張 剛， 李紅威

(1. 重慶郵電大學 通信與信息工程學院,重慶 400065；2. 重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400065)

強噪聲背景下的微弱信號檢測技術(shù)一直是信號檢測與處理領(lǐng)域的研究熱點，它在機械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷、應(yīng)急救援和地震預(yù)測等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。微弱信號檢測的本質(zhì)為提高有用信號信噪比，因此檢測技術(shù)主要集中為抑制含噪信號中的噪聲提升信噪比，如濾波法、取樣積分法、小波降噪、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解和變分模態(tài)分解[1]。但該類方法檢測粒度大且易損壞有用信號，造成檢測效果欠佳；而隨機共振在檢測微弱信號時利用噪聲能量不損害待測信號成為目前研究的熱點。

隨機共振是Benzi等于1981年研究古氣象變化時提出的，隨后在物理、生物、電子等領(lǐng)域均得到證實[2]。應(yīng)用到微弱信號檢測中是將含噪信號通過非線性系統(tǒng)使周期驅(qū)動力和噪聲驅(qū)動輸出出現(xiàn)周期性的變化從而可將噪聲的一部分能量轉(zhuǎn)移給待測信號。隨機共振產(chǎn)生的必要條件為勢函數(shù)、噪聲和信號的協(xié)同作用，大量學者圍繞這三方面隨機共振因素進行了深入研究，以一階Langevin方程為基礎(chǔ)的過阻尼隨機共振模型分別有Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型[3]、混合雙穩(wěn)系統(tǒng)模型[4]、三穩(wěn)態(tài)模型[5]、并行陣列系統(tǒng)模型[6]；二階方程較過阻尼具有近似濾波功能并且模型中含有可調(diào)的阻尼比增強了對噪聲的適應(yīng)能力，因此關(guān)于二階方程的研究也在如火如荼的進行，比如基于逃逸率二階方程下的廣義調(diào)參隨機共振[7]、二階方程三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[8]。以上研究絕大數(shù)都是以理想化的高斯噪聲為背景，與實際的噪聲環(huán)境存在偏差，而α噪聲是具有顯著的拖尾特性和尖峰脈沖特性的非高斯噪聲，能夠更加接近于實際振動信號檢測應(yīng)用場景，因此α噪聲作為背景噪聲受到越來越多的關(guān)注，其中有α穩(wěn)定噪聲下時滯非對稱單穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振[9]、α噪聲驅(qū)動的非對稱雙穩(wěn)隨機共振現(xiàn)象[10]、α噪聲背景下的脈沖幅度調(diào)制(Pulse Amplitude Modulation, PAM)信號檢測[11]。由于隨機共振受到絕熱近似理論的限制,因此在信號方面系統(tǒng)只能檢測低頻(f?1 Hz)信號,而在實際工程中其信號頻率遠遠大于1 Hz，極大的限制了隨機共振的應(yīng)用發(fā)展,學者們通過不同的信號預(yù)處理方法打破傳統(tǒng)只能檢測小信號的桎梏,其中包括移頻變尺度隨機共振[12]、二次采樣的隨機共振技術(shù)[13]、頻率控制的自適應(yīng)隨機共振[14]、信號頻譜重構(gòu)的隨機共振[15]等等。以上研究使得隨機共振應(yīng)用在實際工程信號處理中成為可能，其中最為典型是旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)故障檢測，旋轉(zhuǎn)機械在交通工具、航空發(fā)動機、發(fā)電機等廣泛的工業(yè)應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，其運行狀態(tài)的好壞直接影響生產(chǎn)生活安全，但是由于復(fù)雜機械設(shè)備中存在大量強噪聲使得軸承信號檢測變得尤為困難，因此旋轉(zhuǎn)機械的故障診斷問題極為突出。近年來涌現(xiàn)出大量研究:指數(shù)單穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)的軸承故障信號檢測[16]和變步長二階隨機共振系統(tǒng)的滾動軸承故障檢測[17]、隨機共振與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解結(jié)合的滾動軸承故障檢測[18]等。目前為止，研究者發(fā)現(xiàn)Woods-Saxon模型具有平滑的底部，陡峭的勢壘壁，能夠保證粒子穩(wěn)定運動使其達到較好輸出[19]，而三穩(wěn)態(tài)模型在微弱信號檢測時有比其他穩(wěn)態(tài)對噪聲利用率高的特點；因此本文將混合雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)與Woods-Saxon模型相結(jié)合，提出混合三穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)；然后利用自適應(yīng)算法尋找混合型三穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)組合，對α噪聲背景下的仿真信號進行檢測，證明其優(yōu)越性；最后為了更加充分的聚集目標頻率能量，將變分模態(tài)分解和混合三穩(wěn)態(tài)隨機共振進行組合并應(yīng)用于實際軸承故障信號檢測，仿真結(jié)果顯示系統(tǒng)檢測出的故障頻率與實際計算特征頻率相差無幾，進一步驗證了該系統(tǒng)的實用性，為該系統(tǒng)在實際工程的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)

Woods-Saxon為對稱的單穩(wěn)態(tài)函數(shù)

(1)

式中：a為穩(wěn)態(tài)壁陡峭程度；V為穩(wěn)態(tài)深度；R為穩(wěn)態(tài)寬度。由圖1可知：穩(wěn)態(tài)的兩端收斂于x軸。由圖1(a)可知:固定V,R單獨調(diào)節(jié)a可以改變穩(wěn)態(tài)壁的陡峭程度，并且隨著a的減小穩(wěn)態(tài)勢阱壁逐漸變得陡峭。由圖1(b)可知：固定R，a單獨減小V，穩(wěn)態(tài)深度減小，由圖1(c)可知:固定V，a，調(diào)節(jié)R，穩(wěn)態(tài)的寬度隨著R的增大而增大并由其單獨表征。因此勢函數(shù)的形態(tài)由a,V,R聯(lián)合控制，系統(tǒng)參數(shù)間的耦合性不高，可有效控制勢函數(shù)的形態(tài)。

1.2 混合雙穩(wěn)態(tài)模型

在混合雙穩(wěn)態(tài)模型中勢函數(shù)Um(x)是非線性對稱雙勢阱，其勢函數(shù)為

(2)

圖2表示隨著穩(wěn)態(tài)參數(shù)b的增大，穩(wěn)態(tài)壁逐漸變得陡峭且勢壘高度減小，勢函數(shù)形狀由w型逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閡型；因此可知參數(shù)b將影響混合雙穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)態(tài)個數(shù)及穩(wěn)態(tài)寬度，可有效控制混合型雙穩(wěn)態(tài)涵蓋域及穩(wěn)態(tài)間過渡。

圖1 勢函數(shù)隨不同參數(shù)的變化Fig.1 Potential function for different parameters

圖2 混合型雙穩(wěn)勢函數(shù)隨b的變化Fig.2 Hybrid bistable potential function for different b

1.3 組合模型

基于以上兩種模型將Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)模型與混合雙穩(wěn)態(tài)模型相結(jié)合提出一種混合型三穩(wěn)態(tài)模型，勢函數(shù)為

(3)

圖3是混合型三穩(wěn)態(tài)的勢函數(shù)，其參考形態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)為(V,R,a,b)=(0.6,0.4,0.1,0.3)，由圖3可知該函數(shù)為軸對稱圖形，兩邊勢阱屬于混合雙穩(wěn)態(tài)勢阱而中間勢阱屬于Woods-Saxon,從而可知該系統(tǒng)既保留了Woods-Saxon的特性又增添了三穩(wěn)態(tài)的優(yōu)點。

圖3 混合型三穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)Fig.3 Hybrid tri-stable potential function for different value

通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)V可知影響中間穩(wěn)態(tài)深淺，參數(shù)a影響中間穩(wěn)態(tài)壁的陡峭程度，參數(shù)R影響中間穩(wěn)態(tài)區(qū)域窄寬，參數(shù)b影響整體勢函數(shù)兩邊穩(wěn)態(tài)壁的陡峭，由布朗粒子運動及勢函數(shù)形態(tài)關(guān)系可知：布朗粒子從單或雙勢阱躍遷變?yōu)槿齽葳遘S遷，極大的提高了噪聲的利用率，而由這些參數(shù)引起的勢阱與勢壘的改變也直接影響粒子的躍遷難易程度。

1.4 系統(tǒng)模型

隨機共振的三要素分別為：微弱驅(qū)動信號、噪聲和非線性系統(tǒng)，代入布朗粒子運動方程中可以理解為布朗粒子在外部周期驅(qū)動力下通過非線性系統(tǒng)在勢阱間的躍遷達到周期性，在不足以越過勢壘的情況下，通過協(xié)調(diào)噪聲的能量完成勢阱間的躍遷,因此二階三穩(wěn)態(tài)布朗粒子運動方程為

(4)

其中傳統(tǒng)的隨機共振系統(tǒng)勢函數(shù)及勢阱力為[20]

(5)

而由式(3)可知混合三穩(wěn)態(tài)勢阱力為

(6)

由隨機變量(x,y)的Fokker-Planck方程可知其概率密度函數(shù)

(7)

式中:k為阻尼比;s(t)為外部周期驅(qū)動力;ξ(t)為α噪聲，其特征函數(shù)表達式為

(8)

由式(8)可知α值決定該分布的拖尾特性和脈沖特性。拖尾特性和脈沖特性在α變化時呈現(xiàn)互反性，α值由小變大時拖尾特性由強變?nèi)?，脈沖特性由弱變強。β∈[-1,1]為對稱參數(shù)，確定分布的對稱性稱。參數(shù)σ∈[0,+∞)是尺度系數(shù)；μ∈(-∞,+∞)是位置參數(shù)，決定該分布的中心位置。由于α的特征指數(shù)越小，脈沖幅值就越大，振蕩粒子跳躍的距離很可能趨向無窮大，針對這個問題，經(jīng)過大量仿真驗證對于混合三穩(wěn)態(tài)數(shù)值仿真時對輸出截斷為5，雙穩(wěn)態(tài)為2。

1.5 α噪聲的產(chǎn)生方法

α噪聲的隨機變量X通過Chambers-Mallows-Stuck方法產(chǎn)生[21]，當α≠1時

(9)

其中，

(10)

Dα,β,σ=σ[cos(arctan(βtan(πα/2)))]-1/α

(11)

當α=1時

(12)

式中：V為(-π/2,π/2)上的均勻分布；W為均值為1的指數(shù)分布，并且V和W相互獨立。

1.6 二階穩(wěn)態(tài)方程的四階Runge-Kutta法

(13)

1.7 系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化調(diào)節(jié)

隨機共振的產(chǎn)生依靠調(diào)節(jié)噪聲強度、系統(tǒng)參數(shù)使其產(chǎn)生協(xié)同作用來增強淹沒在噪聲中的有用信號，但是在此過程中需要判定系統(tǒng)是否產(chǎn)生了隨機共振，因此定量測度指標更加有助于實現(xiàn)和應(yīng)用隨機共振現(xiàn)象目前性能指標主要包括信噪比、信噪比增益、互相關(guān)系數(shù)、駐留時間等，而隨機共振的主要特點就是將噪聲的能量轉(zhuǎn)化為有用信號的能量從而使有用信號實現(xiàn)非線性放大，最為直觀的性能指標就是判定系統(tǒng)對輸入信號進行非線性放大的程度。因此本文選取信噪比增益作為性能判定指標，其定義為輸出信號功率譜中信號頻率處的幅值與輸出背景噪聲之比同輸入信號功率譜中信號頻率處幅值與輸入背景噪聲之比的比值。該比值能較清晰的理解輸出相比輸入的受益程度，定義為

(14)

式中：snrout(f0)為輸出信噪比；snrin(f0)為輸入信噪比。由于實際應(yīng)用場景中噪聲的復(fù)雜程度，外界噪聲源一定時其噪聲強度固定，因此通過調(diào)節(jié)噪聲強度實現(xiàn)隨機共振較困難，目前的研究主要集中在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)節(jié)實現(xiàn)共振，由“2.3”節(jié)可知，中間勢阱主要依賴V，R，a控制，兩邊勢阱的調(diào)節(jié)主要影響因子為b，耦合性較低，本文選取自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)隨機共振，其具體步驟如下：

步驟1 初始化V，R，a及b,分別給定迭代步長和范圍；

步驟2 更新V，R，a,在b的給定范圍內(nèi)搜索,比較信噪比增益,并記錄最大信噪比增益時V,R,a,b;

步驟3 判斷V,R,a是否超出搜索范圍,若未超出則轉(zhuǎn)到步驟2，若超出則停止更新轉(zhuǎn)到步驟4；

步驟4 分別在步驟2記錄的信噪比增益中調(diào)節(jié)k,找出并記錄每次調(diào)節(jié)過程中的最大信噪比增益；

步驟5 比較步驟4記錄的信噪比增益,找出最大的信噪比增益所在的V，R，a,b,k。

選取參數(shù)s(t)=0.8cos(0.2πt)，采樣頻率fs=5 Hz和采樣點數(shù)N=10 000，α噪聲參數(shù)：a=1.2，β=0和σ=1，μ=0，對于圖4(a)選取系統(tǒng)參數(shù)a=3，R=1和b=0.02，k=0.1，圖4(b)為固定系統(tǒng)參數(shù)R，b，k，而將V=5，圖4(c)為固定系統(tǒng)參數(shù)V，b，k，令a=3，對于圖4(d)為固定V，b，a，k，由圖4(a)～圖4(d)的各個系統(tǒng)參數(shù)在不同α下的信噪比增益均呈現(xiàn)“先增后減”的單峰現(xiàn)象，可證明該系統(tǒng)在α噪聲下可產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象且系統(tǒng)參數(shù)b的搜索范圍小于V，a和R范圍。由圖4(e)，k為阻尼項在粒子運動過程中擁有阻礙粒子運動的功能，因此在實現(xiàn)隨機共振時，當系統(tǒng)采用較高阻尼比時系統(tǒng)達到共振時所需的噪聲能量更強，這一點可以從圖中阻尼比由0.1增加到1時，信噪比增益曲線逐漸右移說明，因此在微弱信號檢測時，可通過調(diào)節(jié)各個系統(tǒng)參數(shù)以及阻尼項使待測信號的信噪比增益達到最優(yōu)值，從而檢測出目標信號。

2 變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition，VMD)是一種自適應(yīng)頻率分解方法,每個模態(tài)由中心頻率和帶寬組成, 此過程可理解為迭代和搜尋變分問題的最優(yōu)化,其中μk(t)為模態(tài)函數(shù),具體求解步驟為

步驟1對于每一個μk(t)通過Hilbert得到其解析信號,利用exp(-jωkt)調(diào)制估計中心頻率

(15)

步驟2每個模態(tài)都能緊密地圍繞在各自中心脈沖頻率ωk附近,ωk的帶寬由以上解調(diào)信號的高斯平滑度來估算,則建立受約束的變分問題為

(16)

式中:f為原始信號;uk為模態(tài)函數(shù);ωk為各個模態(tài)的中心頻率。

式中:α為懲罰因子；λ為拉格朗日因子。

(18)

步驟5通過Parseval /Plancherel傅里葉等距變換將其轉(zhuǎn)換到頻域

(19)

通過ω=ω-ωk進行變量代換,然后將其轉(zhuǎn)換為非負頻率區(qū)間積分形式,最終求解的更新表達式為

(20)

(21)

算法流程如下:

步驟2n=n+1開始整個算法的循環(huán)；

步驟3 利用式(20)和式(21)更新uk和ωk,k=k+1,k∈(1,K),K為窄帶模態(tài)函數(shù)分量個數(shù)；

步驟5 給定精度e>0,若滿足判定表達式

則迭代終止,否則返回步驟2。

3 仿真信號分析

3.1 諧波振動信號

旋轉(zhuǎn)機械廣泛應(yīng)用在交通工具、航空發(fā)動機、發(fā)電機等系統(tǒng)中，其運行時的安全可靠是減少經(jīng)濟損失、避免人身傷害的前提；因此若要保證機器的穩(wěn)定，準確的健康監(jiān)測與診斷系統(tǒng)對指示旋轉(zhuǎn)機械可能發(fā)生的初期故障具有重要意義，通常旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)是通過產(chǎn)生的諧波振動信號獲取機器的運行狀態(tài)[22]，因此選取采樣頻率fs=5 000 Hz的諧波振動信號模型為

采樣點數(shù)N=10 000，原始信號中其中各次諧波的幅度值d(m)m=1,2,3=[1,0.8,0.5]，信號基頻f0=10 Hz，因此cos(4πf0t)和cos(6πf0t)是以f0為基頻的二次諧波和三次諧波，其中:ξ(t)是噪聲強度D=2的α噪聲，參數(shù)設(shè)置為α=1.2，β=0，σ=1，μ=0。由圖5(a)可知諧波振動信號完全被淹沒在α噪聲背景下，時域圖只能觀察到噪聲特性。在將時域信號利用FFT變換后求其相應(yīng)的功率譜圖5(b)可知功率譜中特征頻率無法識別，因此需要借助隨機共振對信號進行非線性放大，但是由于隨機共振受絕熱近似理論的限制，而此時諧波振動信號的頻率遠大于1 Hz ，所以采用二次采樣對諧波振動信號壓縮等效為滿足條件的低頻信號，采樣壓縮比R=fs/fsr=1 000，二次采樣頻率為fsr=5 Hz。將淹沒在α噪聲中的諧波振動信號輸入到經(jīng)典雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，其中系統(tǒng)參數(shù)和阻尼比(a,b,k)=(1,1,0.5)，從圖5(c)可觀察到其特征頻率，但是在其高頻還存在噪聲頻率而且干擾頻率較多，因此采用式(13)對諧波振動含噪信號為輸入的式(4)進行求解，利用自適應(yīng)參數(shù)尋優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)組合為(V,R,a,b,k)=(0.5,1,1,0.01,0.3)。經(jīng)過混合型三穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)后，圖5(d)是顯示諧波振動信號輸出功率譜圖，對比圖5(b)、圖5(c)相應(yīng)功率譜可知隨機共振系統(tǒng)可對含噪信號進行非線性放大凸顯特征頻率，對比圖5(c)、圖5(d)混合三穩(wěn)態(tài)共振系統(tǒng)較經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在諧波振動信號特征頻率處均有較大程度的提高，能夠更好的協(xié)同噪聲放大信號，最大程度的吸收高頻噪聲能量轉(zhuǎn)化為低頻有用信號能量，使特征頻率更加明顯，而且準確的檢測出諧波振動信號，因此在α噪聲背景下檢測諧波振動信號混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)優(yōu)于經(jīng)典雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)。

圖5 經(jīng)典雙穩(wěn)和混合三穩(wěn)諧波信號檢測Fig.5 The harmonic vibration signal detection of the classical bistable and hybrid tri-stable system

3.2 調(diào)幅信號

旋轉(zhuǎn)機械完成旋轉(zhuǎn)動作的主要部件為轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子常常會發(fā)生與靜止件的碰撞摩擦，這時故障會引起振動信號的調(diào)制現(xiàn)象，因此有效識別和提取調(diào)幅振動信號調(diào)制特性對檢測轉(zhuǎn)子故障具有實際意義[23]。選取采樣頻率fs=20 000，采樣點數(shù)N=10 000，調(diào)幅振動信號

s(t)=A(m)(1+cos(2πf1(t)))sin(2πmf0t)+ξ(t)

其初始幅度參數(shù)為A(m)m=1,2,3=[0.8,0.5,0.2]，其中調(diào)制頻率f0=300 Hz，被調(diào)制頻率f1=30 Hz，ξ(t)是噪聲強度D=1.5的α噪聲，噪聲參數(shù)設(shè)置為α=1.2，β=0，σ=1，μ=0。圖6(a)為原始調(diào)幅信號時域圖形，在α噪聲背景下的調(diào)幅信號功率譜圖如圖6(b)，調(diào)幅信號已經(jīng)完全淹沒在噪聲下，由于0～10 kHz內(nèi)均有頻率點幅值，因此無法區(qū)別噪聲和有用信號。利用二次采樣對調(diào)幅振動信號壓縮等效為滿足條件的低頻信號，采樣壓縮比R=fs/fsr=10 000，二次采樣頻率為fsr=2 Hz，將淹沒在α噪聲中的諧波振動信號送入經(jīng)典雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，其中系統(tǒng)參數(shù)和阻尼比(a,b,k)=(1,1,0.5)，由圖6(c)可以看到在0～400 Hz內(nèi)f0=300 Hz處功率譜幅值為579.1和f0+30 Hz處105.2,f0-30 Hz處126.4的譜峰值，400～800 Hz內(nèi)只能觀察到2f0=600 Hz處270.4的功率譜幅值，2f0±30 Hz周圍存在著明顯的干擾噪聲頻率，而在800～1 200 Hz內(nèi)3f0=900 Hz及3f0±30 Hz完全被噪聲所覆蓋，由此可知經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)對調(diào)幅信號檢測不佳，利用自適應(yīng)參數(shù)尋優(yōu)算法獲得混合型三穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)組合及阻尼比參數(shù)大小為(V,R,a,b,k)=(1,1,5,0.3,0.5)，圖6(d)為經(jīng)過混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出功率譜圖,相比雙穩(wěn)態(tài)模型而言混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在800～1 200 Hz內(nèi)能觀察到3f0=900 Hz的譜峰值為1 042，對比圖6(c)、圖6(d)可知混合三穩(wěn)態(tài)在轉(zhuǎn)子故障引起的調(diào)幅振動信號檢測中優(yōu)點凸顯，不僅檢測信號的個數(shù)優(yōu)于經(jīng)典雙穩(wěn)，更是在待測信號功率譜幅值方面高于一個量級，因此混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)擴展了信號的檢測范圍。

圖6 經(jīng)典雙穩(wěn)和混合三穩(wěn)調(diào)幅信號檢測Fig.6The amplitude modulated signal detection of the classical bistable and hybrid tri-stable system

3.3 周期衰減脈沖信號

軸承故障診斷中故障信號總是以沖擊級數(shù)的形式出現(xiàn)[24]。因此選擇含有α噪聲的周期性單邊衰減脈沖離散信號作為強噪聲下的模擬軸承故障信號，其單周期衰減脈沖表達式為

s(t)=Aexp(-gt)sin(2πfnt)

采樣頻率為fs=20 000，固定頻率為fn=1 200，故障頻率為f0=200，幅度為A=0.8，衰減率g=600，采樣點數(shù)N=10 000，圖7(a)周期衰減脈沖信號時域圖，在原始信號中加入α噪聲，噪聲強度D=0.2，參數(shù)設(shè)置為α=1.6和β=0，σ=1，μ=0。傅里葉變換后求得其功率譜如圖7(b)中并沒有觀察到故障頻率，最大幅值處為固定頻率處。0～500 Hz內(nèi)f0幅值過小，經(jīng)過采樣壓縮比R=fs/fsr=10 000，二次采樣頻率fsr=2 Hz后送入經(jīng)典雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)(a,b,k)=(1,1,0.5)，由圖7(c)可以看到在0～1 200 Hz內(nèi)處功率譜幅值為2.751，譜幅值較低且整個帶寬內(nèi)都存在噪聲，噪聲利用率較低；因此利用式(12)對含噪周期衰減脈沖信號為輸入的式(4)進行求解，利用參數(shù)自適應(yīng)尋優(yōu)算法獲得最優(yōu)參數(shù)組合為(V,R,a,b,k)=(3,5,1.7,0.04,0.5)，圖7(d)為經(jīng)過混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出功率譜圖，800～2 000 Hz處已無噪聲存在，且能夠檢測出故障特征頻率外的二倍頻及三倍頻，對比圖7(c) 、圖7(d)可知混合三穩(wěn)態(tài)更適合于軸承故障的診斷，能夠清晰、準確的提取出軸承故障的特征頻率。

圖7 經(jīng)典雙穩(wěn)和混合三穩(wěn)周期衰減脈沖信號檢測Fig.7 The periodic unilateral attenuation impulse signal detection of the classical bistable and hybrid tri-stable system

4 深溝球軸承實驗驗證

滾動軸承故障信號具有非平穩(wěn)性、微弱性，常常淹沒在強大的背景噪聲中難以發(fā)現(xiàn)和提取，極易對工程應(yīng)用造成不可估量的損失，軸承故障常常以倍頻形式存在，為驗證變長模態(tài)分解與混合三穩(wěn)隨機共振組合系統(tǒng)在軸承故障信號檢測的實用性。采用西儲大學電氣工程實驗室型號為6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承裝置[25]。軸承轉(zhuǎn)速1 797 r/min采樣頻率fs=12 kHz；表1滾動軸承主要計算參數(shù)，由式(22)計算外圈故障頻率為107.3。

圖8 6205-2RS JEM SKF實驗與采集裝置Fig.8 6205-2RS JEM SKF experimental equipment

表1 6205-2RS JEM SKF軸承參數(shù)

軸承故障信號頻率計算

(22)

圖9 故障信號的時域圖和頻域圖Fig.9 The time domain and frequency of the fault signal

圖10 加噪信號時頻圖Fig.10 The time domain and frequency of the noisy fault signal

圖11 變分模態(tài)分解時域圖Fig.11 The time domain of the VMD

圖12 變分模態(tài)分解功率譜圖Fig.12 The frequency of the VMD

圖13 重構(gòu)信號時頻圖Fig.13 The time and frequency of the reconstructed signals

圖14 組合系統(tǒng)輸出時頻圖Fig.14 The time and frequency of combined system

5 結(jié) 論

本文將Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)與混合雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)組合成一種新型的三穩(wěn)系統(tǒng)，稱為混合型型三穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)。該系統(tǒng)不僅保留了Woods-Saxon對于軸承信號檢測的優(yōu)良性，而且擁有三穩(wěn)態(tài)對噪聲充分利用的特點，文中以信噪比增益為衡量指標，利用自適應(yīng)算法通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)(V,R,a,b,k)實現(xiàn)隨機共振的最佳輸出，而且利用噪聲的變化證明了混合三穩(wěn)態(tài)信噪比增益符合隨機共振的典型先增后減特性，針對α噪聲背景的諧波振動信號、調(diào)幅信號、周期衰減脈沖信號進行檢測，結(jié)果表明：混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在三者檢測中均優(yōu)于經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，能夠檢測出經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)未檢測出的待測信號。為了更好的將系統(tǒng)應(yīng)用于實際，將變長模態(tài)分解與混合三穩(wěn)態(tài)結(jié)合，能夠?qū)崿F(xiàn)更近一步的聚集目標頻率能量,通過實際軸承信號驗證，該系統(tǒng)在復(fù)雜噪聲背景下不僅檢測出軸承特征頻率而且清晰顯示其倍頻，充分的證明了該系統(tǒng)在故障檢測效果的良好性，因此本文為所提系統(tǒng)的應(yīng)用提供了有意義的參考價值。