馬 晨，蘇艷濤

（1.中國聯(lián)通韶關市分公司，韶關 512026；2.廣東省電信規(guī)劃設計院有限公司，廣州 510630）

1 概述

隨著移動通信及終端技術的發(fā)展，人們對無線網(wǎng)絡提出越來越高的要求：更大的數(shù)據(jù)流量、更多的設備連接、更低的業(yè)務時延等，現(xiàn)有的通信技術無法滿足上述訴求，第五代移動通信（5G）技術應運而生。5G 采用了大規(guī)模MIMO（Massive MIMO）[1]、稀疏碼分多址（Sparse Code Multiple Access，SCMA）、高階正交幅度調(diào)制（Quadrature amplitude modulation，QAM）等關鍵技術來提升通信性能。然而在實際通信中，信道估計的地位舉足輕重，只有得到精確的信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI），才能夠保證可靠的通信體驗。考慮到頻譜效率和計算復雜度的影響，5G 移動通信系統(tǒng)需要高效且準確的信道估計[2]。

無線信道的時變多徑特性給信號的傳播帶來了嚴重的失真，為了“彌補”失真，經(jīng)典的信道估計方法通過發(fā)射大量導頻獲得CSI，降低了系統(tǒng)的頻譜利用率。實際上，眾多學者的研究表明，時變多徑信道往往呈現(xiàn)出稀疏性[3]。為了利用信道的內(nèi)在稀疏特性，許多研究者研究CS 在稀疏信道估計中的應用。針對時變稀疏多徑信道，K.Chelli 提出了一種適用于多徑延遲估計的度量方法來提高信道估計的性能[4]；文獻[5]提出一種基于壓縮感知的線性最小均方誤差信道估計算法，通過最小化均方誤差達到提高估計精度的目的；此外，還有很多文獻通過匹配最佳的導頻位置來獲取精確的CSI[6-7]。雖然這些方法獲得了較高的估計精度，但由于它們的計算復雜度較大，因此難以實際應用。如何設計一個估計精度高且計算復雜度低的信道估計方法，才是5G 無線通信迫切需求的。

截至目前，只有少量的學者研究低復雜度稀疏信道估計。文獻[8]給出了一種低復雜度信道估計算法，然而由于算法本身的缺陷，難以實際應用。文獻[9]提出了一種新穎的低復雜度稀疏信道估計方法：正交匹配追蹤（Generalized Orthogonal Matching Pursuit，GOMP）算法。它在算法每次迭代過程中選擇多個原子，從而加快算法的收斂?？紤]GOMP 算法的思想，本文提出一種更加有效的原子選擇方法：利用LS 算法選擇原子，稱為M-GOMP（Modified-Generalized Orthogonal Matching Pursuit，M-GOMP）算法。它以新的角度高效地選取原子，避免了貪婪算法中的反復循環(huán)迭代，從而進一步大大降低算法的計算復雜度。

此外，文獻[6]指出，最小化測量矩陣的相干性可以有效的提高估計性能，同時不會增加信道重建的復雜度。因此，本文結合測量矩陣相干性最小化和M-GOMP 算法給出估計精度高且計算復雜度低的信道估計方法。實驗仿真證明了所提方法在估計精度和復雜度方面的有效性。

2 問題陳述

2.1 系統(tǒng)模型

假設有一個K稀疏度的無線稀疏信道，發(fā)射端發(fā)射M個導頻，即X=diag[x（k0），x（k1），!，x（kM-1）]，其中k0，k1，...，kM-1表示導頻所在的位置。經(jīng)過無線信道傳播之后，接收端接收到一個M×1的信號向量：y=[y（k0），y（k1），...，y（kM-1）]T，（g）T 表示轉置，整個過程可以用式（1）表示：

式中，N 表示稀疏信道的長度；h 是一個N×1的K 稀疏度信道向量，即向量h 中僅有K 個非零值；ω 表示復高斯白噪聲，大小為M×1；FM×N表示部分傅里葉矩陣，它主要通過選取傅里葉變換矩陣的k0，k1，…，kM-1行元素構成，即

式中，A=[a1，a2，…，aN]稱為測量矩陣，大小為M×N，ai是A 的列向量。文獻[10]指出如果A 滿足約束等距原則（Restricted Isometry Property，RIP），就可以從y 中精確地恢復出原信號h。我們將RIP 特性寫作引理1。

引理1：對任意K 稀疏向量h，如果存在一個常數(shù)δK∈（0，1），使得（4）式成立

則稱A 滿足K 階RIP 特性，其中||g||2表示l2范數(shù)。獲得接收導頻向量y 之后，采用一定的恢復算法，就可以將信道h 從y中恢復出來。

2.2 基于正交匹配追蹤的信道重建

正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）是CS重構算法中的一個基本算法，具有估計精度高，信道重建魯棒性好的優(yōu)點。但由于OMP 算法較高的計算復雜度而難以實際應用。OMP 算法的重建信道的過程可以用式（5）表示

式中，rt是第t 次運算產(chǎn)生的殘差；是A 的部分矩陣，通過引腳集合Λt選取測量矩陣的列向量構成；表示內(nèi)積運算。OMP 算法通過不斷地迭代來減小殘差rt，最終得到估計精度較高的信道h。實際上，重建信道h 的關鍵在于尋找K 個非零值對應的原子，即匹配原子。獲得全部匹配原子后，通過最小二乘法可以準確的重建信道。低效的原子選擇方法是導致OMP 算法計算復雜度高的主要原因，本文建立式（6）解釋說明

式中，C 表示引腳集合，C 中的每個引腳都有一個原子與之對應。OMP 算法的核心是尋找K 個非零值所在的位置，即搜尋引腳，進而匹配出對應的原子。OMP 算法在每次迭代過程中需做N 次相關獲得集合C，然后僅取其中一個引腳重建信道，這大大降低了算法的運行效率。當無線信道的稀疏度較大時，OMP算法重建信道的低效性更加突出。

3 有效的信道估計

針對OMP 算法在每次迭代過程中僅匹配一個原子，重建信道效率低的問題，本文給出一種高效的原子選擇方法并結合測量矩陣相干性最小化實現(xiàn)信道的快速精確重建。

3.1 M-GOMP 算法

文獻[9]給出的GOMP 算法提供了一種快速的原子選擇方法：在每次迭代過程中選擇n（n ≥1）個原子，從而快速地重建信道?？紤]GOMP 算法的信道重建方法，本文提出更加有效的引腳選取方法，即M-GOMP 算法。其具體實現(xiàn)如下：

輸入：接收導頻y，測量矩陣A，稀疏度K初始化：索引集Λ=

其中，（g）H表示共軛轉置，表示信道向量h 的估計。在上述算法中，LS 被用來搜尋原子。由于LS 具有簡單易實現(xiàn)的優(yōu)點，因此本文給出的M-GOMP 算法可以實現(xiàn)快速的信道重建。為了方便理解，我們給出M-GOMP 算法的執(zhí)行示意圖，如圖1所示。

圖1 M-GOMP算法示意圖

從圖1可知，與OMP 算法或者GOMP 算法的多次循環(huán)不同，整個M-GOMP 算法從左到右只執(zhí)行一次就可以實現(xiàn)信道的重建，大大提升了算法的運行效率。在估計精度方面，由于我們可以從

部分場景可能需要較高的估計精度，因此對高精度估計問題的研究仍具有意義。但是一般情況下，較高的估計精度意味著較大的計算復雜度，如何設計出一個估計精度高且計算復雜度低的信道估計方法仍是一個亟需解決的問題。

3.2 相干性最小化提升估計性能

文獻[6]指出，最小化測量矩陣的相干性可以有效的提高信道估計性能，同時不會給接收端的信道重構帶來額外的附加時間消耗，并給出了估計精度與相干性的關系：

引理2：對于一個字典矩陣Ψ 和一個觀測矩陣Φ，假設ΦΨ 滿足RIP 原則，如果y=ΦΨa=Pa 滿足不等式

那么采用貪婪算法重建的

式中，ε 是一個大于零的常量；μ（P）表示矩陣P 的相干性

式中，Pi表示矩陣P 的列向量。

從引理2的（8）式可以看出，μ（P）越小，重建α 的誤差就越小，因此我們可以通過減小矩陣P 的相干性來達到提升估計性能的目的。實際中一般采用平均相干性，令則P 的平均相干性可以表示為

在本文中，我們通過最小化測量矩陣A 的相干性來提高信道估計的精度。文獻[6]指出，影響μ 大小的因素有兩個：導頻的位置及其大小。同時考慮這兩個因素將會是一個復雜的聯(lián)合最佳化問題，因此我們假設所有的導頻采用等間隔設置，通過設計導頻的大小達到最小化μ 的目的。其實現(xiàn)步驟如下：

輸入：傅里葉變換矩陣F，閾值δ，衰落因子λ，最大迭代次數(shù)I。

初始化：令導頻矩陣X 的元素為0均值，方差1/M 的復高斯隨機變量。

⑥判斷：如果t＞I，則停止迭代，輸出結果。否則，令t=t+1，返回步驟①。

圖2 高精度低復雜度的信道估計示意圖

為了方便對比，本文同時采用LS 算法和最小均方誤差（Minimum Mean-squared Error，MMSE）算法重建信道，它們分別可以用式（12）和式（13）表示

式中，H 是信道h 的傅里葉變換；RHH為H 的自相關矩陣；σ 表示噪聲的標準偏差。

4 仿真分析

本文分別給出均方誤差（Mean Square Error，MSE）仿真和運行時間仿真，從估計精度和計算復雜度兩個方面驗證所提算法的有效性。

4.1 均方誤差仿真

假設收發(fā)信機之間的無線信道具有如下參數(shù)：N=496，K=12。發(fā)射機分別發(fā)送高斯隨機導頻和相干性最佳化的導頻，導頻長度為M=256，同時引入復高斯白噪聲。令GOMP 算法的原子選擇步長分別取n=25，9，歸一化的MSE 仿真結果如下圖所示。

圖3 不同信噪比下的MSE性能比較

圖4 不同稀疏度下的MSE性能比較

圖3 是不同信噪比條件下的MSE 仿真。仿真結果表明，信道的估計精度隨著信噪比的增加而提高。與LS 算法對比，采用匹配追蹤方法選取原子的OMP 算法和GOMP 算法以及改進的M-GOMP 算法均具有較高的估計精度。此外，采用最佳導頻的M-GOMP-op 算法提供了更好的估計性能。證明所提算法有效的減少了測量矩陣的相干性，提高了系統(tǒng)的估計精度。

圖4是無線信道在不同稀疏度條件下的MSE 仿真。仿真結果表明，信道的估計精度隨著信道稀疏度的增加而降低。這是由于導頻數(shù)量固定，當信道越來越不稀疏時，算法獲取的信道信息越來越少，進而導致信道重建精度的下降。雖然各個算法的估計精度隨著稀疏度的增加而下降，但是本文給出的M-GOMP 算法和M-GOMP-op 均展現(xiàn)了良好的性能。其中M-GOMP-op 算法在不同的 值條件下均取得了較高的估計精度，證明了所提算法的穩(wěn)健性。

在上述MSE 仿真中，雖然MMSE 算法的估計精度最高，但是由于其較高的計算復雜度而難以實際應用。仿真中，MMSE 算法可以作為一個精度上界進行參考。

4.2 運行時間仿真

接下來驗證算法的運行效率，無線信道的相關參數(shù)設置如下：SNR=5dB，M=512，K=12。因為MMSE 算法的計算復雜度較大，本次仿真僅考慮其他幾個算法，仿真結果如圖5。

圖5 不同信道長度下的運行時間比較

由于測量矩陣的相干性最小化不占用信道重構的時間，因此仿真圖中用線型“+”表示M-GOMP 和M-GOMP-op 的運行時間。仿真結果表明各個算法重建信道的時間隨著信道長度的增加而增加。由于GOMP 算法在每次迭代中選擇多個原子，加快了算法的收斂速度，因此GOMP 算法表現(xiàn)出了較好的性能。值得注意的的是M-GOMP 算法和M-GOMP-op 算法具有更優(yōu)越的表現(xiàn)。當信道長度較長時，它們甚至可以節(jié)約超過85%的時間，這證明了所提算法在計算復雜度方面的有效性。

由于算法的計算復雜度與迭代次數(shù)密切相關，因此本文給出各個算法的平均迭代次數(shù)仿真，仿真結果如圖6。

圖6 不同稀疏度下的迭代次數(shù)比較

圖6 是各個算法在不同的稀疏度下的迭代次數(shù)仿真。受益于原子選擇效率的提高，GOMP算法的迭代次數(shù)明顯低于OMP算法。此外，由于本文給出的M-GOMP-op 算法重建信道只需執(zhí)行一次迭代，因此可以大大提高算法的運行效率。圖6的仿真結果再次驗證了M-GOMP-op 算法在計算復雜度方面的優(yōu)越性和穩(wěn)健性。

4.3 復雜度分析

本小節(jié)給出算法的計算復雜度分析，從理論上驗證所提算法的有效性。GOMP 算法的計算復雜度可以用下式表示：CGOMP≈2sMN+（2n2+n）s2M，其中s 表示算法的迭代次數(shù)。假設GOMP 算法在每次迭代中僅匹配一個原子，即n=1，那么GOMP算法將轉化為OMP 算法。因此OMP 算法的計算復雜度可以表示為CGOMP≈2KMN+3K2M。文獻將一次乘法和一次加法分別作為一個基本的運算，基于此，我們來分析M-GOMP 算法的計算復雜度。

（1）識別：由于這一步涉及到矩陣求逆，復雜度較高，因此我們先求出信道的頻域響應H，然后利用IFFT 將H 轉換到時域，這樣只需要2M+（2M-1）N 次運算。此外，將h0排序并取前K個最大值，需要（NK-K（K+1）/2次運算。

（2）估計：這一步也涉及到矩陣求逆，因此我們同樣利用QR 分解和改進的格蘭-施密特（Modified Gram-Schmidt，MGS）算法求解，這樣總的運算次數(shù)為2K2M+5KM+K3+4K2-K。

由于M-GOMP 算法只進行一次迭代，因此它的總的復雜度可以表示為CM-GOMP≈2MN+2K2M。此外，由于測量矩陣的相干性最小化可以在信號發(fā)送之前完成，不占用接收端的信道重構時間，因此M-GOMP-op 算法的計算復雜度可以表示為CM-GOMP-OP≈CM-GOMP≈2MN+2K2M。

現(xiàn)在我們來對比分析不同算法的計算復雜度?？紤]到GOMP算法中的兩個關鍵參數(shù)s 和n 都比較小，因此其計算復雜度可以表示為O（sMN），OMP 算法的計算復雜度可以表示為O（KMN）。因為GOMP 算法一次迭代匹配多個原子，迭代次數(shù)s 往往比K 小很多，因此GOMP 算法大幅度降低了算法的計算復雜度。此外，由于K=M，M＜N，因此M-GOMP算法和M-GOMP-op 算法的計算復雜度可以表示成O（MN）。與OMP 算法和GOMP 算法對比，本文給出的算法具有更低的計算復雜度。

值得注意的是，雖然測量矩陣的相干性最小化不占用接收端的信道重構時間，但由于其通過循環(huán)迭代實現(xiàn)，需要一定的硬件消耗，因此針對高精度需求的場景可以采用M-GOMP-op 算法，而在一般的場景中采用M-GOMP 算法即可。

5 結束語

本文結合測量矩陣相干性最小化和快速的原子選擇給出一種高精度低復雜度的信道估計方法，即M-GOMP-op 算法，它通過相干性最小化實現(xiàn)高估計精度，通過LS 算法選擇原子，實現(xiàn)低計算復雜度。理論分析和計算機仿真表明，M-GOMP-op 算法在提高信道估計精度的同時可以大幅度降低算法的計算復雜度。M-GOMP-op 算法的提出為5G 無線通信實現(xiàn)高效且準確的信道估計提供了一個有效的解決方法。