廣東省封開縣江口中學(xué) (526500) 黎偉初

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.探究圖形解決不等式選做題，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.高考題中的不等式選做題，通常是以與兩個(gè)絕對值之和(差)或一個(gè)絕對值等有關(guān)聯(lián)來命制，常見的題型有：①求不等式解集；②依恒成立、能成立(有解)、無解等條件，求出參數(shù)的取值范圍；③涉及到不等式證明等.含一個(gè)絕對值或兩個(gè)絕對值之和(差)的不等式的解法有多種，本文著重研究：通過構(gòu)造函數(shù)圖象的手段來處理(來自教材的構(gòu)造函數(shù)法).含兩個(gè)絕對值之和(差)或一個(gè)絕對值的函數(shù)，形如f(x)=|ax+b|±|cx+d|與f(x)=|ax+b|的函數(shù)圖象是有規(guī)律的，總結(jié)得到十種圖式，分別為：①∨形圖；②平底桶形；③斜底桶形(兩種)；④左右游泳形(兩種)；⑤開口向上鳥形(兩種)；⑥開口向下鳥形(兩種).熟悉這十種圖式，銘記于心，作圖時(shí)就能駕輕就熟，有章可循！

一、含一個(gè)絕對值的情形

圖1

形如f(x)=|ax+b|(其中a>0)的函數(shù)，其圖象為圖1：

圖式：∨形圖；左右兩條射線交于x軸上同一個(gè)點(diǎn)

二、含兩個(gè)絕對值之和(差)的情形

形如f(x)=|ax+b|±|cx+d|(其中a>0，c>0)的函數(shù)，其圖象共有九種圖式：

圖2

1.可化為形如f(x)=|ax+b|+|cx+d|(其中a>0，c>0)的函數(shù)，當(dāng)a=c且b≠d時(shí)，其圖象為圖2：

圖3

2.可化為形如f(x)=|ax+b|+|cx+d|(其中a>0，c>0)的函數(shù)，當(dāng)a≠c時(shí)，其圖象為圖3：

圖4

3.可化為形如f(x)=

|ax+b|-|cx+d|(其中a>0，c>0)的函數(shù)，當(dāng)a=c且b≠d，其圖象為圖4：

圖5

4.可化為形如

f

(

x

)=|

ax

+

b

|-|

cx

+

d

|(其中

a

>0，

c

>0)的函數(shù)，當(dāng)

a

>

c

時(shí)，其圖象為圖5：

圖6

5.可化為形如

f

(

x

)=|

ax

+

b

|-|

cx

+

d

|(其中

a

>0，

c

>0)的函數(shù)，當(dāng)

a

<

c

時(shí)，其圖象為圖6：

三、圖象法解題的操作流程

第一步：根據(jù)個(gè)人認(rèn)知需要處理不等式兩邊，并確定是否需要合理地移項(xiàng).可能的話可把含絕對值的項(xiàng)歸在左邊，其它的項(xiàng)歸在右邊；也可以把含自變量的項(xiàng)通通歸在左邊，常數(shù)項(xiàng)歸右邊.

第二步：兩邊構(gòu)造函數(shù)，并作出兩邊函數(shù)圖象.題目兩邊的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的高低關(guān)系去審視，依據(jù)求解目標(biāo)解決相關(guān)問題.

四、圖象直觀性解題的實(shí)例觀賞

例1 (2013年全國卷Ⅰ)已知f(x)=|2x-

1|+|2x+a|，g(x)=x+3.①當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)-1且當(dāng)x∈

圖7

解：①當(dāng)a=-2時(shí)，f(x)=|2x-1|+|2x-2|，即f(x)=

如圖7，令4x-3=x+3，得x=2；令-4x+3=x+3，得x=0，結(jié)合圖象得f(x)

圖8

簡評：第②問若用純代數(shù)推理會有難度；若借助“平底桶形”圖便能直觀地分辨f(x)與g(x)的單調(diào)性，以及大小與高低的關(guān)系，快速破解題目所蘊(yùn)含的意蘊(yùn)，達(dá)到釜底抽薪，化難為易之功效，彰顯了以圖助數(shù)的魅力所在.

圖9

②分三類討論：

(ⅰ)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=3|x+1|≥0，f(x)最小值為0，不合題意.

(ⅱ)當(dāng)a>-1時(shí)，

圖10 圖11

如圖10，f(x)最小值在x=a處取得，所以

f(x)min=f(a)=a+1=5，即a=4，又因?yàn)閍>-1，所以a=4吻合；

(ⅲ)當(dāng)a<-1時(shí)，

如圖11，f(x)最小值在x=a處取得，所以

f(x)min=f(a)=-a-1=5，即a=-6，又因?yàn)閍<-1，所以a=-6吻合；綜合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得a=4或-6.

簡評：①作出f(x)“斜底桶形”圖后，解集不空的充要條件是直線y=m在函數(shù)f(x)圖象最低點(diǎn)的上方，圖象簡單明了，思維簡潔；②分類作出f(x)“斜底桶形”圖后，單調(diào)性盡收眼底，f(x)最小值均在x=a處取得.

例3 (2016年全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|，①畫出f(x)的圖象；②求不等式|f(x)|>1的解集.

解：①零點(diǎn)分段得

圖12 圖13

②由|f(x)|>1得f(x)>1或f(x)<-1，(ⅰ)當(dāng)f(x)>1時(shí)，結(jié)合圖13知，令-x+4=1，得x=3；令3x-2=1，得x=1，依圖象高低得f(x)>1的解集是{x|1

簡評：此高考題考查了畫“開口向下小鳥形”圖象的能力，解絕對值|f(x)|>1不等式要分兩類處理，依據(jù)圖形很快鎖定直線y=±1與y=f(x)圖象交點(diǎn)的大概位置，從而為下一步代數(shù)精確求解埋下伏筆.

圖14

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=|x+3|，g(x)=|2x-1|，①解不等式f(x)ax+4對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：①分別作出f(x)和g(x)圖象，而g(x)=

圖15

要使h(x)>r(x)恒成立，從圖15審視，就是h(x)圖象永遠(yuǎn)在r(x)直線上方.(ⅰ)當(dāng)a≥0時(shí)，臨界線是r(x)=ax+4與y=4x+5平行，此時(shí)滿足0≤a≤4；(ⅱ)當(dāng)a<0時(shí)，臨界線是r(x)=ax+4過頂點(diǎn)A(-3,7)，此時(shí)應(yīng)滿足h(-3)>r(-3)，得7>-3a+4，即a>-1，又a<0，所以-1

簡評：第①問可以借助兩個(gè)∨形圖，形象地求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)一步利用圖象高低關(guān)系確定解集范圍；滿足第②問條件的是直線系，關(guān)鍵是精準(zhǔn)確定兩邊的臨界線，再依直線系的旋轉(zhuǎn)走向確定斜率a的取值范圍.

圖16

解：①分段得f(x)=

②零點(diǎn)分段得

圖17

簡評：此題考查了“開口向上小鳥形”圖象，第②問作出f(x)圖象后方能準(zhǔn)確判斷所圍成的三角形，以及底和高等邊長怎樣求解.缺少圖解，難找思維切入點(diǎn).

例6 (2017年全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=

-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|，(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含區(qū)間[-1,1]，求a的取值范圍.

解：(1)依題知f(x)=-x2+x+4，即f(x)=

圖18

圖19

簡評：此題考查了“平底桶形”與“上凸的拋物線”模型.在第(2)問中，不等式f(x)≥g(x)的解集包含區(qū)間[-1,1]，在區(qū)間[-1,1]上截圖，解析為在區(qū)間[-1,1]內(nèi)，f(x)局部圖象上的點(diǎn)不能低于g(x)局部圖象(即桶底水平段)上點(diǎn)，又因?yàn)閽佄锞€段是上凸的，所以只需滿足f(1)≥2且f(-1)≥2就足夠了.

例7 (2017年全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|，(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

圖20

解：(1)依題意兩邊構(gòu)造函數(shù)y=1和f(x)=

圖21

簡評：此題考查了“右向游泳形”圖象，處理第(2)問時(shí)，首先要弄清楚拋物線與線段EF剛接觸時(shí)，是相切接觸，還是非相切接觸，因?yàn)樗鼪Q定著求m臨界值的方案.

感悟：解“與含兩個(gè)絕對值之和(差)或一個(gè)絕對值”相關(guān)聯(lián)的不等式問題，可以用直觀圖解法(是教材構(gòu)造法的延展)，整體挖掘兩邊不等關(guān)系的幾何意義，以圖導(dǎo)思、以圖助思、以圖促思，從而轉(zhuǎn)化為代數(shù)的不等關(guān)系并求解.圖解法的好處是顯而易見的，就是縮短思維的長度和降低思維的難度，整體把握結(jié)果的可能性，使問題暴露在陽光之下，能居高臨下地透過題目迷人的包裝表象，窺探到問題的本質(zhì)，直擊目標(biāo)，讓人有一種撥云見日的快感.

上面節(jié)選的例題全面涵蓋了含兩絕對值之和(差)或一個(gè)絕對值的函數(shù)的十種函數(shù)圖式，熟悉這十種函數(shù)的圖式，能提高作圖速度與準(zhǔn)確性.圖解法具有很濃的程序化解題步驟，操作性強(qiáng)，可概括為幾步：整理后左右兩邊分別構(gòu)造函數(shù)(具備了的函數(shù)可免這一步)→化為分段函數(shù)→正確作圖→依兩個(gè)圖象間的高低信息解決相關(guān)問題.其中作圖顯得尤為重要，是最關(guān)鍵的一步，只有熟悉這十種圖式才能達(dá)到有章可循的境界，提高算理能力.