李星占， 岳曉斌， 黃 文， 董興建， 彭志科

(1.中國工程物理研究所 機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽 621900；2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

模態(tài)分析在實(shí)際的工程應(yīng)用中有著重要的意義，它可以評(píng)價(jià)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，避免共振，控制噪聲，為結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)[1]。傳統(tǒng)上獲得結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的實(shí)驗(yàn)方法為實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析(Experimental Modal Analysis, EMA)。通常使用模態(tài)力錘或激振器激勵(lì)結(jié)構(gòu)，使用傳感器采集結(jié)構(gòu)的響應(yīng)；根據(jù)定義，計(jì)算結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)；根據(jù)辨識(shí)算法，獲得模態(tài)參數(shù)(固有頻率、模態(tài)阻尼和模態(tài)振型)。在實(shí)際應(yīng)用中，EMA的應(yīng)用有很大的局限性：需要結(jié)構(gòu)的激勵(lì)信號(hào)。但是，鑒于結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)與工作環(huán)境，一些結(jié)構(gòu)很難人為的激勵(lì)或者激勵(lì)信號(hào)無法測(cè)試，如橋梁由于結(jié)構(gòu)太大無法人工激勵(lì)[2-3]，海上風(fēng)力發(fā)電機(jī)的風(fēng)載和波浪激勵(lì)無法準(zhǔn)確測(cè)量[4-5]，高速旋轉(zhuǎn)的主軸由于危險(xiǎn)無法錘擊激勵(lì)[6-7]。此時(shí)，工作模態(tài)分析(Operational Modal Analysis, OMA)方法被提出，在未知輸入的情況下，辨識(shí)結(jié)構(gòu)的模態(tài)，如峰值提取(Peak Picking, PP)法、頻域分解(Frequency Domain Decomposition, FDD)法、多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域(Poly-reference Least-squares Complex Frequency Domain, PolyMAX或PolyLSCF)法、隨機(jī)子空間(Stochastic Subspace Identification, SSI)法和特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)(Eigensystem Realization Algorithm, ERA)法等[8-9]。OMA方法的優(yōu)勢(shì)在于無需已知輸入信號(hào)，能在工況下在位測(cè)量，但對(duì)于輸入的類型有一定的限制：在所關(guān)心的模態(tài)分析區(qū)間，激勵(lì)信號(hào)必須為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。因此，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為有色噪聲或者混有諧波信號(hào)等時(shí)，OMA方法無法準(zhǔn)確的區(qū)分結(jié)構(gòu)自身的模態(tài)頻率和由激勵(lì)信號(hào)帶來的虛假模態(tài)頻率，需要通過其它算法來辨識(shí)虛假模態(tài)，這增加了OMA方法應(yīng)用的難度，降低了辨識(shí)結(jié)果的可信度。

基于振動(dòng)響應(yīng)傳遞率的OMA方法由Devriendt等[10]在2006年提出。該方法最大的特點(diǎn)就是辨識(shí)結(jié)果可以不受輸入類型的影響，無論是有色噪聲、正弦掃頻，還是錘擊激勵(lì)，被激勵(lì)模態(tài)的參數(shù)都能被正確的辨識(shí)，虛假模態(tài)能被有效的區(qū)分。該優(yōu)勢(shì)使得基于振動(dòng)傳遞率的OMA方法能夠在其它方法不適用的情況下應(yīng)用，但在該方法中也存在缺陷?；趥鬟f率的OMA方法需要兩次及以上不同激勵(lì)情況下的響應(yīng)，且響應(yīng)參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)必須大于激勵(lì)源的個(gè)數(shù)。

基于以上原因，為更好的利用基于傳遞率的OMA方法，近十年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)該類方法進(jìn)行了大量的研究和拓展，并將其應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域。為了深入的分析該方法，將從以下三個(gè)方面對(duì)振動(dòng)傳遞率及其OMA方法進(jìn)行了綜述。首先，對(duì)振動(dòng)傳遞率概念的發(fā)展及研究現(xiàn)狀進(jìn)行介紹；其次，對(duì)傳遞率的估計(jì)方法進(jìn)行了介紹；然后，對(duì)基于傳遞率的各種模態(tài)辨識(shí)方法進(jìn)行了綜述，重點(diǎn)分析方法的原理，比較方法之間的優(yōu)缺點(diǎn)，并為以后該類方法的發(fā)展進(jìn)行展望。最后，在綜述的基礎(chǔ)上，選擇四種代表性的辨識(shí)方法，對(duì)不同激勵(lì)情況下的多自由度系統(tǒng)模型進(jìn)行了模態(tài)辨識(shí)，比較了參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果及各方法的局限性。

1 傳遞率的概念

在20世紀(jì)90年代之前，振動(dòng)傳遞率的概念通常限定在單自由度系統(tǒng)中，分為響應(yīng)傳遞率和力傳遞率。如圖1所示的單自由度集中質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，集中質(zhì)量與系統(tǒng)的基座之間響應(yīng)的關(guān)系可以用傳遞率的形式表示為

(1)

式中：TAB為A，B之間的響應(yīng)傳遞率;Y(s)為響應(yīng)y(t)的Laplace變換;m,c,k分別為單自由系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度。

圖1 單自由度系統(tǒng)Fig.1 Single DOF system

單自由度系統(tǒng)中響應(yīng)傳遞率的定義表示了振動(dòng)在通過系統(tǒng)前后的響應(yīng)比，可用來表示振動(dòng)的衰減情況，調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)，可控制振動(dòng)的衰減。力傳遞率與響應(yīng)傳遞率相似，定義為集中質(zhì)量與系統(tǒng)基座之間受力的比值。Ungar[11]通過分析和推導(dǎo)證明，在單自由度、線性、單軸系統(tǒng)中響應(yīng)傳遞率與力傳遞率是相等的。

隨著結(jié)構(gòu)的大型化、復(fù)雜化，以及人們對(duì)結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)要求的提高，如何根據(jù)測(cè)試獲得的部分響應(yīng)或力去估計(jì)和預(yù)測(cè)未測(cè)試或者無法測(cè)試部分的響應(yīng)或力成為困擾研究人員的一個(gè)難題。因此，將振動(dòng)傳遞率從單自由度系統(tǒng)推廣到多自由度系統(tǒng)變得非常有意義。Paipetis等[12-15]對(duì)特定形式的多自由度系統(tǒng)中振動(dòng)傳遞率的定義進(jìn)行了探索。1998年Ribeiro等[16]首次提出了通用化的多自由度系統(tǒng)中傳遞率的概念，通過頻響函數(shù)建立已知響應(yīng)矩陣和未知響應(yīng)矩陣之間的關(guān)系。Maia等[17-18]對(duì)多自由度系統(tǒng)中傳遞率的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的闡述，并提出了傳遞率矩陣的計(jì)算方法。第一種方法是通過結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納矩陣運(yùn)算，第二是通過結(jié)構(gòu)的響應(yīng)矩陣直接獲得。Fontul等[19]對(duì)傳遞率矩陣在隨機(jī)和諧波振動(dòng)過程中的特性進(jìn)行了解析和仿真驗(yàn)證，結(jié)果再一次證明振動(dòng)傳遞率矩陣不受激勵(lì)力類型的影響，而取決于激勵(lì)、已知響應(yīng)和未知響應(yīng)所處的位置。Maia等[20]對(duì)多自由度系統(tǒng)中傳遞率概念的發(fā)展進(jìn)行了綜述。Lage等[21]對(duì)力傳遞率和位移傳遞率之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。

如圖2所示的多自由系統(tǒng)，A,K,U,C分別為激勵(lì)力、已知響應(yīng)、未知響應(yīng)和其它響應(yīng)的坐標(biāo)集合。依據(jù)頻響函數(shù)，激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系可表示為

(2)

式中：Y,H和F分別為響應(yīng)向量、頻響函數(shù)向量和力向量。

圖2 多自由度系統(tǒng)及其坐標(biāo)集合Fig. 2 MDOFs system and its coordinates sets

通過矩陣運(yùn)算，消除力向量，獲得多自由度系統(tǒng)中已知響應(yīng)與未知響應(yīng)之間的關(guān)系

YU=TUKYK

(3)

其中，

TUK=HUA(HKA)+

(4)

即為未知響應(yīng)與已知響應(yīng)之間的傳遞率矩陣。(*)+為矩陣的偽逆矩陣，為使矩陣有意義，需滿足K的個(gè)數(shù)大于等于A的個(gè)數(shù)，即已知響應(yīng)的個(gè)數(shù)不能少于激勵(lì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

多自由度系統(tǒng)中傳遞率概念的提出與完善，促進(jìn)了傳遞率在結(jié)構(gòu)響應(yīng)估計(jì)[22]、損傷檢測(cè)[23]、頻率響應(yīng)函數(shù)的估計(jì)[24]、力辨識(shí)[25]和傳遞路徑分析[26]等方面的應(yīng)用。特別是在OMA領(lǐng)域，基于振動(dòng)傳遞率的特性，該類方法得到的迅速的發(fā)展。同時(shí)，在多自由度系統(tǒng)傳遞率的框架下，一些新的傳遞率的概念被提出。圖3展示了傳遞率概念的發(fā)展和衍化。

圖3 傳遞率概念的發(fā)展和衍化Fig.3 Concept development of transmissibility

1.1 單參考點(diǎn)傳遞率

當(dāng)系統(tǒng)中參考輸出點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有一個(gè)時(shí)，傳遞率矩陣可以進(jìn)行簡化，任意非參考點(diǎn)L與參考點(diǎn)R之間的單參考點(diǎn)傳遞率(Single Reference Transmissibility Function, STF)可表示為[27]

(5)

式中：Ni為激勵(lì)的個(gè)數(shù)。

1.2 多參考點(diǎn)傳遞率

當(dāng)系統(tǒng)中參考輸出點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于一個(gè)時(shí)，多參考點(diǎn)傳遞率(Poly-reference Transmissibility Matrix, PTF)可表示為[28]

(6)

式(6)與式(4)的定義完全一樣。因此，嚴(yán)格意義上來說，多參考點(diǎn)傳遞率并不是一個(gè)新的概念，而是多自由度系統(tǒng)傳遞率從參考點(diǎn)個(gè)數(shù)角度的重新命名。

1.3 功率譜密度傳遞率

以上兩種傳遞率的定義都是從響應(yīng)譜的角度，依據(jù)多自由度系統(tǒng)傳遞率的概念直接演化獲得的?？紤]從能量的角度重新定義傳遞率，在非參考輸出點(diǎn)和參考點(diǎn)之外，增加一個(gè)系統(tǒng)性的輸出參考點(diǎn)P，功率譜密度傳遞率(Power Spectrum Density Transmissibility, PSDT)可表示為[29]

(7)

式中:Syy為響應(yīng)之間的互功率譜密度。

1.4 多變量功率譜密度傳遞率

考慮多個(gè)傳遞輸出參考點(diǎn)，將功率譜密度傳遞率推廣到多變量功率譜密度傳遞率(Multivariable Power Spectrum Density Transmissibility, MPSDT)[30]

(8)

式中：Z為傳遞輸出參考點(diǎn)的集合；(*)T為矩陣的轉(zhuǎn)置。

1.5 連續(xù)小波變換傳遞率

傅里葉變換可以將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，但其分析的分辨率是固定的。與之相比，小波變換的多尺度分析可以對(duì)信號(hào)的特征進(jìn)行更好的提取。將小波變換替代傅里葉變換，與功率譜密度傳遞率的概念相結(jié)合，提出連續(xù)小波變換傳遞率(Continuous Wavelet Transmissibility, CWTR)的概念[31]

(9)

式中：av為尺度因子；CSyLyP和CSyRyP分別為L和P，R和P響應(yīng)之間基于連續(xù)小波變換的互功率譜密度。

2 傳遞率的估計(jì)方法

從傳遞率的定義可知，振動(dòng)傳遞率可以由系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)或傳遞函數(shù)獲得。但在實(shí)際應(yīng)用中，動(dòng)力學(xué)參數(shù)或傳遞函數(shù)很難直接獲得，振動(dòng)傳遞率通常由系統(tǒng)的響應(yīng)計(jì)算，且考慮到系統(tǒng)中噪聲的影響，需采用估計(jì)類的算法。

2.1 非參數(shù)化估計(jì)方法

在經(jīng)典的振動(dòng)理論中，H1,H2和Hv估計(jì)算子可以用來估計(jì)傳遞函數(shù)。傳遞率的非參數(shù)化估計(jì)方法建立在這些經(jīng)典算子的基礎(chǔ)之上。

Fontul等對(duì)諧波激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下傳遞率矩陣的計(jì)算方法進(jìn)行了研究，提出僅通過響應(yīng)之間的互功率譜矩陣即可計(jì)算傳遞率矩陣，并將通過該方法與通過頻響函數(shù)計(jì)算獲得的傳遞率進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性。Devriendt等[32]提出單參考點(diǎn)傳遞率可以通過參考點(diǎn)和非參考點(diǎn)之間的互功率譜和自功率譜，采用H1估計(jì)算子進(jìn)行計(jì)算。Mao等[33]指出通過H類估計(jì)算子進(jìn)行傳遞率估計(jì)時(shí)，功率譜密度的估計(jì)會(huì)給結(jié)果引入計(jì)算誤差，因此提出采用參考點(diǎn)和非參考點(diǎn)自功率譜比值的均方根來估計(jì)傳遞率的幅值。Leclere等[34-35]認(rèn)為輸出之間的信噪比接近，因此采用Hv估計(jì)傳遞率。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Hv估計(jì)要比H1和H2估計(jì)的結(jié)果更好。張永年[36]提出可以用H1,H2,H3,H4和Hv對(duì)傳遞率進(jìn)行估計(jì)，并對(duì)幾種估計(jì)方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)Hv估計(jì)在含噪聲情況下的估計(jì)效果最佳。

通過以上介紹，傳遞率通常有以下幾種估計(jì)方法。

H1估計(jì)

(10)

H2估計(jì)

(11)

Hv估計(jì)

(12)

式中：Nr為參考點(diǎn)的個(gè)數(shù)；No為輸出的個(gè)數(shù)；V(s)為響應(yīng)矩陣SVD分解的右矩陣。

2.2 參數(shù)化估計(jì)方法

另一類估計(jì)傳遞率的方法是使用參數(shù)化估計(jì)算子。與非參數(shù)化估計(jì)方法相比，參數(shù)化方法不需要將時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行分段，也不需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行任何形式的加窗。盡管這會(huì)造成一定程度的泄露，但是參數(shù)化模型會(huì)對(duì)這些泄露進(jìn)行補(bǔ)償。張昱[37]通過分析指出，在輸入不完全相干的情況下，激勵(lì)之間的不相干性會(huì)大大降低估計(jì)結(jié)果的可靠度，因此通過參數(shù)化系統(tǒng)辨識(shí)方法要比非參數(shù)化估計(jì)方法更加準(zhǔn)確。

Devriendt等[38]提出可以采用最小二乘類估計(jì)方法對(duì)傳遞率的公分母模型進(jìn)行參數(shù)化估計(jì)。與頻響函數(shù)的估計(jì)方法類似，通過該參數(shù)化估計(jì)可以求解系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。張永年等[39]提出采用冪多項(xiàng)式有理分式的形式估計(jì)傳遞率，基于Forsythe正交多項(xiàng)式可減少求解過程方程的病態(tài)性并解耦系統(tǒng)矩陣，進(jìn)而通過最小二乘擬合獲得系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

由以上分析，傳遞率的參數(shù)化模型可以表示為左矩陣分式的形式[40]

D(s)yL(s)=N(s)yR(s)+τ(s)

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

式中：Nd為分母矩陣多項(xiàng)式的模型階數(shù)；Nn為分子矩陣多項(xiàng)式的模型階數(shù)。

基于獲得測(cè)量數(shù)據(jù)，采用最小二乘法、總體最小二乘法和極大似然估計(jì)法等[41]方法，可以對(duì)模型中的未知系數(shù)Ai和Bi進(jìn)行估計(jì)。獲得估計(jì)的系數(shù)后，傳遞率的參數(shù)化模型即可表示為

(17)

由式(17)，即可獲得參數(shù)化估計(jì)的傳遞率。

以上兩種傳遞率的估計(jì)方法主要針對(duì)幅值類的傳遞率。對(duì)于能量類和小波類的傳遞率，在傳遞率的定義中都給出了準(zhǔn)確的估計(jì)方法，因此，其計(jì)算過程主要依據(jù)概念的定義進(jìn)行。

3 基于傳遞率的工作模態(tài)辨識(shí)方法

根據(jù)圖3所示的傳遞率概念的發(fā)展過程，將依據(jù)傳遞率進(jìn)行工作模態(tài)分析的方法分為三類：基于幅值類傳遞率的OMA方法、基于能量類傳遞率的OMA方法和其它基于傳遞率的OMA方法。

3.1 基于幅值類傳遞率的OMA方法

Devriendt等[10]在2006年提出采用單參考點(diǎn)傳遞率進(jìn)行工作模態(tài)分析。通過對(duì)傳遞率的分析，發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)之間響應(yīng)的傳遞率在系統(tǒng)極點(diǎn)處趨近于兩點(diǎn)之間該階模態(tài)的振型向量之比，在不同激勵(lì)情況下同樣位置之間的傳遞率在極點(diǎn)處的差值趨近于零?；诖?，提出了最原始的基于傳遞率的工作模態(tài)分析方法。

(18)

(19)

式中：A，B，C分別為不同的激勵(lì)情況。該方法與FDD方法中采用響應(yīng)的功率譜密度矩陣進(jìn)行SVD分解，進(jìn)而指示模態(tài)位置的思路是一致的。之后，Devriendt等對(duì)基于傳遞率的方法在同時(shí)受到多個(gè)激勵(lì)，且激勵(lì)中帶有諧波頻率的情況進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析和驗(yàn)證。結(jié)果顯示，模態(tài)參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果沒有受到激勵(lì)中諧波成分的影響，在辨識(shí)的過程中無需對(duì)系統(tǒng)中的頻率成分有先驗(yàn)知識(shí)。

(20)

在對(duì)單參考點(diǎn)傳遞率的深入分析中，Devriendt等[45]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)中只有一個(gè)激勵(lì)時(shí)，單參考點(diǎn)傳遞率是確定的，激勵(lì)中的隨機(jī)成分都被消掉；而當(dāng)系統(tǒng)中存在多個(gè)激勵(lì)時(shí)，雖然在極點(diǎn)處傳遞率趨近于模態(tài)振型向量的比值，但激勵(lì)并沒有完全消除，單參考點(diǎn)傳遞率受到激勵(lì)中隨機(jī)成分的影響，不再是確定性的。因此，在模態(tài)辨識(shí)的過程中存在不確定性。由此，提出采用多變量傳遞率進(jìn)行模態(tài)辨識(shí)。多變量傳遞率又稱為多參考點(diǎn)傳遞率，獨(dú)立于系統(tǒng)的輸入，不受激勵(lì)的影響，但不再相交與系統(tǒng)的極點(diǎn)。通過分析，采用類似于空間投影的方法，由多變量傳遞率求解新的單參考點(diǎn)傳遞率，該傳遞率只與響應(yīng)點(diǎn)的位置有關(guān)，不受其它激勵(lì)和位置的影響。由此，基于多變量傳遞率的工作模態(tài)分析方法可以表示為

(21)

基于多變量傳遞率投影的方法雖然解決了在多激勵(lì)情況下，基于多變量傳遞率的模態(tài)識(shí)別問題，但在計(jì)算的過程中需要至少三種不同的激勵(lì)狀態(tài)，這在實(shí)際的應(yīng)用中是非常困難的。為此，Weijtjens等[46]提出了一種新的基于多參考點(diǎn)傳遞率的辨識(shí)方法。該方法對(duì)多參考點(diǎn)傳遞率進(jìn)行重新構(gòu)造，使其與模態(tài)向量矩陣正交。由此，基于參數(shù)化估計(jì)方法，將系統(tǒng)極點(diǎn)的求解轉(zhuǎn)換為一個(gè)非線性特征值問題

γ(λm)φm=0

(22)

式中：λm為系統(tǒng)的特征值點(diǎn)；φm為系統(tǒng)的特征向量；γ為由多參考點(diǎn)傳遞率的參數(shù)化估計(jì)系數(shù)重構(gòu)的矩陣。應(yīng)用PolyLSCF方法，求解特征值問題，即可獲得系統(tǒng)極點(diǎn)的穩(wěn)定圖。與之前基于多變量傳遞率的方法相比，多參考點(diǎn)傳遞率方法只需兩次不同激勵(lì)情況下的響應(yīng)，且基于穩(wěn)定圖的算法結(jié)果更加穩(wěn)定。之后，Weijtjens等[47]又對(duì)該方法進(jìn)行了進(jìn)一步的闡述。與SSI方法對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于多參考點(diǎn)傳遞率的OMA方法中系統(tǒng)特征值的偏差和標(biāo)準(zhǔn)差更小，辨識(shí)結(jié)果更加準(zhǔn)確。周思達(dá)等[48]提出了一種改進(jìn)的基于多參考點(diǎn)傳遞率的模態(tài)辨識(shí)方法?；谧缶仃嚪质蕉囗?xiàng)式模型，利用正則方程Jacobi矩陣的分塊性質(zhì)對(duì)最小二乘問題矩陣形式進(jìn)行縮減，降低了計(jì)算量；通過高維伴隨矩陣方法解決了矩陣多項(xiàng)式的特征值求解問題；并通過兩個(gè)數(shù)值算例對(duì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

在應(yīng)用傳遞率進(jìn)行OMA分析時(shí)，一個(gè)重要的問題是如何獲得兩次以上不同激勵(lì)的響應(yīng)，即如何確定存在不同的激勵(lì)。針對(duì)這一問題，Weijtjens等[49]提出了一種基于時(shí)變單參考點(diǎn)傳遞率的OMA方法。方法認(rèn)為系統(tǒng)的輸入為時(shí)變載荷，而在任意一個(gè)時(shí)刻，瞬態(tài)傳遞率可以看做某一特定激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的傳遞率，因此獲得多個(gè)瞬態(tài)傳遞率即可利用單參考點(diǎn)傳遞率的方法辨識(shí)系統(tǒng)的極點(diǎn)

(23)

式中：t1，t2為兩個(gè)任意的瞬時(shí)時(shí)間；TLR(s,t1)和TLR(s,t2)為兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)單參考點(diǎn)傳遞率。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于無需再去區(qū)分不同的激勵(lì)狀況，不足之處是只能在單個(gè)輸入或單個(gè)分布輸入下基于單參考點(diǎn)傳遞率進(jìn)行模態(tài)辨識(shí)。之后，Weijtjens等[50]結(jié)合時(shí)變單參考點(diǎn)傳遞率與多參考點(diǎn)傳遞率，將該時(shí)變傳遞率的方法推廣到時(shí)變多參考點(diǎn)傳遞率。通過在有色噪聲激勵(lì)下的仿真分析，證明該方法能夠很好的辨識(shí)出結(jié)構(gòu)的參數(shù)，且不受激勵(lì)中有色噪聲成分的影響。

另一個(gè)在OMA中普遍存在的問題是，由OMA計(jì)算獲得的振型并不是真正的振型[51]，只是結(jié)構(gòu)的工作變形形狀(Operational Deflection Shape, ODS)。當(dāng)結(jié)構(gòu)的模態(tài)分布比較離散，沒有耦合時(shí)，ODS主要有單一的模態(tài)振型決定，可視為等比例的模態(tài)振型；當(dāng)結(jié)構(gòu)存在密集模態(tài)時(shí)，模態(tài)存在耦合，ODS受到相鄰的兩個(gè)或者多個(gè)模態(tài)的影響，是多個(gè)模態(tài)振型的線性疊加，此時(shí)ODS無法視為等比例的模態(tài)振型。Devriendt等[52]提出了一種基于傳遞率的模態(tài)振型求取方法。將兩次不同激勵(lì)下的傳遞率矩陣，通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造為與FRF形式類似的偽頻響函數(shù)矩陣

(24)

其中，

(25)

然后利用頻域參數(shù)化估計(jì)方法對(duì)公分母矩陣模型進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的識(shí)別，獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型。Weijtjens等[53]提出了一種依據(jù)多參考點(diǎn)傳遞率進(jìn)行模態(tài)振型求解的方法。建立多參考點(diǎn)傳遞率與比例因子之間的關(guān)系，利用總體最小二乘方法求解，并將比例因子應(yīng)用于重構(gòu)偽傳遞函數(shù)方程。仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)提出的算法進(jìn)行了驗(yàn)證，并分析了在測(cè)量和任意噪聲下偽傳遞函數(shù)的辨識(shí)誤差。

3.2 基于能量類傳遞率的OMA方法

Yan等[29]在2012年提出了采用PSDT進(jìn)行OMA的方法。在系統(tǒng)的極點(diǎn)處，PSDT趨近于模態(tài)向量的比值。基于此，利用不同參考點(diǎn)下PSDT的差值，計(jì)算傳遞率差值函數(shù)倒數(shù)的平均正則方程(Averaged Normalized Inverse Transmissibility Subtraction Function, ANITSF)，即可辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)頻率。

(26)

其中，

(27)

與采用幅值類傳遞率進(jìn)行OMA的方法不同的是，基于PSDT的OMA方法只需單次激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)即可，解決了幅值類傳遞率方法中關(guān)于不同激勵(lì)情況的分析和選擇難題。

但是，類似于經(jīng)典的PP方法，ANITSF方法存在兩個(gè)缺點(diǎn)：首先，方法只能獲得系統(tǒng)的模態(tài)頻率和離散模態(tài)振型，無法計(jì)算系統(tǒng)的模態(tài)阻尼；其次，極點(diǎn)選擇具有主觀性，容易出現(xiàn)虛假極點(diǎn)。Araújo等[54]提出了一種改進(jìn)的基于PSDT矩陣的OMA方法。該方法將基于不同參考點(diǎn)的PSDT組集為一個(gè)矩陣，矩陣在系統(tǒng)的極點(diǎn)處趨近于秩為一的振型向量比值矩陣，對(duì)該矩陣進(jìn)行SVD分解，獲得奇異值，指示系統(tǒng)的極點(diǎn)。

(28)

類似于經(jīng)典的FDD方法，該方法充分利用測(cè)試數(shù)據(jù)，能夠避免錯(cuò)誤計(jì)算極點(diǎn)的識(shí)別，但還是只能識(shí)別模態(tài)頻率與振型。之后，Araújo等又提出了一種新的基于MPSDT的OMA方法。類似于多參考點(diǎn)傳遞率，該方法將PSDT矩陣推廣到基于不同參考點(diǎn)的多變量PSDT矩陣。在極點(diǎn)處，多變量PSDT矩陣趨近于秩為一的振型向量乘積矩陣。構(gòu)建基于不同參考點(diǎn)的多變量PSDT矩陣，對(duì)該矩陣進(jìn)行主分量裁剪，消除矩陣中的噪聲成分；求矩陣的偽逆矩陣，利用PolyLSCF擬合，辨識(shí)系統(tǒng)的固有頻率、阻尼和模態(tài)振型。相比于之前的兩種PSDT方法，該方法獲得了模態(tài)辨識(shí)的穩(wěn)定圖，辨識(shí)結(jié)果的穩(wěn)定性、可靠性更高。

此外，Yan等[55]也提出了一種參數(shù)化的基于PSDT-LSCF的OMA方法，對(duì)ANITSF方法進(jìn)行了改進(jìn)。該方法將不同參考點(diǎn)下的單參考點(diǎn)PSDT組成矩陣，利用公分母模型，基于PSDT差值函數(shù)倒數(shù)的有理方程，利用LSCF方法擬合求解頻率和阻尼，基于PSDT矩陣留數(shù)的SVD分解求解振型。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法計(jì)算的參數(shù)更加準(zhǔn)確，對(duì)噪聲的魯棒性更強(qiáng)。最近，Araújo等[56]提出將PSDT與盲源分離相結(jié)合辨識(shí)低信噪比下結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)。

3.3 其它方法及應(yīng)用

以上基于幅值類傳遞率和能量類傳遞率的OMA方法是目前基于傳遞率進(jìn)行模態(tài)分析的主要方法。此外，Yan等[31]在2013年提出了一種基于CWTR的OMA方法。對(duì)CWTR的特性進(jìn)行了分析研究，建立了以ANICWTSF(Averaged Normalized Inverse CWTR Subtraction Function)為基礎(chǔ)的OMA指示因子，辨識(shí)結(jié)構(gòu)的頻率和振型。通過仿真和實(shí)驗(yàn)，基于不同的小波函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)進(jìn)行了辨識(shí)，且與PP，SSI和有限元方法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果顯示該方法能夠很好的辨識(shí)出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

在以上基于傳遞率的OMA方法的基礎(chǔ)上，針對(duì)傳遞率及其OMA方法的特性，許多學(xué)者也進(jìn)行了相應(yīng)的研究。張昱等[57-58]對(duì)多自由度系統(tǒng)中傳遞率的特性及PSDT的作用原理進(jìn)行了研究和分析。證明了多激勵(lì)作用下多自由度系統(tǒng)中標(biāo)量傳遞率在某些條件下具有不變性，提出了該性質(zhì)統(tǒng)一的適用模型；探討了PSDT與模態(tài)參數(shù)和激勵(lì)中有色成分的關(guān)系，分析了不同荷載條件下能夠?qū)SDT產(chǎn)生影響的因素。Mao等[33]研究了振動(dòng)傳遞率幅值估計(jì)過程中的不確定性。根據(jù)卡方二重檢驗(yàn)分析方法，建立了傳遞率與估計(jì)方法、噪聲之間的不確定性關(guān)系，采用蒙塔卡洛方法進(jìn)行了不確定性分析。分析結(jié)果表明，傳遞率的估計(jì)方法對(duì)不確定性不敏感，但傳遞率對(duì)于噪聲的不確定性較為敏感。Yan等[59-61]對(duì)傳遞率的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)的極點(diǎn)附近，傳遞率方程僅受信號(hào)信噪比和模態(tài)振型向量的對(duì)比，再次說明信噪比對(duì)傳遞率的估計(jì)存在重要的影響。

基于以上傳遞率的OMA分析方法和特性分析，該類方法在許多工程實(shí)踐中得到了應(yīng)用。Devriendt等[62]將基于傳遞率的方法應(yīng)用于橋梁的OMA分析，與基于功率譜密度進(jìn)行OMA分析的方法相對(duì)比，由傳遞率獲得的模態(tài)更加準(zhǔn)確，識(shí)別出了更多的模態(tài)。De Sitter等[63]將基于傳遞率的OMA方法應(yīng)用于聲學(xué)系統(tǒng)的模態(tài)辨識(shí)中，提出一種增強(qiáng)的穩(wěn)定圖，對(duì)圖書館的聲學(xué)模態(tài)進(jìn)行了辨識(shí)。王澤飛等[64]將傳遞率法應(yīng)用在高速齒輪箱箱體工作模態(tài)分析中，可用于齒輪箱箱體在線模態(tài)監(jiān)測(cè)。周思達(dá)等將基于多參考點(diǎn)傳遞率的OMA方法應(yīng)用于空間飛行火箭的模態(tài)辨識(shí)中。韓杰[65]分析了基于傳遞率的OMA方法，并通過對(duì)懸臂梁的振動(dòng)測(cè)試，驗(yàn)證了基于傳遞率和PSDT兩類方法進(jìn)行OMA分析的有效性。Tsai等[66]將基于傳遞率的OMA方法應(yīng)用于機(jī)床直線導(dǎo)軌滾珠軸承預(yù)緊力變化的監(jiān)測(cè)。Maamar等[67-68]利用基于傳遞率的OMA方法對(duì)切削狀態(tài)下的機(jī)床等的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了辨識(shí)，消除了激勵(lì)中諧波信號(hào)對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響。Yan等和Araújo等將基于PSDT的方法應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)測(cè)試與狀態(tài)監(jiān)測(cè)。Khodaygan[69]將PSDT和PolyLSCF方法相結(jié)合對(duì)非對(duì)稱主軸系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

4 數(shù)值算例

為進(jìn)一步對(duì)比分析基于振動(dòng)傳遞率的工作模態(tài)分析方法，及其與傳統(tǒng)OMA方法的不同，以圖4所示的一維四自由度彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)為計(jì)算模型，選擇Weijtjens等提出的基于傳遞率矩陣的PTOMA方法、Araújo等提出的基于PSDT矩陣的PSDTM-SVD方法、傳統(tǒng)OMA方法中常用的FDD方法[70]和PP方法[71]，分析在不同輸入情況下各個(gè)模態(tài)辨識(shí)方法結(jié)果的準(zhǔn)確性，以及其受輸入成分的影響情況。

圖4 四自由度系統(tǒng)Fig.4 Four DOFs system

四自由度系統(tǒng)中，m=1 kg，k=1 000 N/m，c=0.5 N/(m/s)，采用Newmark方法計(jì)算梁的響應(yīng)，系統(tǒng)的理論固有頻率分別為3.11 Hz,5.92 Hz,8.14 Hz,9.57 Hz。

表1所示為五種不同的激勵(lì)情況。Case 1中激勵(lì)為白噪聲，圖5所示為白噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜，響應(yīng)中清楚的顯示出四個(gè)峰值；Case 2中激勵(lì)為有色噪聲，諧波頻率為4 Hz，圖6所示為有色噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜，響應(yīng)中清楚的顯示出五個(gè)峰值，系統(tǒng)響應(yīng)中的頻譜顯示為系統(tǒng)自有模態(tài)特性和激勵(lì)信號(hào)特性的綜合。采用四種OMA方法對(duì)以上兩種情況進(jìn)行模態(tài)辨識(shí)，其辨識(shí)的結(jié)果如圖7和圖8，虛線指示理論模態(tài)頻率的位置。

表1 不同的激勵(lì)情況及屬性

圖5 Case 1白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的頻譜圖Fig. 5 Response spectrum under white noise excitation of Case 1

圖6 Case 2有色噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的頻譜圖Fig.6 Response spectrum under colored noise excitation of Case 2

圖7 Case 1情況下不同OMA方法的辨識(shí)結(jié)果Fig.7 OMA results with different methods under Case 1

圖8 Case 2情況下不同OMA方法的辨識(shí)結(jié)果Fig. 8 OMA results with different methods under Case 2

Case 3中采用多點(diǎn)激勵(lì)，激勵(lì)為白噪聲，如在和處同時(shí)用白噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)；Case 4中激勵(lì)為有色噪聲，諧波頻率為4 Hz，在多點(diǎn)同時(shí)采用不同信噪比的有色噪聲激勵(lì)系統(tǒng)。采用四種OMA方法對(duì)以上兩種情況進(jìn)行模態(tài)辨識(shí)，其辨識(shí)的結(jié)果如圖9和圖10。

對(duì)以上四種情況下的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行提取，獲得的OMA辨識(shí)的系統(tǒng)模態(tài)頻率如表2～表5。對(duì)比表2和表3，在單個(gè)白噪聲激勵(lì)的情況下，四種方法都能準(zhǔn)確的辨識(shí)結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率；而當(dāng)受到有色噪聲影響時(shí)，只有PTOMA方法能夠?qū)⑾到y(tǒng)的模態(tài)和激勵(lì)成分中的虛假模態(tài)辨別出來。對(duì)比表4和表5，在多個(gè)白噪聲激勵(lì)下，四種方法都能準(zhǔn)確的辨識(shí)出系統(tǒng)的模態(tài)頻率，基于振動(dòng)傳遞率的PTOMA和PSDTM-SVD方法在高頻段受到噪聲信號(hào)的影響；在多個(gè)有色噪聲信號(hào)的激勵(lì)下，只有PTOMA能夠完全正確的辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)頻率。

圖9 Case 3情況下不同OMA方法的辨識(shí)結(jié)果Fig.9 OMA results with different methods under Case 3

圖10 Case 4情況下不同OMA方法的辨識(shí)結(jié)果Fig.10 OMA results with different methods under Case 4

模態(tài)階次PTOMAPSDTM-SVDFDDPPf/Hzf/Hzf/Hzf/Hz13.113.113.113.1125.925.895.915.9238.138.168.068.0649.539.679.59.53

表3 Case 2中不同OMA方法辨識(shí)的模態(tài)頻率

表4 Case 3中不同OMA方法辨識(shí)的模態(tài)頻率

表5 Case 4中不同OMA方法辨識(shí)的模態(tài)頻率

對(duì)以上四種情況綜合分析發(fā)現(xiàn)：(1) Araújo等提出的PSDTM-SVD方法雖然基于功率譜密度傳遞率，但在本算例中，其辨識(shí)的結(jié)果受到了激勵(lì)中有色噪聲的影響，不能區(qū)分系統(tǒng)的模態(tài)和虛假模態(tài)；結(jié)合文獻(xiàn)中對(duì)該方法的應(yīng)用，認(rèn)為該方法的辨識(shí)結(jié)果不穩(wěn)定，可能受到系統(tǒng)輸入的影響。(2) 基于系統(tǒng)輸出功率譜密度的PP和FDD方法受到輸入的影響，不能正確的辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)頻率，但通過幾個(gè)算例，發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常穩(wěn)定。(3) 在四個(gè)算例中，只有PTOMA方法能完全正確的辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)，再次證明基于單參考點(diǎn)傳遞率的OMA方法適用于多激勵(lì)的情況。

5 結(jié) 論

針對(duì)振動(dòng)響應(yīng)傳遞率及其在工作模態(tài)分析領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述，包括振動(dòng)響應(yīng)傳遞率的概念及其發(fā)展過程、振動(dòng)響應(yīng)傳遞率的估計(jì)方法和振動(dòng)響應(yīng)傳遞率在OMA領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀。綜合數(shù)值算例對(duì)四種不同OMA方法的對(duì)比可知，基于振動(dòng)傳遞率的工作模態(tài)分析方法能夠準(zhǔn)確的辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)；鑒于傳遞率在極點(diǎn)處的特性，在多次不同情況激勵(lì)下，利用振動(dòng)傳遞率進(jìn)行工作模態(tài)分析可避免受到激勵(lì)中非白噪聲成分的影響，適用于工作狀態(tài)下存在諧波激勵(lì)的系統(tǒng)的模態(tài)分析。

但是，目前基于振動(dòng)傳遞率的方法也存在不足，仍需進(jìn)一步的研究和探索：

(1) 基于PSDT的工作模態(tài)分析方法雖然可以在單次激勵(lì)的情況下辨識(shí)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，但在辨識(shí)的過程中算法并不穩(wěn)定，可能受到激勵(lì)成分的影響，需進(jìn)一步改進(jìn)該類算法，提高辨識(shí)結(jié)果的穩(wěn)定性。

(2) 在工況下，系統(tǒng)的模態(tài)可能隨著時(shí)間的變化發(fā)生改變。將時(shí)頻分析方法和基于傳遞率的OMA方法相結(jié)合，研究針對(duì)非平穩(wěn)系統(tǒng)的工作模態(tài)分析方法在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中有非常大的應(yīng)用價(jià)值。

(3) 系統(tǒng)的物理參數(shù)、邊界條件等可能存在不確定性，將不確定分析與基于傳遞率的OMA方法相結(jié)合，研究針對(duì)不確定性系統(tǒng)的工作模態(tài)分析方法具有很大的實(shí)用意義。