姜瑞忠，劉秀偉，崔永正，張春光，郜益華，潘 紅，王 星

（1.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島266580；2.中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京100028；3.中國石油大港油田分公司采油工藝研究院，天津300280）

北美致密油的成功開采以及當(dāng)今日益緊張的能源形勢，使得非常規(guī)石油資源成為行業(yè)的熱點(diǎn)［1-4］。由于致密油儲(chǔ)層具有滲透率低、孔喉細(xì)小、流動(dòng)條件差等特性［5-6］，導(dǎo)致常規(guī)水平井技術(shù)開發(fā)效果不理想；而多段壓裂水平井技術(shù)通過對(duì)水平井進(jìn)行多段壓裂形成多條裂縫通道，再加上水平井橫向貫穿油層，能夠大大提高油井產(chǎn)能，從而使得多段壓裂水平井技術(shù)廣泛應(yīng)用于提高致密油產(chǎn)量［7］。對(duì)于多段壓裂水平井的滲流規(guī)律，中外諸多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究，其中使用最廣泛的就是線性流模型。

BROWN等在2009年提出了三線性流模型研究多段壓裂水平井的井底壓力［8］，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)在流動(dòng)后期與MEDEIROS等提出的半解析解［9］擬合較好，驗(yàn)證了其模型的正確性；之后，姚軍等在OZKAN模型基礎(chǔ)上，建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度的三線性流模型，并研究啟動(dòng)壓力梯度等因素的影響［10］，其壓裂改造區(qū)采用Warrant-Root擬穩(wěn)態(tài)竄流模型［11］。

2012年，STALGOROVA等建立五線性流多段壓裂水平井模型與數(shù)值模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了其模型的合理性［12］；之后，姬靖皓等建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感的五線性流模型［13］，其壓裂改造區(qū)同樣采用了Warrant-Root擬穩(wěn)態(tài)竄流模型，繪制了相應(yīng)的井底壓力動(dòng)態(tài)曲線；WU等采用等效滲透率將壓裂改造區(qū)看作單重介質(zhì)，同時(shí)綜合考慮啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感建立了五線性流模型［14］。

但是由于致密油儲(chǔ)層基巖孔喉為納米級(jí)孔道，且滲透率極低，因此基巖中的非穩(wěn)態(tài)竄流不能忽略［15］，應(yīng)用Warrant-Root擬穩(wěn)態(tài)竄流模型或者利用等效滲透率的方法所得到的解精確度不高。為此，筆者基于STALGOROVA五線性流模型，建立了同時(shí)存在啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感且考慮了壓裂改造區(qū)之中非穩(wěn)態(tài)竄流的不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行求解、繪制井底壓力動(dòng)態(tài)曲線。

1 物理模型

在對(duì)水平井實(shí)施多段壓裂改造過程中，主裂縫周圍多條天然裂縫會(huì)被連通從而形成復(fù)雜的縫網(wǎng)，但較遠(yuǎn)的儲(chǔ)層并未受到壓裂改造的影響，仍為致密儲(chǔ)層（圖1a）。依據(jù)其主裂縫和壓裂改造區(qū)的分布特點(diǎn)，可簡化得到其等效的流動(dòng)模型（圖1b）。由對(duì)稱性可知，只需研究每條主裂縫控制區(qū)域的四分之一區(qū)域流動(dòng)即可。將主裂縫控制區(qū)域的四分之一區(qū)域劃分為5個(gè)區(qū)域（圖2），區(qū)域1，2，3為未改造區(qū)域，看作單重介質(zhì)；區(qū)域4為壓裂改造區(qū)域，看作是雙重介質(zhì)，采用DE SWAAN模型［16］（圖3）；區(qū)域5為主裂縫區(qū)域。在區(qū)域1，2，3內(nèi)考慮啟動(dòng)壓力梯度的影響，區(qū)域4，5考慮應(yīng)力敏感的影響。

物理模型基本假設(shè)為：①油藏的外邊界為封閉邊界。②水平井位于油藏中心處且以定產(chǎn)量生產(chǎn)。③油藏中流體由未改造區(qū)流向改造區(qū)，再由改造區(qū)流向主裂縫，最后流向水平井。④地層巖石和流體微可壓縮，流動(dòng)過程溫度不變，忽略重力、毛管壓力以及井筒阻力的影響。

圖1 多段壓裂水平井物理模型Fig.1 Physical model for multistage fractured horizontal well

圖2 主裂縫控制區(qū)域的四分之一區(qū)域流動(dòng)方向示意Fig.2 Schematic of flow directions in a quarter area controlled by main fractures

圖3 裂縫與基質(zhì)系統(tǒng)示意Fig.3 Schematic of fracture and matrix system

2 數(shù)學(xué)模型及求解

為方便推導(dǎo)與求解，定義無因次變量見表1。

表1 數(shù)學(xué)模型所包含的無因次變量Table1 Dimensionless variables contained in mathematical model

2.1 數(shù)學(xué)模型

2.1.1 區(qū)域1

考慮啟動(dòng)壓力梯度時(shí)區(qū)域1的滲流控制方程為：

結(jié)合邊界條件，對(duì)（1）式進(jìn)行無因次化得到區(qū)域1無因次數(shù)學(xué)模型為：

2.1.2 區(qū)域2

區(qū)域2與區(qū)域1同理可以得到考慮啟動(dòng)壓力梯度時(shí)區(qū)域2的無因次數(shù)學(xué)模型為：

2.1.3 區(qū)域3

由于區(qū)域2向區(qū)域3存在流體補(bǔ)充，可以將該流體補(bǔ)充項(xiàng)表示為：

從而推導(dǎo)得到區(qū)域3的滲流控制方程為：

結(jié)合邊界條件，對(duì)（5）式進(jìn)行無因次化得到區(qū)域3無因次數(shù)學(xué)模型為：

2.1.4 區(qū)域4

2.1.4.1 基質(zhì)系統(tǒng)

區(qū)域4基質(zhì)的滲流控制方程為：

結(jié)合邊界條件，對(duì)（7）式無因次化后得到區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)無因次數(shù)學(xué)模型為：

2.1.4.2 裂縫系統(tǒng)

區(qū)域4裂縫系統(tǒng)考慮到應(yīng)力敏感效應(yīng)，采用滲透率模量來表示裂縫滲透率為：

同時(shí)，考慮到區(qū)域1向區(qū)域3的流體補(bǔ)充項(xiàng)以及基質(zhì)與裂縫間的竄流項(xiàng)：

可以推導(dǎo)得到區(qū)域4裂縫系統(tǒng)的滲流控制方程為：

結(jié)合邊界條件，將（12）式無因次化后得到區(qū)域4裂縫系統(tǒng)無因次數(shù)學(xué)模型為：

2.1.5 區(qū)域5

和區(qū)域4裂縫系統(tǒng)相同，區(qū)域5同樣考慮到應(yīng)力敏感效應(yīng)，滲透率受到壓力影響，采用滲透率模量來表示主裂縫滲透率為：

考慮到區(qū)域4向區(qū)域5的流體補(bǔ)充項(xiàng)：

可以推導(dǎo)得到區(qū)域5的滲流控制方程為：

結(jié)合邊界條件，將（16）式進(jìn)行無因次化后可得到區(qū)域5無因次數(shù)學(xué)模型為：

2.2 數(shù)學(xué)模型求解

2.2.1 區(qū)域1

將區(qū)域1無因次數(shù)學(xué)模型進(jìn)行Laplace變化，得：

對(duì)（18）式偏微分方程進(jìn)行求解可得：

其中：

由于區(qū)域4的流動(dòng)與x方向無關(guān)，故（19）式又可寫為：

2.2.2 區(qū)域2

同理區(qū)域1求解方法，可以得到區(qū)域2的解為：

其中：

2.2.3 區(qū)域3

同理將區(qū)域3無因次數(shù)學(xué)模型進(jìn)行Laplace變化，可得：

由區(qū)域2壓力解可得：

其中：

將（27）式代入（26）式中得：

其中：

對(duì)（29）式進(jìn)行求解得區(qū)域3壓力解為：

其中：

2.2.4 區(qū)域4

2.2.4.1 基質(zhì)系統(tǒng)

將區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)無因次數(shù)學(xué)模型進(jìn)行La?place變化可得：

對(duì)（34）式求解可得：

其中：

2.2.4.2 裂縫系統(tǒng)

由于（13）式中無因次滲透率模量的存在，使得該數(shù)學(xué)模型具有很強(qiáng)的非線性，為了便于求解，此利用Pedrosa［17］變化以及攝動(dòng)變化式消除非線性，其計(jì)算式為：

由于γ4D為小量，所以零階攝動(dòng)解τ40可以看作是近似解且具有足夠的精度要求，故對(duì)區(qū)域4裂縫系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行Pedrosa變化以及攝動(dòng)變化，然后進(jìn)行Laplace變化得：

由區(qū)域1壓力解可得：

其中：

由區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)壓力解可得：

其中：

由區(qū)域3壓力解可得：

其中：

將（41）式、（43）式和（45）式代入（40）式中可得：

其中：

對(duì)（47）式進(jìn)行求解得到：

其中：

2.2.5 區(qū)域5

區(qū)域5主裂縫數(shù)學(xué)模型求解與區(qū)域4裂縫系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求解相同，利用Pedrosa變化以及攝動(dòng)變化消除非線性，然后進(jìn)行Laplace變化可得：

由區(qū)域4壓力解得：

其中：

將（53）式代入（52）式可得：

其中：

對(duì)（55）式進(jìn)行求解可得：

當(dāng)yD=0時(shí)，主裂縫壓力解即為Laplace空間下無因次井底壓力解為：

同時(shí)采用Duhamel原理引入無因次井筒儲(chǔ)集系數(shù)和表皮系數(shù)，得到考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮效應(yīng)的井底壓力解為：

對(duì)（59）式進(jìn)行Stehfest數(shù)值反演［18］，然后進(jìn)行攝動(dòng)反變化，便可得到真實(shí)空間下的井底壓力解為：

3 井底壓力曲線形態(tài)分析

依據(jù)前面推導(dǎo)出的真實(shí)空間下的無因次井底壓力解，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下繪制無因次井底壓力曲線和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線，據(jù)此來描述滲流過程。

3.1 流動(dòng)形態(tài)劃分

由雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下的無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線（圖4）可見，流動(dòng)形態(tài)可以劃分為6個(gè)階段：①早期井筒儲(chǔ)集效應(yīng)階段，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線重合且逐漸上升。②表皮效應(yīng)階段，井筒儲(chǔ)集效應(yīng)減弱，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線開始分離，且無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線達(dá)到一定值后開始下降，形成明顯的駝峰，而無因次井底壓力曲線則繼續(xù)上升。③壓裂改造區(qū)基質(zhì)與裂縫的非穩(wěn)態(tài)竄流階段，無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈現(xiàn)出一個(gè)“凹子”形狀，無因次井底壓力曲線繼續(xù)上升。④整個(gè)壓裂改造區(qū)的線性流階段，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線上升。⑤壓裂改造區(qū)和未改造區(qū)的線性流階段，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線繼續(xù)上升并且逐漸接近。⑥受邊界影響的流動(dòng)階段，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線最終再次重合，且繼續(xù)上升。

圖4 多段壓裂水平井井底壓力動(dòng)態(tài)曲線Fig.4 Dynamic curve of bottomhole pressure in multistage fractured horizontal well

3.2 模型驗(yàn)證與對(duì)比

松遼盆地致密油藏X區(qū)塊某井在實(shí)施多段壓裂增產(chǎn)措施一段時(shí)間后進(jìn)行了壓力恢復(fù)試井測試，現(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)為時(shí)間-壓力關(guān)系，進(jìn)行模型驗(yàn)證時(shí)，將實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行無因次化，然后繪制實(shí)測數(shù)據(jù)的雙對(duì)數(shù)壓力特征曲線，并與所建立的五線性流壓力特征曲線進(jìn)行對(duì)比。從圖5可以看到，早期井筒儲(chǔ)集效應(yīng)階段的數(shù)據(jù)點(diǎn)并未測出，但是中間區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)與五線性流壓力特征曲線擬合較好，呈現(xiàn)出較為明顯的2個(gè)線性流階段，且具有竄流的“凹子”特征，從而驗(yàn)證了所建模型的合理性。

圖5 模型驗(yàn)證與對(duì)比Fig.5 Model verification and comparison

從圖5也可以看到，與考慮擬穩(wěn)態(tài)竄流的試井曲線相對(duì)比，在前期和后期兩者曲線基本一致。而在竄流階段，非穩(wěn)態(tài)竄流無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線上的竄流“凹子”要比擬穩(wěn)態(tài)的淺且寬。其原因?yàn)樵谒〉挠?jì)算參數(shù)相同時(shí)，非穩(wěn)態(tài)竄流條件下基質(zhì)系統(tǒng)中的流體對(duì)系統(tǒng)壓力改變的響應(yīng)要比擬穩(wěn)態(tài)條件下更敏感［19］，因此不會(huì)像擬穩(wěn)態(tài)一樣出現(xiàn)很明顯的“凹子”段，且無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線上對(duì)于竄流階段的反映會(huì)更早。

3.3 參數(shù)敏感性分析

3.3.1 竄流系數(shù)

從圖6可以看出，隨著竄流系數(shù)的增加，無因次井底壓力曲線逐漸下移，無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線上非穩(wěn)態(tài)竄流的“凹子”相應(yīng)前移，竄流發(fā)生的時(shí)間變?cè)?。其原因?yàn)?，竄流系數(shù)越大，表明基質(zhì)系統(tǒng)滲透率與裂縫系統(tǒng)滲透率差別越小，基質(zhì)與裂縫之間的竄流在較小的壓差下就可以發(fā)生，裂縫中的壓力達(dá)到基質(zhì)向裂縫竄流的壓力條件所需時(shí)間較短，進(jìn)而“凹子”前移，竄流發(fā)生變?cè)纭?/p>

圖6 竄流系數(shù)對(duì)壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.6 Effect of crossflow coefficient on dynamic pressure curve

3.3.2 彈性儲(chǔ)容比

從圖7可以看出，隨著彈性儲(chǔ)容比的減小，無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線的非穩(wěn)態(tài)竄流“凹子”略變寬變深，并沒有擬穩(wěn)態(tài)竄流時(shí)變化那么明顯。其原因?yàn)?，彈性?chǔ)容比越小，裂縫儲(chǔ)集的流體越少，裂縫供液能力弱，開井生產(chǎn)短時(shí)間內(nèi)裂縫系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生較大壓降，而基質(zhì)系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的流體補(bǔ)充需要較長時(shí)間才可以使得裂縫系統(tǒng)壓力提升，從而使得“凹子”略變寬變深。

圖7 彈性儲(chǔ)容比對(duì)壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.7 Effect of elastic storativity ratio on dynamic pressure curve

3.3.3 主裂縫滲透率模量

從圖8可以看出，隨主裂縫無因次滲透率模量的增加，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線主要在邊界控制流階段發(fā)生變化，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線隨之上翹。其原因?yàn)?，在流?dòng)階段初期，整個(gè)生產(chǎn)過程中壓降相對(duì)較小，地層壓力變化較小，此時(shí)主裂縫滲透率受壓力的影響較小，應(yīng)力敏感性弱，但一段時(shí)間后，地層壓力變化較大，主裂縫滲透率應(yīng)力敏感性增強(qiáng)，且無因次滲透率模量越大，滲透率變化越大，滲流阻力越大，流體流動(dòng)所需的壓差越大，從而造成壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的上翹。

圖8 主裂縫滲透率模量對(duì)壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.8 Effect of permeability modulus of main fractures on dynamic pressure curve

3.3.4 未改造區(qū)域啟動(dòng)壓力梯度和滲透率

從圖9可以看出，未改造區(qū)域的無因次啟動(dòng)壓力梯度取值的增加造成無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線的上移。因無因次啟動(dòng)壓力梯度的增加，未改造區(qū)域物性變差，流體流動(dòng)阻力變大，壓力消耗越大，導(dǎo)致無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線下移。

圖9 未改造區(qū)域啟動(dòng)壓力梯度對(duì)壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.9 Effect of threshold pressure gradient in unstimulated area on pressure dynamic curve

未改造區(qū)域滲透率的增加則會(huì)造成無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線的下移，與無因次啟動(dòng)壓力梯度正好相反（圖10）。因滲透率的增加，未改造區(qū)域物性變好，滲流阻力減小，壓力消耗較小，導(dǎo)致無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線下移。

圖10 未改造區(qū)域滲透率對(duì)壓力動(dòng)態(tài)曲線的影響Fig.10 Effect of permeability of unstimulated area on dynamic pressure curve

4 結(jié)論

為了多段壓裂水平井開發(fā)提供理論依據(jù)，建立了考慮壓裂改造區(qū)非穩(wěn)態(tài)竄流的五線性流數(shù)學(xué)模型，通過Laplace變化、Pedrosa變化以及攝動(dòng)變化等一系列數(shù)學(xué)物理方法，求出解析解。依據(jù)流動(dòng)形態(tài)，將試井曲線分為6個(gè)階段：早期井筒儲(chǔ)集效應(yīng)階段、表皮效應(yīng)階段、壓裂改造區(qū)基質(zhì)與裂縫的非穩(wěn)態(tài)竄流階段、整個(gè)壓裂改造區(qū)的線性流階段、壓裂改造區(qū)和未改造區(qū)的線性流階段以及受邊界影響的流動(dòng)階段。

依據(jù)數(shù)學(xué)模型的敏感性參數(shù)分析認(rèn)為：竄流系數(shù)越大，非穩(wěn)態(tài)竄流出現(xiàn)得越早；彈性儲(chǔ)容比的減小，會(huì)造成無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線上的“凹子”變寬變深，但并不明顯；隨著主裂縫無因次滲透率模量的增大，邊界控制流階段的無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹；未改造區(qū)域的無因次啟動(dòng)壓力梯度的增加會(huì)造成未改造區(qū)域物性變差，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線會(huì)上移；相反，未改造區(qū)域滲透率的增加則會(huì)造成未改造區(qū)域物性變好，無因次井底壓力和無因次井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線會(huì)下移。

符號(hào)解釋

x，y——距離，m；wF——主裂縫寬度，m；x1——壓裂改造區(qū)半寬，m；x2——主裂縫半間距，m；y1——裂縫半長，m；y2——油藏半寬，m；Rm——基質(zhì)系統(tǒng)圓形球體的球向半徑，m；pjD——第j區(qū)無因次壓力；j——區(qū)域編號(hào)，其值為1—5；n——主裂縫數(shù)目；h——油藏厚度，m；Kref——參考滲透率，mD；Q——單條主裂縫產(chǎn)量，m3/d；μ——地層原油黏度，mPa·s；B——原油體積系數(shù)；p——壓力，MPa；i——初始值；xD，yD——無因次距離；Lref——參考長度，m；x1D——無因次壓裂改造區(qū)半寬；y1D——無因次裂縫半長；x2D——無因次主裂縫半間距；y2D——無因次油藏半寬；RmD——基質(zhì)系統(tǒng)圓形球體的無因次球向半徑；R1——基質(zhì)系統(tǒng)圓形球體顆粒半徑，m；wD——無因次主裂縫寬度；tD——無因次時(shí)間；ηref——參考導(dǎo)壓系數(shù)，μm2/（mPa·s·MPa-1）；t——時(shí)間，h；?ref——參考孔隙度；Ctref——參考綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；ηjD——第j區(qū)無因次導(dǎo)壓系數(shù)；ηj——第j區(qū)導(dǎo)壓系數(shù)，μm2/（mPa·s·MPa-1）；GjD——第j區(qū)無因次啟動(dòng)壓力梯度；Clj——第j區(qū)流體壓縮系數(shù)，MPa-1；Gj——第j區(qū)啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；γjD——第j區(qū)無因次滲透率模量；γj——第j區(qū)滲透率模量，MPa-1；λ——竄流系數(shù)；K4mi——區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)初始滲透率，mD；K4fi——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)初始滲透率，mD；ω——彈性儲(chǔ)容比；?4fi——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)初始孔隙度；Ct4f——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；?4mi——區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)初始孔隙度；Ct4m——區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；FCD——裂縫導(dǎo)流能力；K5i——區(qū)域5初始滲透率，mD；p1——區(qū)域1壓力，MPa；Cl1——區(qū)域1流體壓縮系數(shù)，MPa-1；G1——區(qū)域1啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；?1i——區(qū)域1初始孔隙度；Ct1——區(qū)域1綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；K1i——區(qū)域1初始滲透率，mD；p1D——區(qū)域1無因次壓力；G1D——區(qū)域1無因次啟動(dòng)壓力梯度；η1D——區(qū)域1無因次導(dǎo)壓系數(shù)；p4fD——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)無因次壓力；p2D——區(qū)域2無因次壓力；G2D——區(qū)域2無因次啟動(dòng)壓力梯度；η2D——區(qū)域2無因次導(dǎo)壓系數(shù)；p3D——區(qū)域3無因次壓力；q23——區(qū)域2向區(qū)域3的流體補(bǔ)充項(xiàng)；K2i——區(qū)域2的初始滲透率，mD；p2——區(qū)域2壓力，MPa；p3——區(qū)域3壓力，MPa；Cl3——區(qū)域3流體壓縮系數(shù)，MPa-1；G3——區(qū)域3啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；?3i——區(qū)域3初始孔隙度；Ct3——區(qū)域3綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；K3i——區(qū)域3初始滲透率，mD；G3D——區(qū)域3無因次啟動(dòng)壓力梯度；η3D——區(qū)域3無因次導(dǎo)壓系數(shù)；p4m——區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)壓力，MPa；p4mD——區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)無因次壓力；η4D——區(qū)域4無因次導(dǎo)壓系數(shù)；K4f——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)滲透率，mD；γ4——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)滲透率模量，MPa-1；pi——初始?jí)毫Γ琈Pa；p4f——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)壓力，MPa；q14——區(qū)域1向區(qū)域4的流體補(bǔ)充項(xiàng)；qm——區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)間的竄流項(xiàng)；K4mi——區(qū)域4基質(zhì)系統(tǒng)滲透率，mD；γ4D——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)無因次滲透率模量；K5——區(qū)域5滲透率，mD；γ5——區(qū)域5滲透率模量，MPa-1；p5——區(qū)域5壓力，MPa；q45——區(qū)域4向區(qū)域5的流體補(bǔ)充項(xiàng)；?5i——區(qū)域5初始孔隙度；Ct5——區(qū)域5綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；p5D——區(qū)域5無因次壓力；η5D——區(qū)域5無因次導(dǎo)壓系數(shù)；u——Laplace因子；γ4D——區(qū)域4裂縫系統(tǒng)無因次滲透率模量；A1，A2，B1，B2，C1，C2，D，E1，E2，β1，β2，β3，β4，βm，f3(u)，f4(u)，f5(u)——中間變量；τ40，τ50——攝動(dòng)變化后的區(qū)域4和區(qū)域5無因次壓力；pwD0——未考慮井筒儲(chǔ)集和表皮系數(shù)的無因次井底壓力；pwD——考慮井筒儲(chǔ)集和表皮系數(shù)的無因次井底壓力；S——表皮系數(shù)；CD——無因次井筒儲(chǔ)集系數(shù)。