馮秀芝

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中有多種多樣的數(shù)學(xué)思想，其中數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中最重要、最基本的思想方法之一。數(shù)形結(jié)合是連接“數(shù)”與“形”的“橋”，它是一種解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。以形助數(shù)、以數(shù)輔形、數(shù)形互譯，可以使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)易化。由形到數(shù)、由數(shù)到形、數(shù)形互助、相輔相成，有助于把握概念的本質(zhì)，有助于化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)，有助于理解數(shù)量關(guān)系，有助于探索數(shù)學(xué)規(guī)律。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)策略

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合思想是數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的思想?？梢?，數(shù)與形是不分家的。如果能將數(shù)形結(jié)合思想作為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，在教學(xué)中運(yùn)用恰當(dāng)，堅(jiān)持長(zhǎng)期滲透，那定能讓學(xué)生受益終身。

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的學(xué)科，而兒童是以直觀、形象思維為主的，兩者之間就形成了矛盾。恰好數(shù)形結(jié)合就能很好地緩解這一矛盾。在小學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合通常是指通過(guò)數(shù)形之間的互相轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系通過(guò)抽象，轉(zhuǎn)化為幾何圖形，借助直觀表象發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、數(shù)形結(jié)合，還原數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)的產(chǎn)生是源于對(duì)具體物體的計(jì)數(shù)。從數(shù)的概念的建立到數(shù)的運(yùn)算，處處蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合的思想。在學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)及其加、減、乘、除法的運(yùn)算時(shí)，教材都是借助直觀的幾何圖形來(lái)幫助學(xué)生理解抽象的概念。生動(dòng)形象的圖形使得抽象的知識(shí)變得趣味化、直觀化，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不再感到枯燥乏味，反而能夠使學(xué)生從中獲得有趣的情感體驗(yàn)，讓學(xué)生主動(dòng)去探索，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。（附教學(xué)片斷：二年級(jí)（上）：解決問(wèn)題）

師出示例7中的第一個(gè)問(wèn)題：

（1）有4排桌子，每排5張，一共有多少?gòu)垼?/p>

師：仔細(xì)讀題，說(shuō)說(shuō)你都知道了什么？

生1：有4排桌子，每排都有5張。

生2：一排有5張桌子，像這樣一共有4排。

師出示例7中的第二個(gè)問(wèn)題：

（2）有2排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少?gòu)垼?/p>

師：讀了第（2）題，你知道了什么？

生1：第一排有5張桌子，第二排有4張桌子，一共有多少?gòu)堊雷印?/p>

生2：有兩排，一排5張，一排4張。

師：比一比，這兩道題有什么相同的地方？

生1：都是求桌子一共有多少?gòu)垺?/p>

生2：都有4張桌子和5張桌子。

師：那解決這兩個(gè)問(wèn)題該怎樣列式呢？

學(xué)生自主嘗試列式后匯報(bào)：（1）5×4=20（張） （2）5+4=9（張）

師：為什么這樣列式？跟大家分享一下你的想法。

生：第一題說(shuō)每排5張，有4排，就是把4個(gè)5都加起來(lái)，可以用乘法5×4=20;第二題是一排5張，另一排4張，一共就只有9張了，所以是5+4=9。

師：你們聽懂了嗎？誰(shuí)還能像他這樣來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

生反復(fù)表達(dá)。（至此，用文字表述，有些學(xué)生想得清楚，表達(dá)得也完整;有些學(xué)生知道，但是說(shuō)不清楚;還有些學(xué)生不太明白，更不會(huì)表達(dá)。）

師：我們有些小朋友好像還不太明白，誰(shuí)能幫幫他們。誰(shuí)有好辦法，讓他們一下子就明白了？

生1：讓他排一下桌子就知道了。

生2：太麻煩了，擺一下小方塊就好了。

生3：也可以在紙上畫畫看。

師：畫畫這辦法不錯(cuò)，簡(jiǎn)單易操作，我們可以用簡(jiǎn)單的圖形表示桌子，動(dòng)筆畫一下吧。

幾分鐘后展示學(xué)生作品。

至此，每個(gè)上來(lái)展示的學(xué)生都能比較完整地表述自己是怎么畫的，為什么可以這樣列式計(jì)算。原來(lái)茫然的學(xué)生默默點(diǎn)頭表示明白了，也能說(shuō)出自己對(duì)題目的理解，以及為什么要這樣列式計(jì)算。

在這個(gè)案例中，學(xué)生的難點(diǎn)在于如何提煉題目給出的數(shù)學(xué)信息，以及為什么4個(gè)5或5個(gè)4要用乘法計(jì)算，4和5的和要用加法計(jì)算。學(xué)生通過(guò)從數(shù)到形，提煉有用的數(shù)學(xué)信息，理清題意，再?gòu)男械綌?shù)，驗(yàn)證猜想，提煉概括出思想和方法。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，還原了問(wèn)題的本質(zhì)。

二、數(shù)形互助，化難為易

數(shù)形結(jié)合這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是把題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形，再根據(jù)對(duì)圖形的觀察、分析，逐步轉(zhuǎn)化成算式，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

例1：一桶果汁，第一次倒出■千克，第二次倒出■千克，兩次正好倒出這桶果汁的■，這桶果汁共有多少千克？

在解決這一問(wèn)題時(shí)，全班一半以上的學(xué)生都錯(cuò)了。分析原因有二：一是學(xué)生不太理解分?jǐn)?shù)表示數(shù)量，二是題意梳理不清，學(xué)生找不到相對(duì)應(yīng)的數(shù)量和分率。

圖1是一位同學(xué)的作業(yè)，筆者請(qǐng)這位學(xué)生上臺(tái)交流了自己的理解和想法后，其他學(xué)生豁然開朗。有的還小聲說(shuō)：“早知道，我也畫一下線段圖嘞?！庇喺臅r(shí)候要求在旁邊都畫了線段圖，這樣一來(lái)，學(xué)生就能找到一一對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系了。把抽象的文字轉(zhuǎn)化成直觀的圖像，更易于學(xué)生理解題目，便于分析其中的數(shù)量關(guān)系。有時(shí)候借助形來(lái)解釋，會(huì)有事半功倍的效果。

例2：小林、小強(qiáng)、小芳、小兵和小剛5人進(jìn)行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經(jīng)下了4盤，小強(qiáng)下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請(qǐng)問(wèn)：小剛一共下了幾盤？分別和誰(shuí)下的？

這個(gè)問(wèn)題光看文字是很難分析出來(lái)的，因此教材也通過(guò)圖片（如圖2）的形式呈現(xiàn)出來(lái)，旨在提醒學(xué)生可以畫圖連線，講究策略方法，使得題意更加清楚、明確，從而高效地解決問(wèn)題。

例3：計(jì)算■+■+■+■+■+■

一看到這個(gè)算式，學(xué)生的第一反應(yīng)就是先通分再計(jì)算。在通分的過(guò)程中有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)的規(guī)律，但是難以總結(jié)出來(lái)。通過(guò)畫圖，就能明確地表達(dá)意思了。

借助圖3學(xué)生一眼就能看出■+■+■+■+■+■=1-■=■。通過(guò)這樣的直觀分析，便于學(xué)生總結(jié)方法。從直觀到抽象需要一個(gè)臺(tái)階，一個(gè)過(guò)程。

在教學(xué)實(shí)踐中，這樣數(shù)形結(jié)合化難為易的例子不勝枚舉。然而，需要強(qiáng)調(diào)的是在利用數(shù)形結(jié)合解決難題的過(guò)程中需注意：作圖要準(zhǔn)確無(wú)誤，避免潦草作圖而導(dǎo)致解題偏差;注意轉(zhuǎn)化的過(guò)程要一一對(duì)應(yīng)，即必須是等量的;注意觀察、思考合理性，不能任意增減已知條件等?？傊陀^地反映問(wèn)題本身。

三、數(shù)形互譯，發(fā)展思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程不僅僅是接受知識(shí)、積累知識(shí)的過(guò)程，還是一個(gè)探索知識(shí)、創(chuàng)造知識(shí)的過(guò)程。數(shù)形結(jié)合的思維方法是兒童構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)建模型來(lái)直觀描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣不僅可以發(fā)展學(xué)生的形象思維能力，還能通過(guò)數(shù)形結(jié)合達(dá)到鍛煉思維，激發(fā)創(chuàng)造性的效果。

例4：用一個(gè)杯子向一個(gè)空瓶里倒水。如果倒進(jìn)3杯水，連瓶共重440克。如果倒進(jìn)5杯水，連瓶共重600克。想一想：一杯水和一個(gè)空瓶各重多少？

該題最早出現(xiàn)是在三年級(jí)，面對(duì)該問(wèn)題，多數(shù)學(xué)生表示無(wú)從下手。他們來(lái)來(lái)回回讀了兩三遍題目，始終不知道找出其中的差量。圖4就能看出差量了。

用大長(zhǎng)方形表示空瓶子，用小長(zhǎng)方形表示倒進(jìn)了幾杯水，左右一對(duì)比，相差了兩杯水，相差了160g。學(xué)生可以借助數(shù)形結(jié)合將文字信息與實(shí)際問(wèn)題整合，把數(shù)用形表示出來(lái)，由形抽象出數(shù)和數(shù)量關(guān)系。既培養(yǎng)了學(xué)生的能力，又促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

總之，抽象的思維要有形象思維的支持，“數(shù)”的思考、“形”的創(chuàng)設(shè)要有機(jī)聯(lián)系起來(lái)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能給學(xué)生提供豐富的形象素材，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律，對(duì)其進(jìn)行概括、抽象、提煉、再創(chuàng)造。使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再枯燥、乏味。由形到數(shù)、由數(shù)到形、數(shù)形互助、相輔相成，有助于把握概念的本質(zhì)，有助于化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)，有助于理解數(shù)量關(guān)系，有助于探索數(shù)學(xué)規(guī)律。要不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在數(shù)與形的世界里盡情暢玩，不斷提高數(shù)學(xué)能力。