位永輝，王石語，過 振，蔡德芳，李兵斌，吳夢瑤

(西安電子科技大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，陜西 西安710071)

引言

激光設(shè)備在軍事裝備中的應(yīng)用呈現(xiàn)迅猛發(fā)展的趨勢，已經(jīng)應(yīng)用到的武器裝備包括：激光測距儀、激光目標(biāo)指示器、激光制導(dǎo)導(dǎo)彈、激光制導(dǎo)炸彈等。隨著激光技術(shù)的發(fā)展，特別是在武器系統(tǒng)中，激光器向大能量方向的發(fā)展將會帶來革命性的變化。但是，考慮軍事應(yīng)用的背景，在發(fā)展大功率或大能量激光器的同時，必須確保激光器具有高的能量轉(zhuǎn)換效率和好的光束質(zhì)量，這是發(fā)展高效能軍用固體激光器的技術(shù)瓶頸。

為獲得高功率激光輸出，需要增加泵浦功率。但是，非均勻的泵浦在提供增益的同時，由于熱損耗和模式畸變損耗，會引起激光效能虧損，這一效應(yīng)在高功率泵浦固體激光器中尤為突出。本文建立理論模型，研究高功率的非均勻泵浦光作用下，由熱效應(yīng)和增益引起的模式的效能虧損，為高功率泵浦固體激光器的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 非均勻泵浦下熱效應(yīng)引起的效能虧損

1.1 計(jì)算模型的建立

激光二極管泵浦固體激光器中，激光晶體的熱穩(wěn)態(tài)泊松方程為

(1)

式中：T(x,y,z)為晶體內(nèi)的溫度；Q(x,y,z)為熱源功率函數(shù)；k為激光晶體的熱傳導(dǎo)系數(shù)。泵浦光為四階的歸一化光強(qiáng)分布，即：

(2)

I(x,y,z)=I0exp(-2r4/ω4)exp(-αz)

(3)

式中α為晶體材料的吸收系數(shù)。晶體內(nèi)的熱源Q(x,y,z)由晶體對泵浦光吸收而產(chǎn)生，因此，可得到熱源函數(shù)表達(dá)式：

(4)

式中：η為熱轉(zhuǎn)換系數(shù)；pin為泵浦光功率；wp為泵浦光半徑；I(x,y,z)為晶體內(nèi)(x,y,z)點(diǎn)處的泵浦光強(qiáng)度。晶體內(nèi)溫度的不均勻分布引起晶體內(nèi)折射率的改變，晶體內(nèi)(x,y,z)點(diǎn)處的折射率為

(5)

(6)

故光程差引起振蕩光的相位差為

(7)

求得相位差之后可求出熱效應(yīng)的相位調(diào)制因子，由相位調(diào)制因子可進(jìn)一步求解振蕩光的熱致?lián)p耗，即：

ψ(x,y)=exp(-iΔφ(x,y))

(8)

1.2 數(shù)值計(jì)算與分析

1.2.1 晶體內(nèi)溫度場分布

使用四階平頂高斯光進(jìn)行端面泵浦時，泵浦光的光場分布函數(shù)為

E(r)=E0exp(-r4/w4)

(9)

熱源函數(shù)的表達(dá)式為

(10)

使用的激光晶體參數(shù)為直徑3 mm，長10 mm的圓柱形Nd:YAG晶體，晶體的吸收系數(shù)為0.73 mm-1，摻雜濃度為1%。泵浦光功率為30 W，泵浦光半徑為0.5 mm時晶體端面的溫差分布如圖1所示。

圖1 晶體內(nèi)溫差分布

由圖1可以看出，Nd:YAG晶體為各向同性的晶體介質(zhì)，端面泵浦情況下，其截面處的溫度分布為圓對稱分布，具有高斯分布形式，從中心向邊緣逐漸減小。晶體中心溫度比邊緣溫度要高得多，并且沿徑向迅速減小，即晶體內(nèi)各個截面內(nèi)存在很大的溫度梯度。

晶體端面處的溫度差的最大值高達(dá)66.1℃，而z=5 mm截面處溫度差最大值僅為0.83℃。由此可見，激光晶體具有熱吸收作用，隨著泵浦光束沿z軸的傳播，晶體內(nèi)溫度差隨著晶體的吸收作用迅速減小，且沿z方向截面上的溫度場分布越來越均勻。

泵浦光半徑為0.5 mm時，不同泵浦光功率下晶體端面溫差沿徑向的分布曲線如圖2所示。

圖2 不同泵浦光功率下的溫度差沿徑向分布曲線

由圖2可知，當(dāng)泵浦光功率增加時，熱效應(yīng)會繼續(xù)加強(qiáng)，晶體內(nèi)的溫度不斷升高，泵浦功率為30 W時，晶體端面最高溫度達(dá)到66.1℃；當(dāng)泵浦光功率為70 W時，晶體端面最高溫度達(dá)到154.2℃。若晶體不能及時冷卻，很容易導(dǎo)致晶體形變損壞，并且影響激光器輸出光束的質(zhì)量。

不同泵浦光半徑下晶體端面溫差沿徑向的分布曲線如圖3所示。由圖3可知，隨著泵浦光半徑的增大，晶體中心的溫度降低，沿徑向的溫差分布趨勢越來越平緩。

圖3 不同泵浦光半徑下溫度差沿徑向分布曲線

1.2.2 熱效應(yīng)引起的光程差與相位差的分布

熱效應(yīng)引起的的光程差分布與相位差分布規(guī)律同溫度場分布基本相同，如圖4和圖5所示。從圖5可以看出，高斯光在晶體中心處的相位差最大，附加相移隨著徑向坐標(biāo)的增大而逐漸減小，越接近晶體邊緣，附加相移慢慢趨近于零。

圖4 總光程差分布圖

圖5 相位差分布圖

隨著泵浦光功率和泵浦光半徑的改變，相位差分布的變化趨勢和溫度場的變化趨勢相同，如圖6所示。從圖6可以看出，隨著泵浦光功率的增大，熱效應(yīng)引起的相位差迅速增大，相位差沿徑向的分布曲線越來越陡；隨著泵浦光半徑的增大，相位差沿徑向的分布曲線慢慢趨于平緩。因此，泵浦光功率和泵浦光半徑嚴(yán)重地影響著晶體內(nèi)相位差的分布。

圖6 相位差沿徑向分布曲線

1.3 熱效應(yīng)引起的激光模式損耗

由于熱效應(yīng)的影響，振蕩光會受到相位差的調(diào)制，進(jìn)而改變諧振腔內(nèi)振蕩模式的組分。通常，振蕩光可以表示為諧振腔內(nèi)幾種基本模式的線性疊加，為簡化計(jì)算，假設(shè)初始時諧振腔內(nèi)只存在低階模TEM00、TEM01和TEM02其中的一種模式，振蕩光通過晶體后這3種低階模光場視為有效輸出，其余部分視為能量損耗。下面分別研究TEM00、TEM01和TEM02模轉(zhuǎn)換到其他模的比例系數(shù)。這里假設(shè)振蕩光為基模高斯光，建立熱效應(yīng)對激光模式轉(zhuǎn)換的計(jì)算模型。

當(dāng)端面未泵浦時，晶體內(nèi)折射率分布均勻，基模高斯光在晶體內(nèi)傳輸時，晶體的各個截面被認(rèn)為是等相位面。初始光場分布函數(shù)為

φ00(x,y)=C00e-r2/w2

(11)

當(dāng)理想高斯光泵浦晶體端面時，晶體對泵浦光的吸收作用導(dǎo)致晶體內(nèi)溫度分布不均勻，進(jìn)而導(dǎo)致晶體內(nèi)各個截面上的溫度分布也不均勻，會對振蕩光產(chǎn)生相位調(diào)制。對調(diào)制之后的光場分布函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，得到光場分布函數(shù)為

(12)

(13)

(14)

(15)

給定泵浦光功率為100 W，平凹腔的諧振腔腔長為0.1 m，輸出鏡曲率半徑為0.8 m，泵浦光半徑分別為0.6 mm，0.7 mm，0.8 mm時，計(jì)算熱效應(yīng)引起的3個模式的損耗分別如圖7所示。

圖7 不同泵浦光半徑下各階模損耗隨泵浦光功率的變化曲線

由圖7可以看出，當(dāng)泵浦光半徑保持不變時，3個模式的損耗隨著泵浦光功率的增大而增大；當(dāng)泵浦光功率不變時，3個模式的損耗隨著泵浦光半徑的增加而減小。當(dāng)泵浦光功率和泵浦光半徑相同時，TEM02模的損耗最大，其次是TEM01，TEM00最小。功率較小時，TEM02模的損耗增加的最快，其次是TEM01模，TEM00模的損耗增加的最慢。功率較大時，3個模式損耗增加的趨勢漸漸趨于平緩。

2 激光增益引起的效能虧損

2.1 計(jì)算模型的建立

四能級系統(tǒng)的Nd:YAG激光器中，激光器的速率方程為

(16)

(17)

式中：n(x,y,z,t)為上能級粒子數(shù)密度；p(x,y,z)為泵浦速率密度；τf為上能級熒光壽命；c為真空光速；σ為受激輻射截面；S0(x,y,z,t)為震蕩光子數(shù)密度；ng為增益介質(zhì)的折射率；δ0為基膜腔內(nèi)往返ELGD率；N0(t)為腔內(nèi)振蕩光子總數(shù)；l為諧振腔長度；積分區(qū)域?yàn)檎麄€增益介質(zhì)。

2.1.2 增益分布函數(shù)

文中泵浦光為四階平頂高斯光，泵浦光入射到晶體內(nèi)，激光晶體吸收泵浦光能量，從而引起晶體內(nèi)上能級粒子數(shù)反轉(zhuǎn)。由于晶體介質(zhì)對泵浦光的吸收作用，泵浦光經(jīng)過晶體介質(zhì)時光強(qiáng)逐漸減弱，晶體內(nèi)各個截面上的吸收光強(qiáng)各不相同，因此各個截面上的上能級粒子數(shù)分布不均勻。泵浦激光晶體端面上的歸一化泵浦光光強(qiáng)分布為

(18)

(19)

式中：pin為泵浦光功率；wp為泵浦光半徑；α為晶體的吸收系數(shù)，ηheat為熱轉(zhuǎn)換系數(shù)；ηheat=1-λp/λs；λp為泵浦光波長，808 nm；λs為振蕩光波長，1 064 nm。

轉(zhuǎn)速下，渦輪盤盤心處溫度為760 ℃，葉片溫度為790 ℃～810 ℃。離心載荷以轉(zhuǎn)速的形式施加到模型上，為100%設(shè)計(jì)點(diǎn)轉(zhuǎn)速，約束中心端面的軸向位移和周向位移。

當(dāng)泵浦晶體端面時，介質(zhì)內(nèi)的粒子吸收泵浦光能量后，從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)上，形成粒子數(shù)反轉(zhuǎn)。隨著泵浦的持續(xù)，上能級粒子數(shù)不斷增多，但由于上能級粒子數(shù)有一定的壽命，超過壽命的粒子又會回到基態(tài)，最后上能級粒子數(shù)會達(dá)到最大值并且保持動態(tài)平衡。當(dāng)泵浦時間足夠長時,可得到晶體內(nèi)部上能級粒子數(shù)密度為

(20)

式中τ為上能級粒子的熒光壽命。對于脈沖激光器，其上能級粒子數(shù)密度為

(21)

式中T為脈沖周期。設(shè)脈沖激光器的重復(fù)頻率為10 000 HZ，T為1/10 000 HZ=100 μs。在受激輻射躍遷中，上能級粒子數(shù)的變化量會轉(zhuǎn)化為光子數(shù)的增加量，用φ(x,y)表示(x,y)處的光子數(shù)面密度，則有：

dφ(x,y)=σφ(x,y)dN(x,y)

(22)

φ(x,y)=φ0(x,y)eσN(x,y)

(23)

增益系數(shù)的表達(dá)式為

(24)

由于晶體縱向長度上各個截面上晶體吸收的能量不同，上能級粒子數(shù)分布有所差異，因此，各個截面上的增益分布也各不相同。對n(x,y,z,t)在z方向上積分可以求得介質(zhì)晶體內(nèi)振蕩光的總增益分布為

(25)

2.1.3 激光增益引起的效能虧損

泵浦光泵浦至晶體端面，晶體內(nèi)上能級粒子數(shù)不斷積累，最后到達(dá)最大值不變。腔內(nèi)振蕩光經(jīng)過增益介質(zhì)到達(dá)輸出鏡上，將此時的振蕩光投影到輸出鏡上的3個正交歸一化的TEM00、TEM01和TEM02模光場上，未投影到這3個光場的部分視為增益引起的效能虧損,簡稱ELGD(efficiency loss caused by gain distribution)。

假設(shè)諧振腔內(nèi)只存在基模振蕩光，歸一化的基模振蕩光光場分布為

(26)

(27)

振蕩光向腔鏡面在3個正交模式TEM00、TEM01和TEM02上的投影系數(shù)分別為

(28)

(29)

(30)

故增益引起的效能虧損(以下簡稱ELGD)為

(31)

用同樣的方法，可以求出TEM01、TEM02的ELGD。

2.2 數(shù)值計(jì)算與分析

2.2.1 晶體內(nèi)上能級粒子數(shù)分布及增益分布

假設(shè)泵浦光為四階平頂高斯光，輸出鏡曲率半徑為0.5 m，腔長為0.05 m。給定泵浦光功率為50 W，泵浦光半徑為0.5 mm時用MATLAB模擬得到晶體內(nèi)上能級粒子數(shù)分布和增益分布如圖9和圖10所示。

由圖9和圖10可以看出，上能級粒子數(shù)分布與增益分布具有大致相同的分布規(guī)律，與平頂高斯光強(qiáng)的分布相同。上能級粒子數(shù)分布及增益分布與泵浦光的分布有十分密切的聯(lián)系。晶體中心區(qū)域增益最大，越靠近邊緣，上能級粒子數(shù)和增益分布越少。

泵浦光半徑為0.5 mm時，泵浦光功率分別為60 W、80 W、100 W時增益分布沿徑向分布曲線如圖11所示。泵浦光功率為100 W，泵浦光半徑分別為0.6 mm、0.7 mm、0.8 mm時增益分布沿徑向的分布曲線如圖12所示。

圖9 上能級粒子數(shù)分布(P=50 W)

圖10 增益分布(P=50 W)

圖11 不同泵浦光功率下增益沿晶體徑向分布曲線(wp=0.5 mm)

圖12 不同泵浦光半徑下增益沿晶體徑向分布曲線(P=100 W)

由圖11可以看出，隨著泵浦光功率的增加，增益沿徑向的分布曲線越來越尖銳，介質(zhì)晶體內(nèi)的增益迅速增大。由圖12可知，增益的分布隨著泵浦光半徑的增加而減小，曲線越來越平緩。

2.2.2 連續(xù)光泵浦晶體端面時各階振蕩光經(jīng)過介質(zhì)增益后ELGD的變化規(guī)律

前面研究了振蕩光增益的分布特性，下面研究連續(xù)光經(jīng)過增益后各階振蕩光在諧振腔內(nèi)ELGD的變化與泵浦光功率和泵浦光半徑的關(guān)系。

1) 泵浦光功率和泵浦光半徑

給定諧振腔腔長為0.05 m，輸出鏡的曲率半徑為1 m，泵浦光半徑分別為0.6 mm，0.7 mm，0.8 mm時，TEM00、TEM01和TEM02模振蕩光經(jīng)過增益后的ELGD的變化如圖13所示。

由圖13可以看出，泵浦光功率和泵浦光半徑相同時，TEM00模的ELGD遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于TEM01、TEM02，TEM02的ELGD最大。當(dāng)泵浦光半徑不變時，TEM00、TEM01和TEM02的ELGD都隨著泵浦光功率的增加而增加；當(dāng)泵浦光功率不變時，3個模式的ELGD都隨著泵浦光半徑的增加而減小。當(dāng)泵浦光半徑不變，泵浦光功率較小時，TEM02的ELGD增加的速度最快；當(dāng)泵浦光功率不變時，隨著泵浦光半徑的增加，TEM02的ELGD減小的速度最慢。

圖13 不同泵浦光半徑下,各階模ELGD隨泵浦光功率的變化曲線

2.2.3 脈沖光泵浦晶體端面時各階振蕩光經(jīng)過介質(zhì)增益后ELGD的變化規(guī)律

下面分析脈沖光經(jīng)過介質(zhì)增益后各階振蕩光在諧振腔內(nèi)ELGD的變化與泵浦光功率和泵浦光半徑的關(guān)系。

給定諧振腔腔長為0.05 m，輸出鏡的曲率半徑為1 m，泵浦光半徑分別為0.6 mm，0.7 mm，0.8 mm時，TEM00、TEM01和TEM02模振蕩光經(jīng)過增益后，由增益引起的效能虧損(ELGD)隨腔長的變化如圖14所示。

圖14 不同泵浦光半徑下各階模ELGD隨泵浦光功率的變化曲線

由圖14可以看出，脈沖光泵浦晶體端面時，3個模式的ELGD隨泵浦光功率和泵浦光半徑的變化規(guī)律與連續(xù)光泵浦晶體端面時的規(guī)律基本相同。泵浦光功率和泵浦光半徑相同的情況下，TEM00的ELGD遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于TEM01和TEM02，TEM02的ELGD最大。泵浦光半徑不變時，TEM00、TEM01和TEM023個模式的ELGD都隨著泵浦光功率的增大而增大；泵浦光功率一定時，泵浦光半徑越大，3個模式的ELGD越小。同時還可以看出，小功率泵浦時，TEM02的ELGD增加的速度最快，TEM00最慢，功率較大時，TEM02的ELGD增長的速度越來越趨于平緩。

對比連續(xù)光泵浦時ELGD與泵浦光功率和泵浦光半徑的關(guān)系可以看出，相同條件下，脈沖光泵浦晶體端面時3個模式的ELGD比連續(xù)光泵浦時的ELGD要小得多。因此，使用脈沖激光器能夠獲得更好的輸出光束質(zhì)量。

4 結(jié)論

考慮在熱透鏡影響下，分析增益引起的激光模式的ELGD與泵浦光功率和泵浦光半徑的關(guān)系，當(dāng)泵浦光半徑不變時，3個模式的ELGD隨著泵浦光功率的增加而增大；當(dāng)泵浦光功率不變時，3個模式的ELGD隨著泵浦光半徑的增加而減小。對比連續(xù)光泵浦和脈沖光泵浦的情況可以看出，脈沖光泵浦晶體端面時ELGD較小，可以獲得較好的輸出光束質(zhì)量。