新疆實驗中學 (830049) 晏 鴻

高中數(shù)學教學內(nèi)容多，學生天天在做題，老師天天在講題，好像數(shù)學題永遠做不完，那么有沒有一種行之有效的學習方法？如果現(xiàn)在還沒有，不妨嘗試一下一題多解.可能有人會認為，追求一題多解，會加重負擔.本人認為不盡然，因為一題多解是用多種方法解決同一道問題，在解決問題的同時復習鞏固多項數(shù)學基礎(chǔ)知識，熟練多項解題技能，積累各種解題經(jīng)驗.實際上就是跳出題海，通過有限的訓練達到掌握多種方法的目的.本文以一道新疆初賽填空題為例說明.

思路2：在考慮選用代數(shù)方法解決問題時，三角代換也是常用的方法，直接代換不行，但觀察不等式發(fā)現(xiàn)分母有x,a-x，就可以考慮給它倒過來相加，再除以a就可以得到常數(shù)1，順利引進正余弦平方和公式，把整個問題轉(zhuǎn)化為三角方面的運算，這種想法的關(guān)鍵在于要有轉(zhuǎn)化思想.

圖1

思路4：前面的幾種想法本質(zhì)都是在轉(zhuǎn)化，那能不能直接用不等式解決這個問題?由于是競賽題，可以考慮選用常規(guī)的結(jié)論“平方平均值大于等于調(diào)和平均值”來入手.

評注:以上四種解法，基本上選用的是解決高考題的常規(guī)方法，在日常的學習過程中，需要學生夯實基礎(chǔ)，熟練技巧，理解方法的本質(zhì)、功能，增強解題思維能力，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，提高學習實效性.

思路5：一般情況下，競賽題用解決高考題的常規(guī)方法去做會比較麻煩，但如果選用解決競賽題的非常規(guī)思路去想，用均值不等式，柯西不等式以及柯西不等式的變形來做，就方便多了.

思路6：把解法5的不等式(*)進行變形，把分子處理掉，變成更簡潔的形式，與題目條件直接對接，立馬解決問題.只要繼續(xù)往下做，就可以發(fā)現(xiàn)這種想法是可行的.

評注:后兩種解法，選用的是非常規(guī)方法，優(yōu)點是解題速度快，缺點是需要記住的中間結(jié)論多，很難想到,因此在平常的學習過程中，不要過分強調(diào)哪一種方法的重要性，而是要理解題意，分析條件，因題施策，出奇制勝，提高練習的實戰(zhàn)性.六種解法各有特點，都值得仔細研究.

此題可作如下推廣：

推廣1 若0

總之，本題在具體的課堂教學過程中，學生們反應熱烈，課堂氣氛活躍，大多數(shù)同學都能提出自己的想法，因此老師有意識，有目的的進行了引導，誘發(fā)學生的內(nèi)在動力，激發(fā)他們的探索求知欲望，使他們精神飽滿，心情舒暢地漸入“解題境界”.仁者見仁，智者見智.一題多解主要是讓學生學會從不同角度、不同側(cè)面去思考問題,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),拓展解題空間，是讓學生跳出題海的一件法寶.