黎陽

[摘 要]圓是小學階段重要的平面曲線圖形，蘇教版和人教版教科書關于圓的內容的編排，都突出了數(shù)學與生活的聯(lián)系性、滲透轉化、極限等基本數(shù)學思想、注重動手操作學習方式的引導以及展現(xiàn)顯性的數(shù)學文化等，但在畫圓方法的多樣性呈現(xiàn)、圓的面積公式推導方法、與正方形等圖形的組合研究程度、周長和面積計算結果的呈現(xiàn)形式以及規(guī)律性內容探索的深度等方面不盡相同。

[關鍵詞]蘇教版;人教版;教科書;圓;比較

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）26-0003-03

圓是小學生認識的第一個也是唯一一個平面曲線圖形，圓是平面圖形的重要組成部分，與平面直線圖形有著非常緊密的聯(lián)系?！皥A”這一部分內容是學生學習圓柱、圓錐的重要基礎，也是很多教師執(zhí)教公開課時喜歡選擇的內容之一，因此，研究圓的相關內容有著非常重要的意義。

一、蘇教版和人教版教科書中圓的相關內容的編排情況

蘇教版和人教版教科書中關于圓的相關內容都是安排在第二學段，具體內容編排如下：

二、蘇教版和人教版教科書中圓的相關內容編排的共同特點

1.突出數(shù)學與生活的聯(lián)系性

數(shù)學課程標準強調內容的選擇要貼近學生的生活實際，在總目標中也明確提出通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生要能體會數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，能夠運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題。

對于“圓的認識”，兩個版本教科書都是從現(xiàn)實生活中包含有圓的物體引入，讓學生感受到圓在生活中的廣泛存在性。如蘇教版教科書從圓形鐘面、自行車圈、橙子的橫截面，以及奧運五環(huán)等物體或圖形中引入圓，喚起學生對圓的認知;人教版教科書從水滴激起的漣漪、摩天輪、天壇和地壇這幾種具有代表性的自然現(xiàn)象、游樂項目和著名建筑中引出圓，讓學生感受到在生活中到處可以看到圓。

對于“圓的周長”，蘇教版教科書分別安排了已知兒童游戲的鐵環(huán)、樹干的周長，求半徑、直徑的問題，以及知道圓形花圃的直徑求周長的實際問題;人教版教科書也充分聯(lián)系生活實際讓學生去解決實際問題，比如待學生推導總結出圓的周長計算公式后，讓他們解決和自行車相關的實際問題：給出自行車的半徑，求出自行車輪子轉1圈，大約可以走多遠，以及學校離家1 km，騎車從家到學校自行車輪子大約轉幾圈，而后在練習中讓學生求出古代建筑中的大紅圓柱的直徑，圍一個圓形牛欄需要多少鐵絲，以及一只掛鐘的分針尖端所走過的路程，等等實際問題，讓學生感受到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。

對于“圓的面積”，蘇教版教科書編排了求圓形草墊與樹干的橫截面、光盤的面積等實際問題;人教版教科書分別安排了求圓形草坪、光盤、環(huán)島（占地）的面積等。兩個版本教科書都有意讓學生體會圓的面積在生活中的廣泛應用。

2.滲透轉化、極限等基本數(shù)學思想

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程目標的總目標中明確指出：學生通過義務教育的數(shù)學學習，能夠獲得必需的數(shù)學基本思想。

（1）滲透轉化的數(shù)學思想

轉化是一種基本的數(shù)學思想，是指運用已有的知識經驗，把復雜問題轉化為簡單問題，或者把未知問題轉化為已知問題的一種思想，這種思想對于學生學習數(shù)學、解決數(shù)學問題有著非常重要的作用。例如，在圓的面積計算公式推導過程中，兩個版本教科書都是呈現(xiàn)把圓等分為若干扇形后剪開，用這些近似于等腰三角形的扇形小紙片拼成一個近似的平行四邊形，并且指出“分的份數(shù)越多，每一份就會越小，拼成的圖形就會越近似于一個長方形”，再找出近似長方形的長、寬與圓的半徑之間的關系，進而推導出圓的面積計算公式。這種轉化的數(shù)學思想，有兩個方面的指向，一是指向于圖形形狀的轉化，把平面曲面圖形轉化為平面直線圖形，溝通平面曲線圖形與平面直線圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學生的空間觀念;二是運用之前的多邊形面積計算公式的推導方法，把舊有的經驗進行遷移運用，提高學生應用知識的能力。

（2）滲透極限的數(shù)學思想

極限思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。平面曲線圖形與平面直線圖形在本質上是有區(qū)別的，但是運用極限思想，可以把有本質區(qū)別的兩種圖形進行轉化，同時可以把精確和近似這一對立統(tǒng)一關系的兩個結果進行相應的轉化。在圓的面積公式推導過程中，把圓等分且隨著等分的份數(shù)越多，每一小份就越近似于等腰三角形，用這樣的若干個近似等腰三角形拼成的圖形就越接近長方形，這樣，兩個版本教科書都在把曲線圖形轉化成平面直線圖形的過程中滲透了極限思想。同時，兩個版本教科書中都有關于我國魏晉時期數(shù)學家劉徽采用的“割圓術”這一數(shù)學史料的介紹，而劉徽的“割圓術”就是從圓的內接多邊形算起，逐漸把邊數(shù)加倍，隨著邊數(shù)的逐漸增加，無限次后，多邊形就 “變成”了圓，這就是極限思想。

3.注重學生動手操作學習方式的引導

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出，動手操作是學生有效的學習方式之一，“圖形與幾何”內容的學習更加需要動手操作。兩個版本教科書在畫圓、圓的周長與面積等內容上都凸顯了動手操作的學習方式。

（1）通過動手操作認識、理解圓的相關概念。圓的各部分名稱有圓心、半徑、直徑，兩個版本教科書都編排了讓學生先在紙上畫圓，再把圓剪下來，而后通過折一折、畫一畫的動手操作實踐活動，認識、理解圓的半徑、直徑和圓心的概念，理解同一圓內半徑和直徑之間的長度關系。在動手折的過程中理解圓是軸對稱圖形，且對稱軸就是折痕，也就是直徑所在的直線。在練習設置方面，兩個版本教科書都編排了讓學生用直尺測量沒有圓心的圓的周長，這種實際測量技能在生活中有著實際的應用，這是學生永遠不會忘記的操作技能。

（2）通過動手操作尋找周長和直徑的倍比關系。數(shù)學教學注重學生的數(shù)學思考能力的培養(yǎng)，在平面直線圖形的周長的學習中，學生很容易理解多邊形的周長與多邊形的邊之間的關系，而圓的周長也與它的各部分要素有關系。兩個版本教科書通過問題引導學生猜想圓的周長和直徑之間有規(guī)律，而后分別呈現(xiàn)應用繩測法、滾動測法等測量圓的周長的動手操作活動，之后再帶領學生跳出這個思維框框，繼而發(fā)現(xiàn)圓的周長和直徑之間的穩(wěn)固關系。

（3）通過動手操作積累等積變形的經驗。兩個版本教科書都編排了讓學生把一張圓形紙片若干等分后拼成一個近似長方形的內容，蘇教版教科書為了進一步讓學生好操作、真操作，在附頁117頁專門給學生提供了可操作的等分好的學具——圓形紙片，便于學生剪下來動手操作。兩個版本教科書引導學生在動手操作的過程中推導出圓的面積計算公式，其實，更為重要的是為學生積累等積變形的操作經驗，為學生后續(xù)學習圓柱的體積計算公式的推導積累活動經驗。這種經驗的獲得是非常寶貴的，學生可能會忘記圓的面積是怎么計算的，但是不會忘記圓的面積公式的推導過程，這就是學生離開學校后還能留下來的東西。

4.展現(xiàn)顯性的數(shù)學文化

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在教材編寫建議中明確指出：數(shù)學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹數(shù)學知識的背景，包括數(shù)學在自然與社會中的應用以及數(shù)學發(fā)展史，幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，使學生能夠感受數(shù)學家治學的嚴謹，欣賞數(shù)學的美。兩個版本教科書在圓的相關內容中編排了顯性的數(shù)學文化的材料，供學生閱讀、學習和品鑒。蘇教版教科書在圓的內容中共編排了兩個“你知道嗎”，分別介紹生活中的圓和圓周率的研究歷史，讓學生了解自然現(xiàn)象、人類的勞動成果和運動現(xiàn)象中存在的圓，深刻體會圓與生活的緊密聯(lián)系，同時感受到數(shù)學家孜孜不倦的研究精神，激發(fā)對數(shù)學的熱愛和研究的熱情。人教版教科書編排了三個“你知道嗎”，分別介紹了《周髀算經》和《九章算術》兩大數(shù)學著作和我國著名數(shù)學家劉徽、祖沖之的偉大成就，重點解釋了圓在生活中應用的原理，讓學生在顯性的數(shù)學文化中對數(shù)學的發(fā)展過程有所了解，體會數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用和價值。

三、蘇教版和人教版教科書中圓的相關內容編排的不同點

1.畫圓方法的多樣性呈現(xiàn)略有差異

畫圓是學生在學習圓的內容中應具備的一項操作技能——能根據(jù)不同的需要畫任意大小的圓和指定大小的圓。學生在之前的生活學習中多多少少有過畫圓的經歷和經驗，所以兩個版本教科書都呈現(xiàn)了借助圓形物體進行畫圓的方法，比如蘇教版教科書呈現(xiàn)了借助圓形紙片畫圓的操作圖，人教版教科書呈現(xiàn)了借助圓形杯蓋和三角尺上的圓畫圓的場景;兩個版本教科書都呈現(xiàn)了用圓規(guī)畫指定大小的圓的操作圖，但是，蘇教版教科書還呈現(xiàn)了一幅借助圖釘和細線畫圓的操作場景圖，這幅圖蘊含的信息量非常大：一是“圓乃一中同長”的直觀體現(xiàn)，動態(tài)展示了圓是平面中到一個定點距離為定值的所有點的集合的概念，尤其是蘇教版教科書在第87頁的“你知道嗎”的滑冰運動中呈現(xiàn)的圓更是典型的運動點的集合;二是圓規(guī)畫法的靈活化和可操作性，因為這幅圖呈現(xiàn)的是實際操作性更強的無圓規(guī)的簡易畫圓法，這種畫法解決了如在操場上要畫一個大圓的實際問題。因此，在畫圓方面，蘇教版教科書呈現(xiàn)的信息量相比人教版教科書，更加豐富，更加貼近學生的生活，更有助于學生解決生活中的畫圓問題。在學生的畫圓技能初步形成之后，兩個版本教科書都讓學生運用圓規(guī)和直尺畫出美麗的圖案，如蘇教版教科書在第91頁專門編排了一個“動手做”欄目，讓學生按照給出的步驟畫一畫、涂一涂;而人教版教科書則用了一個頁面的內容繪學生展現(xiàn)更為詳細的步驟，讓學生學著畫出美麗的圖形，內容的編排和操作步驟比蘇教版教科書更為細致，便于學生掌握畫圖步驟。

2.圓的面積計算公式推導方法有差異

蘇教版教科書和人教版教科書在圓的面積計算方面編排的內容還是有明顯差異的。學生在學習平行四邊形、三角形等多邊形面積計算公式時都是先采用數(shù)方格的方法，而后采用轉化法推導出多邊形面積的計算公式。蘇教版教科書沿用了這樣的編排方式，先采用數(shù)方格法數(shù)出圓的面積大約是圓的半徑平方的3倍，這樣和圓的周長計算公式的探究方法也保持了一致，而后在此基礎上再引導學生采用等積變形的轉化方法，總結出圓的面積計算公式。而人教版教科書只呈現(xiàn)等積變形這一種方法，在這個方面上，蘇教版教科書的內容前后銜接性更強一些。

3.和正方形等圖形的組合研究程度不同

兩個版本教科書都編排了圓和正方形組合的相關內容，但是研究的程度不同，蘇教版教科書編排了一些求圓和正方形等組合圖形面積的習題，沒有對其內在的關系進行探究;人教版教科書專門設計了一個研究圓與外切正方形、內接正方形之間的面積關系的例題，教科書從中國建筑中的圓和正方形實物引入，提出求兩個圖形之間部分的面積，而后引導學生經歷“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”的全過程，從而理解圓與外切正方形、內接正方形相關的面積計算方法。對于人教版教科書呈現(xiàn)的這部分內容，還可以進一步延伸：發(fā)現(xiàn)圓與外切正方形、內接正方形面積之間的關系。如人教版教科書在“回顧與反思”這個環(huán)節(jié)中已經采用字母代入法分別表示圓的面積和外切正方形、內接正方形的面積，然后用代數(shù)式表示這兩個圖形的結果，與其這樣，不如讓學生發(fā)現(xiàn)圓與外切正方形、內接正方形面積之間固定的倍比關系，介紹“如果圓的面積用πr?表示，那么外切正方形的面積就可以用4r?表示，內接正方形的面積就可以用2r?表示，這樣外切正方形、圓、內接正方形的面積比就是4[∶]π[∶]2”;蘇教版教科書則可以將這些內容與教科書第96頁的內容有效聯(lián)系起來，促進學生理解它們之間的面積關系。

4.周長和面積計算結果的呈現(xiàn)形式上略有不同

對于圓的周長和面積，兩個版本教科書都采用π≈3.14進行計算，教科書在例題和練習題中給出的數(shù)據(jù)都不是太大，但是計算能力弱的學生還是容易出錯。蘇教版教科書考慮到學生在計算方面的實際情況，除了給出范例，讓學生用π≈3.14計算相關圓的周長和面積，在計算圓的面積過程中還給出了保留π值的方法，這樣就降低了學生的計算難度。

5.規(guī)律性內容探索的深度不同

兩個版本教科書都有探究圓和直線圖形長度關系的內容，如蘇教版教科書在第91頁讓學生根據(jù)組合圖形說出圓的直徑的長度。相比而言，人教版教科書編排的內容又更復雜一些。比如，人教版教科書在第66頁有兩個內容，一是第10題的圖形的周長計算，讓學生通過轉化，發(fā)現(xiàn)這個圖形的周長相當于半徑是5厘米的圓的周長;二是讓學生探究捆圓柱體的繩子的長度，這個過程不但蘊含了從簡單問題入手解決數(shù)學問題的策略，也讓學生在規(guī)律探尋中發(fā)現(xiàn)圓和直線圖形之間的規(guī)律，這種探究雖說是有難度的，但也是有價值的。除此之外，人教版教科書還編排了“確定起跑線”這一綜合實踐活動，目的是讓學生探究實際生活中的有關圓的周長的實際計算和應用，為以后的學習做好鋪墊。綜合而言，人教版教科書中探索的內容更廣泛、更全面，更貼近學生的生活實際。

[本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃重點課題《蘇教版與人教版小學數(shù)學教科書的比較研究》（課題編號：B-b/2015/02/147）研究成果之一。]

（責編 金 鈴）