306人，參與問卷的老師們來源于10個區(qū)市（如圖1），榮譽稱號涵蓋江蘇省特級、蘇州市學科帶頭人、各區(qū)市學科帶頭人等（如圖2），職稱分布從高級教師到未定級教師都有（如圖3）。答卷人數眾多，保證了樣本的信度;答卷群體的廣泛性，保證了樣本的效度。

統(tǒng)計分析問卷，可知“數的概念”“數學符號”“數的運算”“代數初步”“圖形的認識”“圖形的測量”“數據分析”“解決問題”等8項，是老師們心目中的“核心內容”，其具體占比情況如下：“數的概念”2358人，占71.3%;“數學符號”2404人，占72.7%;“數的運算”2464人，占74.5%;“代數初步”2372，占71.7%;“圖形的認識”2334人，占70.6%;“圖形的測量”2287人，占69.2%;“數據分析”2336人，占70.7%;“解決問題”2346人，占71.0%。

我們問卷結果和朱立明、馬云鵬教授研究一致，均認為：數學核心內容即是數學學科體系中主要內容和關鍵內容 [10]。再溝聯(lián)表2和表3，我們主張小學數學學科核心內容從兩個角度加以界定：

其一，縱觀數學知識形成的脈絡和數學邏輯發(fā)展的結構，相較于其他內容，核心內容的教學能關聯(lián)一個或數個領域的數學教學，具有引子價值或橋梁作用，因此更具有奠基性和“種子”性。

其二，以高觀點的視角來看，核心內容總是能概括一類數學知識，尋找出這一類知識不同階段的共性，所反映的也總是一般思想方法或思維方式。

三、以核心內容的教學承載關鍵能力

比照上述界定標準，“數的概念”“數學符號”“數的運算”“圖形的認識”“圖形的測量”“數據分析”等核心內容在思維方式上有同一性，但其數學本質都相對獨立，而且這些內容也能厘定出相對應的關鍵能力。例如“數的概念”“圖形的認識”重點在于數形結合，“數的運算”重點在于數學運算，“圖形的測量”重點在于邏輯思維。所以這些數學知識就成了小學數學學科核心內容的元素，當然，內容和能力之間會出現(xiàn)交叉現(xiàn)象。

正是因為核心內容對應了關鍵能力，這樣課堂教學就能實現(xiàn)核心素養(yǎng)的可教可評，下面以“數學符號”之“=”和“圖形的測量”之“認識厘米”的教學片段為例展開。

數學符號是約定俗成的標記，某種程度上就是日常教學中所言的“規(guī)定”。但是這個“規(guī)定”卻不是憑空而來的，每一個符號都是數學的發(fā)展的必然，都是數學擴張的需要。那么數學符號的學習，可以說就是讓學生歷經數學知識的發(fā)展，從而經歷思維的擴疆。所以數學符號的學習不是“說明文”——介紹產品，而是“議論文”——擺事實講道理。講道理，自然孕育了推理、抽象等關鍵能力。

回看案例1的教學，老師通過問題倒逼的方式，讓學生感悟到了“=”是為了“算”，更是為了“思”，即：要為下一步得出結果，就要說理“是什么相等”“憑什么相等”“怎么這樣就相等了”。這樣的教，學生自會減少一些研究者所觀察到的認知缺陷：“12+2=14-6=8?！薄暗忍柕挠疫吺菙挡潘愕玫搅私Y果?！薄八闶骄褪撬闶剑荒芸闯梢粋€結果。”

更為重要的是，“=”是數學的根基，直觀感受里等號表示著量的相等，藏其后的是，數學通常就是用相等這樣的關系，解釋肉眼看不見的運動、變化、規(guī)律……這樣，“=”的教學就成了引子，啟發(fā)著學生在推理中構建各種求真、求序的理性關系：約等于、大于、小于、大于或等于、遠大于、遠小于、屬于、包含、全等……如是，在提升推理能力的同時，又不斷發(fā)展著抽象能力、建模能力。

【案例2：“認識厘米”】老師讓學生估一估紙條中的線段大約長幾厘米，再讓學生用尺子實際測量線段的長度。老師巡視，手機抓拍沒有對齊尺子的0刻度的（圖5）、尺子擺放傾斜的情況（圖6），及時投影，評議出合理的測量方法（圖7）。最后出示沒有0刻度的尺子（圖8），提問學生可否度量。

一開始學生感知了1厘米的長度，但僅有1厘米的經驗還不夠，度量結果更多的是多個1厘米，學生需要對多個1厘米究竟有多長，做適度表征。老師及時讓學生估一估，發(fā)展了學生直觀想象能力，積累了單位長度的量感。之后的實際度量，不但讓學生檢驗了其感覺的正確與否，而且讓學生再說明為什么要對齊0刻度，尺子為什么不能傾斜擺放，如何合理擺放尺子才是正確的，學生將感官聚焦到理性思辨，發(fā)展了其推理能力。在學生自認為學習完畢的時候，提出沒有0刻度可否度量，學生的推理更進一步。原來測量除了正確與否，還有好壞之分，更有趣的是在“疑無路”的時候，數學的理性可以幫助學生找到“又一村”。

盡管楊志宇認為小學數學核心內容的教學存在兩大問題：一是教師對數學核心內容的認識還不到位，不能從數學課程觀的角度來看待數學，只是孤立地對數學知識進行講授;二是教師對核心知識的教學缺乏科學設計，不能抓住數學核心內容的本質來設計教學的各個環(huán)節(jié) [12]。而從上文兩個教學案例可以窺見，我們課題組的努力正好在縫補這個缺陷。比如“=”的教學，引發(fā)的是“數學是一種關系”，那就要尋找除了相等之外的關系，但之后一系列的關系又是以“=”作為基礎的;“認識厘米”的設計，考量的是線段長度是一切度量的出發(fā)點，而且認識厘米的思維方式，是今后認識其他度量單位的基石;所以教學中老師讓學生估計線段的長短，這不但是訓練對長度的感覺，更是培養(yǎng)學生以1厘米為參照，合理推測幾厘米究竟有多長，這樣就為面積單位、體積單位的學習累積了推理的經驗，于是有限可加的線段長度，是為了未來可列可加的測度。

至此，通過對“關鍵能力”和“小學數學學科核心內容”的剖析，帶來了一種新思路，以核心內容統(tǒng)領小學數學學科教學，學生在思考新知識的生長時就會有“左右逢源”的意識，關鍵能力的培養(yǎng)就有了切實的抓手;而且由于核心內容的教學是引子，學生的學習既是為當下獲得關鍵能力，更是以今天獲得的關鍵能力，讓未來的不熟知的學習找到了方向，因為數學學科關鍵能力已經成了學生解釋世界的手段，數學學科關鍵能力已經悄然地化成了學生的一種思維方式。

當然，回顧、整理問卷，問卷提及的“代數初步”“解決問題”，由于沒有突出內容及其認知方式的本質特征，因此較難將其與培養(yǎng)哪一關鍵能力建立聯(lián)系。所以找準小學數學知識體系中的核心內容，將是課題組在現(xiàn)有成果探索之上，未來理論研究的一個重要著力點。同時，精心設計小學數學核心內容的教學，提供更多的精彩課堂范例，將是課題組未來實踐取向的著力點。

參考文獻：

[1][8]? 孔凡哲，史寧中. 中國學生發(fā)展的數學核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成路徑[J].教育科學研究，2017（6）：7-13.

[2][3][4][5][6]? 涂榮豹，季素月.數學課程與教學論新編[M]. 南京：江蘇教育出版社，2013：367-401.

[7]? 莊惠芬. 小學數學學科關鍵能力的培育策略[J]. 教育理論與實踐，2015（35）：59-60.

[9]? 中華人民共和國教育部. 中小學幼兒園教師培訓課程指導標準（義務教育數學學科教學）[S]. 教師廳，2017.

[10] 朱立明，馬云鵬. 聚焦數學核心內容? 提升學生核心素養(yǎng)——數學教學關鍵問題研究的思考[J]. 基礎教育課程，2016（13）：38-43.

[11] 陳六一，劉曉萍. “再見”數學，深耕核心素養(yǎng)[J]. 中小學數學（小學版），2017（z2）：82-84.

[12] 楊志宇. 如何把握小學數學教學關鍵問題中的“核心內容”[J]. 基礎教育課程，2017（z1）：82-84，88.